«Покори Воробьёвы горы!», 2020/21, отборочный этап, 7–9 класс

Выразите условие отсутствия скольжения через угол наклона силы и трение. Опрокидывание начинается, когда момент силы относительно нижнего ребра сравнивается с моментом силы тяжести. Минимальная сила соответствует совпадению двух граничных условий.

\(1{,}48\).

Пусть \(\alpha\) — угол наклона линии действия силы \(\vec F\) к горизонтали. Отсутствие скольжения: \(F_{тр} = F\cos\alpha \le \mu N\), где \(N = mg - F\sin\alpha\), откуда \[\frac{mg}{F} \ge \frac{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}{\mu}.\] В момент начала опрокидывания точка приложения силы реакции смещается на нижнее ребро, и момент силы \(\vec F\) относительно ребра не меньше момента силы тяжести: \(F\,a\sqrt2\cos\!\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \ge mg\,\frac{a}{2}\), откуда \[\frac{mg}{F} \le 2\left[\cos\alpha + \sin\alpha\right].\] Минимальная сила соответствует максимуму \(mg/F\), достигаемому при совпадении границ, то есть при \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1-2\mu}{\mu}\) (при \(\mu < 1/3\) это \(\alpha > 45^\circ\)). Подставляя, получаем \[F_{\min} = \frac{\sqrt{1 - 4\mu + 5\mu^2}}{2(1-\mu)}\,mg \approx 1{,}48~\text{Н}.\] При \(\mu \ge 1/3\) ответ был бы другим: \(F_{\min} = \dfrac{mg}{2\sqrt2}\).

Афелий и перигелий — симметричные точки орбиты: радиусы кривизны орбиты в них одинаковы. Запишите для каждой точки второй закон Ньютона в проекции на радиус кривизны.

\(51{,}1\).

Афелий и перигелий — симметричные точки эллиптической орбиты, поэтому радиусы кривизны орбиты в них одинаковы; пусть этот радиус равен \(R\). Центростремительные компоненты ускорения в этих точках: \[m\frac{v_{A,P}^2}{R} = \frac{G m_S m}{r_{A,P}^2},\] где \(m_S\) — масса Солнца. Отсюда \(v_P = \dfrac{r_A}{r_P}\,v_A\), и \[v_P = \frac{4{,}2}{0{,}6}\cdot 7{,}3~\text{км/с} \approx 51{,}1~\text{км/с}.\]

Если через лампу 5 ток не течёт, то её можно выбросить из схемы. Оставшиеся пары ламп соединены последовательно, поэтому у них совпадают токи, а напряжения складываются. Сравните мощности через ток и напряжение.

\(6{,}4\).

Ток через лампу 5 не течёт, поэтому \(I_2 = I_1\) и \(I_4 = I_3\). Напряжение на лампе 5 равно нулю, поэтому \(U_3 = U_1\) и \(U_4 = U_2\). Номинальная мощность лампы 4: \[P_4 = U_4 I_4 = U_2 I_3 = \frac{U_2 I_2 \cdot U_3 I_3}{I_1 U_1} = \frac{P_2 P_3}{P_1} = \frac{4 \cdot 7{,}2}{4{,}5}~\text{Вт} = 6{,}4~\text{Вт}.\]

Сравните время переходов в обоих опытах и путь точки старта относительно берега. Что получится, если расстояние между столбами постоянно?

Однозначного ответа дать нельзя: использованная братьями модель явления противоречит данным их измерений.

Пусть \(v\) — скорость теплохода относительно берега, \(u\) — скорость братьев относительно палубы при переходах (обе постоянны по предположению условия). Время \(N\) переходов равно \(t_N = N\dfrac{L}{u}\), где \(L\) — длина площадки, и не зависит от направления движения. Точка «старта» перемещается относительно берега со скоростью \(v\) независимо от направления движения братьев. Поэтому в обоих «экспериментах» расстояние между столбами равно \[D = N\,\frac{v}{u}\,L.\] Разное число переходов (11 и 13) указывает на то, что либо расстояния между столбами на самом деле не постоянны, либо неверно предположение о постоянстве скоростей. Значит, по этим двум опытам однозначно найти расстояние нельзя: использованная модель противоречит данным измерений.

Количество теплоты, отданное грузом, равно \(c_г m_г (t_2 - t)\). Количество теплоты, полученное жидкостью, равно площади под графиком \(c(t)\) от начальной до конечной температуры, умноженной на её массу.

\(t = (67{,}0 \pm 0{,}3)\,^\circ\)C.

Тепловой баланс: груз отдаёт \(Q_+ = c_г m_г (t_2 - t)\), которое полностью идёт на нагревание жидкости \(Q_-\). Для малого изменения температуры \(\delta t\) жидкость получает \(c(t_{ср})\,m_ж\,\delta t\), а величина \(c(t_{ср})\,\delta t\) — это площадь под графиком удельной теплоёмкости, поэтому \(Q_-\) находится как площадь под графиком \(c(t)\), умноженная на массу жидкости.

Нагрев жидкости от \(20\,^\circ\)C до \(40\,^\circ\)C требует \(Q_1 = 500\,\text{г}\cdot\dfrac{0{,}3+0{,}4}{2}\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{г}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot 20\,^\circ\text{C} = 3500\) Дж, что меньше теплоты, которую отдаёт груз при охлаждении до \(40\,^\circ\)C. Нагрев до \(70\,^\circ\)C потребовал бы больше, чем отдаёт груз. Значит, искомая температура лежит на участке от \(40\,^\circ\)C до \(70\,^\circ\)C. Пусть \(t = 40\,^\circ\text{C} + \tau\); на этом участке \(c(\tau) = 0{,}4 + 0{,}01\,\tau\) (в Дж/(г\(\cdot\,^\circ\)C), \(\tau\) в градусах). Уравнение баланса: \[Q_1 + m_ж\,\frac{c(0) + c(\tau)}{2}\,\tau = m_г c_г (t_2 - t).\] С \(x = \tau/1\,^\circ\)C получаем квадратное уравнение \(x^2 + 410x - 11800 = 0\), положительный корень \(x \approx 27{,}002\), откуда \(t \approx 67\,^\circ\)C.

