«Покори Воробьёвы горы!», 2020/21, заключительный этап, 7–9 класс

Подсказка

Запишите условия равновесия стержня: сумму сил и сумму моментов относительно точки крепления третьей нити. Для недостающего уравнения используйте, что деформации нитей малы и связаны геометрически.

Ответ

Ответ на вопрос: плечо силы — расстояние от оси до линии действия силы; момент силы — произведение величины силы на плечо, взятое со знаком «\(+\)» («\(-\)»), если сила вращает тело в положительном («отрицательном») направлении: \(M = \pm |F|\, l_\perp\).  Задача: \(m \geqslant \dfrac{M}{3} = 300\) г.

Решение

Ответ на вопрос: плечом силы относительно оси называют расстояние от оси до линии действия силы (в школьной программе рассматриваются только случаи, когда ось перпендикулярна плоскости возможного вращения тела). Момент силы — произведение величины силы на её плечо, взятое со знаком «\(+\)» («\(-\)»), если сила вращает тело вокруг оси в положительном («отрицательном») направлении: \(M = \pm |F|\, l_\perp\).

На стержень действуют силы натяжения нитей \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\), сила тяжести \(Mg\) (приложена к середине стержня, так как он однородный) и вес груза \(mg\). Условие равенства нулю суммы сил: \(T_1 + T_2 + T_3 = (M + m)g\). Условие равенства нулю суммы моментов относительно точки крепления третьей нити: \[T_1 \frac{3L}{4} + T_2 \frac{3L}{8} + mg \frac{L}{4} = Mg \frac{L}{4},\] то есть \(6T_1 + 3T_2 = 2(M - m)g\). Этих уравнений не хватает. Дополнительно учитываем, что деформации нитей малы, а деформации стержня и потолка ещё меньше, поэтому деформации нитей — отрезки трёх параллельных прямых между сторонами одного угла. Вторая нить стоит точно посередине между первой и третьей, поэтому её деформация равна полусумме деформаций первой и третьей: \(2x_2 = x_1 + x_3\). Нити одинаковы, значит, \(2T_2 = T_1 + T_3\).

Из этого уравнения и условия равновесия сил получаем \(3T_2 = (M + m)g\), а из уравнения моментов — \(T_1 = \dfrac{1}{6}(M - 3m)g\). Первая нить натянута, если \(T_1 > 0\), поэтому она провиснет при \(m \geqslant \dfrac{M}{3} = 300\) г. Нетрудно проверить, что при \(m = 300\) г две другие нити ещё натянуты; следующей провиснет вторая нить, когда масса груза достигнет массы стержня.

Ответ: первая нить провиснет при \(m \geqslant \dfrac{M}{3} = 300\) г.

Подсказка

Сначала подумайте, как сила Архимеда меняет натяжение нити, пока на цилиндре ещё нет льда. Потом учтите, что при намерзании льда выделяется теплота кристаллизации: часть её уходит на нагрев цилиндра до \(0\,^\circ\)C, и из теплового баланса находится масса льда.

Ответ

Ответ на вопрос: уровень воды не изменится.  Задача: сразу после опускания в воду \(T = T_0\left(1 - \dfrac{\rho_в}{\rho_A}\right) \approx 3{,}78\) Н; после установления равновесия \(T' \approx 3{,}43\) Н.

Решение

Ответ на вопрос: когда брусок лежал на плоту, он вытеснял из-под «ватерлинии» объём воды, равный отношению массы бруска к плотности воды. Упав в воду, брусок, плавающий на её поверхности, вытесняет тот же объём, поэтому уровень воды в сосуде не изменится.

Когда цилиндр висит в воздухе, сила натяжения нити уравновешивает силу тяжести: \(T_0 = mg\). Сразу после опускания цилиндра в воду, пока льда на нём ещё нет, на цилиндр действует сила Архимеда \(F_A = \rho_в V_ц g = \dfrac{\rho_в}{\rho_A} mg\), которая разгружает нить: \[T = mg - F_A = T_0\left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_A}\right) \approx 3{,}78~\text{Н}.\]

Далее на цилиндр намерзает лёд. За счёт теплоты кристаллизации цилиндр прогревается до равновесной температуры \(0\,^\circ\)C, поэтому масса образовавшегося льда находится из уравнения теплового баланса: \[c_A m (t_0 - t_1) = \lambda m_Л \quad\Rightarrow\quad \frac{m_Л}{m} = \frac{c_A (t_0 - t_1)}{\lambda}.\] Лёд разгружает нить на величину разности силы Архимеда, действующей на лёд, и его веса (плотность льда меньше плотности воды): \(\rho_в V_Л g - \rho_Л V_Л g = \left(\dfrac{\rho_в}{\rho_Л} - 1\right) m_Л g\). Поэтому после установления теплового равновесия натяжение нити \[T' = T - T_0 \frac{m_Л}{m}\left(\frac{\rho_в}{\rho_Л} - 1\right) = T_0\left(1 - \frac{\rho_в}{\rho_A} - \frac{c_A (t_0 - t_1)}{\lambda}\cdot\frac{\rho_в - \rho_Л}{\rho_Л}\right) \approx 3{,}43~\text{Н}.\]

Ответ: \(T = T_0\left(1 - \dfrac{\rho_в}{\rho_A}\right) \approx 3{,}78\) Н (сразу после опускания в воду); \(T' \approx 3{,}43\) Н (после установления равновесия).

