«Покори Воробьёвы горы!», 2018/19, заключительный этап, 10–11 класс

Подсказка

Для вращения нужен момент силы, как минимум уравновешивающий момент силы тяжести кубика относительно ребра; минимальная сила соответствует максимальному плечу. Для уголка с гвоздём используйте правило моментов относительно шарнира и условие равновесия сил.

Ответ

Вопрос: \(F_{\min}=\dfrac{mg}{2\sqrt2}\);  Задача: сила увеличилась в \(\dfrac{3\sqrt{89}}{25}\approx1{,}13\) раза.

Решение

Вопрос. Ясно, что для придания вращения необходимо, чтобы момент внешней силы как минимум уравновесил момент силы тяжести, действующей на кубик. Момент силы тяжести относительно одного из нижних рёбер равен \(M_g=mg\dfrac{a}{2}\). Минимальная сила будет соответствовать максимальной величине плеча силы, которое равно \(l_{\max}=a\sqrt2\). Поэтому \[F_{\min}=\frac{M_g}{l_{\max}}=\frac{mg}{2\sqrt2}.\] При этом горизонтальная проекция силы будет равна \(F_{\parallel}=\dfrac{F_{\min}}{\sqrt2}=\dfrac{mg}{2}<\mu mg\), то есть кубик не будет скользить.

Задача. Из сил, приложенных к уголку, только сила реакции гвоздя и вес короткого плеча имеют ненулевые моменты относительно шарнира. Правило моментов (с учётом однородности уголка массы \(m\)): \[\frac{2m}{5}\,g\,\frac{a}{2}\sin\alpha-N\,\frac{3a}{4}=0\ \Rightarrow\ N=\frac{4mg}{25}.\] Здесь мы учли, что \(\sin\alpha=\dfrac35\). Из условия равновесия сил находим: \[\begin{cases} F_x=N\sin\alpha=\dfrac{12mg}{125},\\[2mm] F_y=mg+N\cos\alpha=\dfrac{141mg}{125}, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}=\frac{3\sqrt{89}}{25}\,mg.\]

Ясно, что до появления гвоздя сила реакции шарнира была равна \(mg\), поэтому из-за появления гвоздя эта сила увеличилась в \(\dfrac{3\sqrt{89}}{25}\approx1{,}13\) раза.

Подсказка

Сила притяжения между пластинами от положения поршня не зависит, поэтому давление газа постоянно. Количество теплоты в изобарном процессе связано с работой газа соотношением \(Q=\tfrac52A\).

Ответ

Вопрос: \(Q=A+\Delta U=\dfrac53\,\Delta U\), где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии;  Задача: \(\Delta h=\dfrac45\,\dfrac{\varepsilon_0QS}{2\varepsilon_0(p_0S^2+mgS)+q^2}\).

Решение

Вопрос. Рассмотрим изменение объёма газа от \(V_1\) до \(V_2\). Изменение внутренней энергии при постоянном давлении \(p\), в соответствии с уравнением Менделеева–Клапейрона, \(\Delta U=\Delta\!\left(\dfrac32\nu RT\right)=\dfrac32\,\Delta(pV)=\dfrac32\,p(V_2-V_1)\). Работа газа в изобарном процессе равна \(A=p(V_2-V_1)=\dfrac23\,\Delta U\). Поэтому \(Q=A+\Delta U=\dfrac53\,\Delta U\).

Задача. Поскольку электрическое поле однородно, сила притяжения между поршнем и дном цилиндра не зависит от положения поршня: \(F_{\text{эл}}=|q_-|\,E_+=\dfrac{q^2}{2\varepsilon_0S}\). Поэтому давление \(p\) газа во время опыта постоянно (с учётом наружного атмосферного давления и веса поршня): \[p=p_0+\frac{mg+q^2/(2\varepsilon_0S)}{S}.\] Рассуждая аналогично тому, как это было сделано в вопросе, замечаем, что полученное газом количество теплоты связано с работой по перемещению поршня соотношением \(Q=\dfrac52A\ \Rightarrow\ pS\cdot\Delta h=\dfrac25\,Q\). Поэтому смещение поршня равно \[\Delta h=\frac45\,\frac{\varepsilon_0QS}{2\varepsilon_0(p_0S^2+mgS)+q^2}.\]

Подсказка

Напряжение на элементе равно \(U=\mathcal E-rI\) и связано с током характеристикой; мощность элемента равна \(P=U\cdot f(U)\). Мощность гирлянды квадратична по числу светодиодов.

Ответ

Вопрос: \(P=U\cdot f(U)\), где \(U\) находится из уравнения \(U+r\,f(U)=\mathcal E\);  Задача: \(n_{\text{опт}}=23\), \(\mathcal E=45\) В, \(P_{\max}=253\) Вт.

