«Покори Воробьёвы горы!», 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Все заряды кольца находятся на одном расстоянии от точки на его оси. Что это даёт для потенциала на оси? Запишите закон сохранения энергии для частицы, которая улетает на бесконечность.

Ответ

\(240\) м/с.

Решение

Направим ось \(x\) из центра кольца перпендикулярно его плоскости в направлении запуска частицы. Из симметрии распределения зарядов по кольцу ясно, что частица будет двигаться только по этой оси. Все заряды кольца находятся на одинаковом расстоянии \(r = \sqrt{R^2+x^2}\) от точки на оси, поэтому потенциал на оси равен \(\varphi(x) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{1012\,\Delta Q}{r}\), где \(\Delta Q = +20\) нКл — заряд одной пары соседних секторов. Потенциальная энергия частицы \[U(x) = q\varphi(x) = 253\,\frac{q\,\Delta Q}{\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+x^2}}.\] На очень большом расстоянии энергия практически равна нулю, поэтому из закона сохранения энергии \[\frac{m v_{\min}^2}{2} + 253\,\frac{q\,\Delta Q}{\pi\varepsilon_0 R} = 0 \;\Rightarrow\; v_{\min} = \sqrt{\frac{506}{\pi\varepsilon_0 R}\cdot\frac{(-q)\,\Delta Q}{m}} \approx 240~\text{м/с}.\]

Подсказка

Температура идеального газа пропорциональна \(pV\). Найдите, при каком объёме произведение \(pV\) на прямой максимально, и сравните с изотермой.

Ответ

\(375\).

Решение

Температура идеального газа \(T = \dfrac{pV}{\nu R}\), и на прямой при заданном объёме она равна \[T(V) = \frac{p_0V_0}{\nu R}\cdot\frac{V}{V_0}\left(8 - \frac{V}{V_0}\right).\] Поэтому температура изотермы равна \(T = \dfrac{p_0V_0}{\nu R}\,n(8-n)\), а максимальная температура в процессе достигается в точке \(V = 4V_0\) на прямой: \[T_{\max} = 16\,\frac{p_0V_0}{\nu R} = \frac{16\,T}{n(8-n)} = 375~\text{К}.\]

Подсказка

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, поэтому напряжение на нём и на всех параллельных ему ветвях равно нулю. Что тогда известно о токах в этих ветвях?

Ответ

\(0{,}77\) А.

Решение

Поскольку амперметр идеальный, напряжение на нём равно нулю. Соответственно равны нулю напряжения на всех ветвях, подключённых параллельно амперметру, поэтому через резисторы, подключённые параллельно амперметру, ток не течёт. Для остальных ветвей, нумеруя их слева направо (искомый ток \(I_A \equiv I_3\)), по законам Ома и ВАХ диода получаем: \[4\mathcal{E} - 2RI_1 = 0 \Rightarrow I_1 = \frac{2\mathcal{E}}{R},\quad \mathcal{E} - RI_2 = 0 \Rightarrow I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R},\quad 2\mathcal{E} - 2RI_5 = 0 \Rightarrow I_5 = \frac{\mathcal{E}}{R},\] \[\mathcal{E} - RI_4 - U_D(I_4) = 0 \Rightarrow I_4 = \frac{\mathcal{E}}{4R}.\] Следовательно, \[I_3 = I_1 - I_2 + I_5 - I_4 = \frac{7}{4}\,\frac{\mathcal{E}}{R} \approx 0{,}77~\text{А}.\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта одного из квадрокоптеров: как направлена скорость второго относительно него? Что это значит для расстояния между ними?

Ответ

1) \(\omega = \dfrac{u\sin\alpha}{L} = \dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{u}{L} \approx 0{,}500\) с\(^{-1}\);  2) \(a_v = 5\) м/с\(^2\) (преследователь), \(a_u = 10\) м/с\(^2\) (преследуемый);  3) нет, расстояние между квадрокоптерами остаётся неизменным;  4) две концентрические окружности радиусами примерно \(20\) м (у преследователя) и \(40\) м (у преследуемого).

