«Покори Воробьёвы горы!», 2018/19, заключительный этап, 7–9 класс

Сумма длин вертикальных отрезков верёвки уменьшается со скоростью \(u\): это связывает скорости груза и обезьянки. Запишите второй закон Ньютона для каждого тела и сравните ускорения.

Вопрос: \(F_1'>F_1\) (сила увеличится), \(F_2'=F_2\) (сила не изменится);  Задача: \(t=\dfrac{21u}{2g}=2{,}1\) с.

Вопрос. При разгоне груза скорость вращения блока тоже должна увеличиваться. Для этого сумма моментов сил, приложенных к массивному блоку, должна отличаться от нуля — сила, с которой действуют на верёвку, должна быть больше веса груза. Таким образом, при замене груза на массивный сила, необходимая для разгона груза, должна увеличиться: \(F_1'>F_1\). При равномерном движении груза вращение блока тоже должно быть равномерным (если верёвка не скользит по блоку), и в этом случае момент сил натяжения верёвки должен равняться нулю. Поэтому сила натяжения верёвки со стороны поднимающего устройства должна равняться весу груза, независимо от массы блока, то есть \(F_2'=F_2\).

Задача. Направим координатную ось \(x\) вертикально вниз. Сумма длин вертикальных отрезков нити от блока до груза и обезьяны должна уменьшаться со скоростью \(u\). Следовательно, координаты груза \(x_1\) и координата обезьяны \(x_2\) должны удовлетворять соотношению \(x_1+x_2=\text{const}-ut\). Значит, изменения этих координат за малое время \(\Delta t\) связаны соотношением \(\Delta x_1+\Delta x_2=-u\,\Delta t\), что означает, что в любой момент времени проекции скоростей на ось \(x\) связаны: \(v_1+v_2=-u\). Движение, согласно условию, начинается так, что при \(t=0\) скорость груза \(v_1(0)=0\). Значит, \(v_2(0)=-u\). Рассуждая аналогично, замечаем, что проекции ускорений грузов также связаны: \(a_1+a_2=0\). Кроме того, эти ускорения удовлетворяют уравнениям движения, следующим из II закона Ньютона: \(m\,a_1=mg-T\) и \(1{,}1\,m\,a_2=1{,}1\,mg-T\) (где \(T\) — сила натяжения нити). С учётом связи ускорений первое уравнение даёт \(-m\,a_2=mg-T\). Вычитая это соотношение из второго уравнения, найдём, что \(2{,}1\,m\,a_2=0{,}1\,mg\ \Rightarrow\ a_2=\dfrac{g}{21}\). Соответственно \(a_1=-\dfrac{g}{21}\), и законы изменения скоростей груза и обезьяны записываются в виде \(v_1(t)=-\dfrac{g}{21}\,t\) и \(v_2(t)=-u+\dfrac{g}{21}\,t\). Момент времени, когда скорости равны, определяется из уравнения \(-\dfrac{g}{21}\,t=-u+\dfrac{g}{21}\,t\), откуда \[t=\frac{21u}{2g}=2{,}1~\text{с}.\]

Составьте уравнение теплового баланса для двух первых ложек снега; затем найдите, сколько ложек нужно, чтобы вся вода в калориметре остыла до \(0^\circ\)C.

Вопрос: термометр приводят в тепловое равновесие с измеряемым телом; шкала Цельсия — 0 °С при плавлении льда и 100 °С при кипении воды при нормальном атмосферном давлении, между ними шкала делится на равные градусы;  Задача: 21 ложка.

Вопрос. Для измерения температуры тела оно приводится в тепловое равновесие с термометром — стандартным телом с индикацией температуры, проградуированной в соответствии с некоторой температурной шкалой. Для градуировки термометра по шкале Цельсия используются две «реперные» точки: температура плавления льда при нормальном атмосферном давлении принимается за \(0^\circ\)C, а температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении принимается за \(100^\circ\)C. Между этими точками шкала разделяется на градусы равномерно, и от них в обе стороны распространяется с таким же шагом.

Задача. Обозначим массу добавляемой порции снега \(m\), а начальную массу воды в калориметре \(M\). Ясно, что находящиеся в равновесии компоненты мокрого снега имели температуру \(0^\circ\)C, а кипящая вода имела температуру \(t_0=100^\circ\)C. Тогда уравнение теплового баланса для установления равновесия после добавления двух порций позволяет найти массу порции: \[\lambda\cdot1{,}6m+c\cdot2mt_2=cM(t_0-t_2)\ \Rightarrow\ m=\frac{cM(t_0-t_2)}{2(0{,}8\lambda+ct_2)}.\] Снег перестанет таять после добавления \(n\)-ой ложки, если температура станет равна \(0^\circ\)C (последняя порция при этом может и не растаять целиком). Таким образом, должно выполняться требование \[n\cdot\lambda\cdot0{,}8m\ge cM\,t_0\ \Rightarrow\ n\ge\frac{cM\,t_0}{0{,}8\lambda m}=\frac{2t_0}{t_0-t_2}\left(1+1{,}25\,\frac{ct_2}{\lambda}\right)=22{,}5.\] Значит, после 23-й ложки снег перестаёт таять (23-я ложка растает частично, а 24-я вовсе не будет таять). То есть «ещё» (кроме двух начальных) нужно добавить 21 ложку.