Решение

Вопрос. В общем случае мощность, потребляемая элементом цепи, вычисляется по формуле \(P=I\cdot U\). В случае заданной вольт-амперной характеристики необходимо исходить из того, что напряжение на элементе, подключённом к источнику, равно \(U=\mathcal E-rI\). Значит, это напряжение находится из уравнения \(U+r\,f(U)=\mathcal E\). Это уравнение может решаться как аналитически, так и графически, а затем вычисляется \(P=U\cdot f(U)\).

Задача. Рассмотрим гирлянду из \(n\) светодиодов, в которой течёт ток (то есть ЭДС источника \(\mathcal E>n\cdot U_0\)). Сила тока \(I=\dfrac{\mathcal E-n\cdot U_0}{R}\) (\(R\) — сопротивление «внешней» части цепи). Потребляемая гирляндой мощность \[P=nU_0I=nU_0\,\frac{\mathcal E-nU_0}{R}\equiv P_0\cdot n(\bar n-n).\] Здесь введены обозначения \(P_0\equiv\dfrac{U_0^2}{R}\) и \(\bar n\equiv\dfrac{\mathcal E}{U_0}\). Как видно, зависимость мощности от числа светодиодов — квадратичная, и максимум мощности соответствует значению \(n=\dfrac{\bar n}{2}\). Записав соотношения \(P_1=P_0\,n_1(\bar n-n_1)\) и \(P_2=P_0\,n_2(\bar n-n_2)\), получаем из них уравнение на \(\bar n\): \(P_2\,n_1(\bar n-n_1)=P_1\,n_2(\bar n-n_2)\). Таким образом, \[\bar n=\frac{n_2^2P_1-n_1^2P_2}{n_2P_1-n_1P_2}=45.\] Следовательно, ЭДС источника \(\mathcal E=\bar n\,U_0=45\) В. Поскольку число светодиодов — целое число, а парабола симметрична относительно оси, можно сделать вывод, что максимум мощности достигается при \(n=22\) и \(n=23\). По условию «оптимальности» нужна меньшая сила тока, поэтому оптимальный режим соответствует \(n_{\text{опт}}=23\). Максимальная мощность \[P_m=P_1\cdot\frac{n_{\text{опт}}(\bar n-n_{\text{опт}})}{n_1(\bar n-n_1)}=\frac{253}{175}\,P_1=253~\text{Вт}.\]

Подсказка

Для рассеивающей и собирающей линзы запишите формулу тонкой линзы для мнимого изображения, расстояния от предмета и изображения до линзы выразите через \(F\) и \(l\).

Ответ

Вопрос: линза тонкая, если её толщина много меньше диаметра, диаметр много меньше радиусов кривизны её поверхностей, и все лучи параксиальны;  Задача: \(F=\pm\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx\pm24{,}14\) см.

Решение

Вопрос. При выводе формул, описывающих тонкие линзы, используются два приближения: пренебрегают смещением световых лучей вдоль плоскости линзы по сравнению с её диаметром и считают малыми все углы между световыми лучами и главной оптической осью линзы (используются соотношения параксиального приближения \(\sin\alpha\approx\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha\)). Смещение луча вдоль плоскости линзы по величине порядка геометрической толщины самой линзы, то есть она действительно должна быть «тонкой»: её толщина должна быть много меньше её диаметра. Это требование также можно переформулировать следующим образом: диаметр линзы должен быть много меньше радиусов кривизны ограничивающих её сферических поверхностей. Второе требование — то, что все рассматриваемые лучи должны быть параксиальными.

Задача. Прямые изображения предметов (светящиеся точки которых есть действительные источники для линзы) создают рассеивающие линзы (при любом расстоянии от предмета до линзы) и собирающие линзы (когда расстояние от предмета до линзы меньше её фокусного расстояния). В обоих случаях это изображение будет мнимым, то есть будет располагаться по одну сторону от линзы с предметом. Пусть \(a\) — расстояние от предмета до линзы, а \(b=-|b|\) — расстояние от линзы до мнимого изображения. Для рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна, а изображение находится ближе к линзе, чем предмет. Поэтому \(a=|F|+\dfrac{l}{2}\), а \(|b|=|F|-\dfrac{l}{2}\). Согласно формуле линзы \[\frac{1}{|F|+l/2}-\frac{1}{|F|-l/2}=-\frac{1}{|F|}\ \Rightarrow\ |F|^2-l|F|-\frac{l^2}{4}=0.\] Выбирая для \(|F|\) положительный корень уравнения, находим: \(|F|=\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx24{,}14\) см. Аналогично для собирающей линзы (мнимое изображение находится дальше от линзы, чем предмет: значения \(a=F-\dfrac{l}{2}\), а \(|b|=F+\dfrac{l}{2}\)) приходим к уравнению \(F^2-lF-\dfrac{l^2}{4}=0\), положительный корень которого снова \(F=\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx24{,}14\) см. Ответ также можно записать в общем виде \(F=\pm\dfrac{(\sqrt2+1)\,l}{2}\approx\pm24{,}14\) см.