Решение

Рассмотрим произвольный момент времени и определим относительную скорость квадрокоптеров. Она оказывается перпендикулярна прямой, соединяющей квадрокоптеры: проекция скорости «преследуемого» на эту прямую в точности равна скорости «преследователя», направленной вдоль неё, \(v = u\cos\alpha\). Поэтому за малое время \(\Delta t\) прямая поворачивается на угол \(\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = \dfrac{u\sin\alpha\,\Delta t}{L}\), откуда \[\omega = \frac{u\sin\alpha}{L} = \frac{\sqrt3}{2}\,\frac{u}{L} \approx 0{,}500~\text{с}^{-1}.\] Изменение расстояния за тот же промежуток времени \(\Delta L = (u\cos\alpha - v)\,\Delta t = 0\), то есть расстояние в действительности остаётся неизменным. Так как величины скоростей и угол между ними постоянны, оба тела вращаются вместе с этой линией с постоянной угловой скоростью. Радиусы кривизны траекторий тоже постоянны: \[R_v = \frac{v}{\omega} \approx 20{,}00~\text{м}, \qquad R_u = \frac{u}{\omega} \approx 40{,}00~\text{м}.\] Так как величины скоростей не меняются, ускорения центростремительные: \(a_v = \omega v = 5\) м/с\(^2\) и \(a_u = \omega u = 10\) м/с\(^2\). Их модули неизменны, поэтому значения справедливы в любой момент движения. Постоянство расстояния исключает успешную погоню, пока движение не изменится. Траектории — две концентрические окружности радиусами примерно 20 м (у преследователя) и 40 м (у преследуемого), причём в любой момент времени вектор скорости преследователя направлен на преследуемого (см. рисунок).

Подсказка

Сколько молей водорода окажется в каждой половине сосуда, когда концентрации выровняются? Запишите условие равновесия поршня через давления азота и водорода по обе стороны от него.

Ответ

Поршень сместится вверх на \(18\) см.

Решение

В начальный момент вес поршня уравновешивался разностью давлений азота и водорода: \(Mg = \Delta p\,S = \dfrac{2RT}{h}\). Из-за диффузии водорода поршень начнёт смещаться вверх, где количество газа уменьшается. Пусть \(x\) — расстояние, на которое он сместится, а \(y\) — количество молей водорода, перешедших в нижнюю половину. Тогда, с одной стороны, концентрации водорода должны выровняться: \[\frac{y}{1-y} = \frac{h+x}{h-x} \;\Rightarrow\; \frac{x}{h} = 2y - 1,\] а с другой — в соответствии с условием равновесия поршня: \[Mg = \frac{(3+y)RT}{h+x} - \frac{(1-y)RT}{h-x} \;\Rightarrow\; 2 = \frac{3+y}{2y} - \frac{1-y}{2(1-y)} = \frac{3}{2y} \;\Rightarrow\; y = \frac{3}{4} \;\Rightarrow\; x = \frac{h}{2} = 18~\text{см}.\]

Подсказка

В момент, когда скорость перпендикулярна перемещению, модуль перемещения экстремален. Какое уравнение на \(z = gt/v_0\) при этом получается и когда у него один корень?

Ответ

1) \(\alpha \approx (70{,}5 \pm 0{,}3)^\circ\); 2) \(v_0 \approx (9{,}81 \pm 0{,}05)\) м/с; 3) \(r_0 \approx 5{,}66 \pm 0{,}06\) м.

Решение

Закон движения шарика удобно записать в системе координат с горизонтальной осью \(x\) и вертикальной осью \(y\), совместив начало с точкой броска: \[\begin{cases} x(t) = v_0\cos\alpha\, t \\ y(t) = v_0\sin\alpha\, t - \dfrac{gt^2}{2}\end{cases} \;\Rightarrow\; r(t) = v_0\,t\sqrt{1 - \frac{g\sin\alpha}{v_0}\,t + \frac{g^2t^2}{4v_0^2}}.\] Скорость изменения величины перемещения \(\dfrac{\Delta r}{\Delta t}\) связана с тангенсом угла наклона касательной к графику. На графике нет участков, где она отрицательна, а единственный участок, где она близка к нулю, — при \(t = 1{,}40\ldots1{,}43\) усл. ед.; примем \(t_0 = 1{,}415 \pm 0{,}015\) усл. ед.