Подсказка

Найдите точки одинакового потенциала: резистор между ними можно убрать. После упрощения схемы сравните ток через амперметр с током короткого замыкания источника.

Ответ

Ответ на вопрос: ЭДС — отношение работы сторонних сил по перемещению заряда через источник к величине этого заряда, \(\mathcal{E} = A_{\text{стор}}/q\); сторонние силы имеют неэлектростатическое происхождение (механическая работа, тепло, излучение, химические реакции, электромагнитная индукция).  Задача: \(r = \dfrac{2I}{I_0 - I} R = 2\) Ом, \(\mathcal{E} = \dfrac{2I_0 I}{I_0 - I} R = 16\) В.

Решение

Ответ на вопрос: для поддержания тока источник должен разделять и перемещать заряды, «поставляя» их на свой положительный полюс; электростатические силы этому препятствуют, поэтому работу по перемещению зарядов совершают сторонние силы источника неэлектростатического происхождения. ЭДС — отношение работы сторонних сил по перемещению заряда через источник к величине этого заряда: \(\mathcal{E} = A_{\text{стор}}/q\). Природа сторонних сил различна: механическая работа (электрофорная машина), тепловая энергия (термогенераторы, элементы Пельтье), излучение (фотоэлементы, солнечные батареи), химические реакции (гальванические элементы, химические источники тока), электромагнитная индукция (индукционные генераторы).

Упростим схему. Верхний «поперечный» резистор включён между точками с одинаковым потенциалом (сбалансированный мост), поэтому его можно убрать без изменения токов в остальных элементах. Тогда в верхней части образуются две пары параллельно соединённых участков с сопротивлениями \(R/2\) и \(R\). Получается ещё один сбалансированный мост, и второй «поперечный» резистор тоже можно убрать. Нагрузка источника — сопротивление \(R\) и два параллельно подключённых участка, эквивалентное сопротивление которых \(R' = \dfrac{(3R/2)\cdot 3R}{9R/2} = R\) (см. рисунок).

Ток, измеряемый амперметром, удовлетворяет соотношению \(I(2R + r) = \mathcal{E}\). Для тока короткого замыкания источника \(I_0 r = \mathcal{E}\). Разделив эти соотношения друг на друга, находим внутреннее сопротивление \[r = \frac{2I}{I_0 - I}\, R = 2~\text{Ом},\] и ЭДС \[\mathcal{E} = \frac{2 I_0 I}{I_0 - I}\, R = 16~\text{В}.\]

Ответ: \(r = \dfrac{2I}{I_0 - I} R = 2\) Ом, \(\mathcal{E} = \dfrac{2 I_0 I}{I_0 - I} R = 16\) В.

Подсказка

Малый участок траектории можно считать дугой окружности, на которой вектор скорости поворачивается на тот же угол. Отсюда радиус кривизны связан с отношением линейной и угловой скорости, а центростремительное ускорение равно \(v^2/R\).

Ответ

Ответ на вопрос: радиус кривизны — радиус дуги окружности, которой на малом участке можно заменить траекторию.  Задача: \(\tau = \dfrac{l_0}{V} = 5\) с; отношение ускорений постоянно и равно \(\dfrac{a_{ЭМ}}{a_{ЭК}} = \dfrac{u}{V} = 2\).

Решение

Ответ на вопрос: при описании криволинейного движения бесконечно малый участок траектории можно представить как дугу окружности, на которой вектор скорости поворачивается на тот же угол. Если на малом участке длиной \(\Delta l\) вектор скорости поворачивается на угол \(\Delta\varphi\), то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скорости в начале и конце участка, и в пределе \(R = \dfrac{\Delta l}{\Delta\varphi}\) — радиус кривизны траектории в данной точке. Он является геометрической характеристикой участка траектории и не зависит от скорости; центростремительное ускорение равно \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\).

За любой малый интервал времени \(\Delta t\) расстояние между ЭК и ЭМ сокращается на \(V\Delta t\) благодаря движению ЭК, поэтому длительность погони \(\tau = \dfrac{l_0}{V} = 5\) с.

Модули скоростей ЭМ и ЭК не меняются, поэтому их ускорения определяются радиусами кривизны траекторий. Угол между скоростями ЭМ и ЭК равен \(90^\circ\), поэтому они поворачиваются на один и тот же угол \(\Delta\alpha\). Отношение длин малых участков траекторий равно отношению модулей скоростей, значит, \(\dfrac{R_{ЭК}}{R_{ЭМ}} = \dfrac{V}{u}\). Тогда \[\frac{a_{ЭМ}}{a_{ЭК}} = \frac{u^2}{R_{ЭМ}}\cdot\frac{R_{ЭК}}{V^2} = \frac{u}{V} = 2.\] Явно вычисленные радиусы кривизны подтверждают результат: \(R_{ЭМ} = l\), \(a_{ЭМ} = \dfrac{u^2}{l}\), \(R_{ЭК} = \dfrac{V}{u} l\), \(a_{ЭК} = \dfrac{Vu}{l}\). Таким образом, на протяжении всей погони отношение ускорений неизменно и равно \(2\).

Ответ: \(\tau = \dfrac{l_0}{V} = 5\) с; отношение ускорений постоянно и равно \(\dfrac{a_{ЭМ}}{a_{ЭК}} = \dfrac{u}{V} = 2\).