Для открытого светодиода мощность равна произведению постоянного напряжения на ток. Ток через светодиод — разность тока источника и тока через реостат; мощность светодиода линейна по обратному сопротивлению реостата.

Вопрос: \(I=\dfrac{P}{U_0}=1{,}5\) А;  Задача: \(P_3=2P_2-P_1=5{,}7\) Вт.

Вопрос. Потребляемая элементом цепи мощность \(P=U\cdot I\). Значит, \(I=\dfrac{P}{U_0}=1{,}5\) А.

Задача. Пусть \(U\) — напряжение на клеммах источника, а \(U_0\) — напряжение на светодиоде, которое, согласно условию, постоянно. Тогда ток в ветви с источником \(I=\dfrac{U-U_0}{R_0}\). Сила тока через реостат \(I_x=\dfrac{U_0}{R_x}\), и поэтому ток через светодиод \[I_D=I-I_x=\frac{U-U_0}{R_0}-\frac{U_0}{R_x}.\] Следовательно, зависимость мощности, потребляемой светодиодом, от сопротивления реостата описывается формулой \[P_D=\frac{U_0(U-U_0)}{R_0}-\frac{U_0^2}{R_x}\equiv P_0-\frac{U_0^2}{R_x}.\] Запишем эту формулу для трёх значений сопротивления реостата: \[\begin{cases} P_1=P_0-\dfrac{U_0^2}{R_1},\\[2mm] P_2=P_0-\dfrac{U_0^2}{R_2},\\[2mm] P_3=P_0-\dfrac{U_0^2}{R_3}, \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} P_2-P_1=U_0^2\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}\right),\\[2mm] P_3-P_2=U_0^2\left(\dfrac{1}{R_2}-\dfrac{1}{R_3}\right), \end{cases} \Rightarrow P_3=(1+z)P_2-zP_1.\] Здесь \(z\equiv\dfrac{R_1(R_3-R_2)}{R_3(R_2-R_1)}\). В нашем случае \(z=1\) и \(P_3=2P_2-P_1=5{,}7\) Вт. Задачу можно решать «в числах». Также можно заметить, что мощность есть линейная функция обратного сопротивления реостата, и что в нашем случае \(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{R_2}-\dfrac{1}{R_3}\). Тогда сразу ясно, что \(P_2-P_1=P_3-P_2\), откуда \(P_3=2P_2-P_1=5{,}7\) Вт.

Тело на поверхности глубокого водоёма не касается дна, поэтому его вес уравновешивается силой Архимеда при полном погружении. Запишите условие равновесия моментов относительно точки опоры в бассейне.

Вопрос: вес тела должен уравновешиваться силой Архимеда при полном погружении, то есть средняя плотность тела не превышает плотности жидкости;  Задача: при \(k>\dfrac34\).

Вопрос. При плавании тела на поверхности глубокого водоёма тело не касается дна, и поэтому вес тела должен уравновешиваться только силой Архимеда. Максимальная величина этой силы достигается при полном погружении тела и равна весу вытесняемой телом жидкости. Для этого необходимо, чтобы масса тела не превышала массу жидкости в объёме тела. Это требование можно также сформулировать в виде «средняя плотность тела не должна превышать плотности жидкости».

Задача. Так как шары одинаковы по объёму, то величина силы Архимеда, действующей на лёгкий шар в бассейне (\(F_1\)), связана с величиной силы Архимеда, действующей на тяжёлый шар (\(F_2\)), соотношением \(F_1=(1-k)F_2\). Пренебрегая весом лёгкого шара, запишем условие равновесия моментов сил относительно точки опоры (ясно, что плечо силы Архимеда и силы тяжести, действующих на тяжёлый шар, в четыре раза меньше, чем плечо силы Архимеда, действующей на лёгкий шар): \[F_1l_1+F_2\,\frac{l_1}{4}=Mg\,\frac{l_1}{4}.\] С учётом предыдущего соотношения находим, что \(F_2=\dfrac{Mg}{5-4k}\). Для плавания в глубоком водоёме нужно, чтобы максимальная сила Архимеда (когда оба шара погружены целиком) превышала вес всех тел, примерно равный весу тяжёлого шара. Таким образом, должно выполняться требование \[2F_2>Mg\ \Rightarrow\ \frac{2Mg}{5-4k}>Mg\ \Rightarrow\ k>\frac34.\]