Погрешность: ошибки в определении \(c\) в точках излома графика не превышают \(5\cdot10^{-3}\) Дж/(г\(\cdot\,^\circ\)C), что даёт около \(1\%\) в величине \(Q\), а значит и около \(0{,}3\,^\circ\)C в \(\tau\). Итог: \(t = (67{,}0 \pm 0{,}3)\,^\circ\)C.

Условие «равные расстояния до моста и до бакена» задаёт геометрическое место точек — парабола с фокусом в бакене. Проекция скорости на поперечное направление постоянна, значит, время переправы и ускорение вдоль реки можно найти по координатам.

1) \(L = 169\) м;  2) \(|\vec a|_{\max} = |\vec a|_{\min} = 0{,}5\) м/с\(^2\).

Введём систему координат с началом в ближайшей к мосту точке траектории катера (она находится на расстоянии \(a/2\) от моста и от бакена). Условие равенства расстояний даёт уравнение траектории \[y + \frac{a}{2} = \sqrt{x^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2}, \qquad \text{откуда} \qquad y(x) = \frac{x^2}{2a}.\] Катер движется по параболе. При \(x = D - a\) координата точки причаливания \(y = \dfrac{(D-a)^2}{2a}\), и её расстояние от моста \[L = y + \frac{a}{2} = \frac{(D-a)^2 + a^2}{2a} = 169~\text{м}.\] Вдоль оси \(x\) катер движется с постоянной скоростью \(v_x = D/T\) (\(T\) — время переправы), поэтому \(a_x \equiv 0\) и \(x(t) = -a + \dfrac{D}{T}t\). По оси \(y\) движение равноускоренное: \[y(t) = \frac{a}{2} - \frac{D}{T}t + \frac{D^2}{aT^2}\,\frac{t^2}{2},\] так что \(a_y = \dfrac{D^2}{aT^2}\) постоянно и направлено вдоль реки. Поэтому максимальное и минимальное значения ускорения совпадают: \[|\vec a|_{\max} = |\vec a|_{\min} = \frac{D^2}{aT^2} = \frac{170^2}{50\cdot 34^2}~\text{м/с}^2 = 0{,}5~\text{м/с}^2.\]

Выразите показания вольтметра через ЭДС, внутреннее сопротивление и сопротивления реостатов. Удобно перейти к обратным величинам, которые линейно зависят от \(1/R_2\), и по двум значениям \(R_1\) найти коэффициенты.

\(\mathcal E \approx (36{,}4 \pm 1{,}0)\) В;  \(r \approx (2{,}2 \pm 0{,}7)\) Ом.

Пусть \(\mathcal E\) и \(r\) — искомые ЭДС и внутреннее сопротивление, \(R_V\) — сопротивление вольтметра. Напряжение на вольтметре равно \[U = \frac{\mathcal E\,R_V R_2}{(r+R_1)(R_V+R_2) + R_V R_2}.\] Обратная величина \(1/U\) — линейная функция от \(1/R_2\): \(\dfrac{1}{U} = a + \dfrac{b}{R_2}\), где \(a = \dfrac{1}{\mathcal E} + \dfrac{1}{\mathcal E}\dfrac{r+R_1}{R_V}\) и \(b = \dfrac{r+R_1}{\mathcal E}\). Для двух значений \(R_1\) (по \(10\) Ом и \(18\) Ом) по двум значениям \(R_2\) из таблицы находим коэффициенты: \[\begin{cases} \dfrac{1}{23{,}1} = a' + \dfrac{b'}{24} \\[2mm] \dfrac{1}{26{,}8} = a' + \dfrac{b'}{42} \end{cases} \Rightarrow a' \approx 0{,}029345~\dfrac{1}{\text{В}},\; b' \approx 0{,}33469~\dfrac{1}{\text{А}},\] \[\begin{cases} \dfrac{1}{18{,}6} = a'' + \dfrac{b''}{24} \\[2mm] \dfrac{1}{22{,}8} = a'' + \dfrac{b''}{42} \end{cases} \Rightarrow a'' \approx 0{,}03065~\dfrac{1}{\text{В}},\; b'' \approx 0{,}55461~\dfrac{1}{\text{А}}.\] Тогда ЭДС: \(\mathcal E = \dfrac{R_1'' - R_1'}{b'' - b'} \approx 36{,}4\) В, а внутреннее сопротивление: \(r = b'\mathcal E - R_1' \approx 2{,}2\) Ом (то же получается и по второму набору).

Погрешность: разность обратных напряжений \(\dfrac{1}{23{,}1} - \dfrac{1}{26{,}8}\) при учёте ошибки в \(0{,}05\) В меняется от \(0{,}00581\) до \(0{,}00614\) 1/В, то есть на несколько процентов, что даёт погрешность ЭДС около \(1\) В. Интервальный метод даёт для внутреннего сопротивления ошибку около \(0{,}7\) Ом. Итог: \(\mathcal E \approx (36{,}4 \pm 1{,}0)\) В, \(r \approx (2{,}2 \pm 0{,}7)\) Ом.