В безразмерной переменной \(z \equiv gt/v_0\) условие \(\dfrac{dr}{dt} = 0\) даёт уравнение \(z^2 - 3\sin\alpha\,z + 2 = 0\) с дискриминантом \(D = 9\sin^2\alpha - 8\), который зависит только от угла. График согласуется с ситуацией, когда у уравнения один корень, то есть \(\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}\), \(\alpha = \arcsin\dfrac{2\sqrt2}{3} \approx 70{,}5^\circ\). Тогда в момент \(t_0\) корень равен \(z_0 = \sqrt2\), и \(\dfrac{v_0}{g} = \dfrac{t_0}{\sqrt2}\).

Перемещение в этот момент \(r_0 = \dfrac{v_0^2}{\sqrt3\,g}\), по графику \(r_0 \approx 1{,}155 \pm 0{,}005\) усл. ед.; отсюда и из \(v_0\) и \(t_0\) для времени в секундах: \[v_0 = \frac{g\,t_0}{\sqrt2} \approx (9{,}8 \pm 0{,}1)~\text{м/с}, \qquad r_0 = \frac{g\,t_0^2}{2\sqrt3} \approx 5{,}66 \pm 0{,}12~\text{м}.\] При полном анализе графика получаются уточнённые значения \(\alpha \approx (70{,}5 \pm 0{,}3)^\circ\), \(v_0 \approx (9{,}81 \pm 0{,}05)\) м/с и \(r_0 \approx 5{,}66 \pm 0{,}06\) м, которые и являются ответами организаторов.

Подсказка

Суммарный заряд шариков нулевой, так что поле действует на систему из двух шариков без результирующей силы. Запишите равновесие одного шарика с силами натяжения, тяжести, поля и кулоновского притяжения.

Ответ

\(\alpha_1 = \tilde\alpha_1 = 0\),  \(\alpha_2 \approx 16{,}3^\circ\),  \(\tilde\alpha_2 \approx 5{,}6^\circ\).

Решение

Вначале сила натяжения верхней нити уравновешивала силу тяжести, действующую на «тело» из двух шариков, соединённых нижней нитью. Следовательно, \(T_0 = 2mg\), откуда \(m = \dfrac{T_0}{2g} \approx 61{,}16\) г, а радиус шариков \(r = \sqrt[3]{\dfrac{3m}{4\pi\rho}} \approx 11{,}8\) мм. Это почти в 25 раз меньше длины нити, поэтому для кулоновского притяжения используем закон Кулона для точечных зарядов.

Суммарный заряд, нанесённый на шарики, равен нулю, поэтому и суммарная сила поля, действующая на «тело» из двух шариков, равна нулю. Значит, сила натяжения верхней нити не меняется ни по величине, ни по направлению, и верхняя нить во всех случаях остаётся вертикальной: \(\alpha_1 = \tilde\alpha_1 = 0\).

После заряжения шариков на каждый действуют силы \(\pm qE\) со стороны поля и кулоновская сила притяжения \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\), где \(R = L + 2r \approx 314{,}6\) мм. Силы натяжения нижней нити сонаправлены с кулоновскими, поэтому их можно объединить в силу \(\vec F = \vec F_C + \vec T\). Обозначив угол отклонения нижней нити \(\alpha\), из условия равновесия шарика \[F\sin\alpha = qE, \qquad F\cos\alpha = mg \;\Rightarrow\; \tan\alpha = \frac{qE}{mg} = \frac{7}{24}, \qquad F = \frac{25}{24}\,mg = 0{,}625~\text{Н},\] то есть \(\alpha \approx 16{,}3^\circ\). Это решение верно, если нижняя нить натянута: \(T = F - F_C = \dfrac{25}{48}T_0 - \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2} \approx +0{,}057\) Н \(> 0\) — условие выполнено.

При уменьшении поля в три раза \(\tan\tilde\alpha = \dfrac{7}{72}\), \(\tilde\alpha \approx 5{,}6^\circ\), \(\tilde F = \dfrac{\sqrt{5233}}{72}\,mg \approx 0{,}603\) Н; нить снова натянута, и угол уменьшается почти в три раза.

Важно учитывать радиус шариков. Если вычислить кулоновскую силу без этой поправки, то \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0L^2} \approx 0{,}664\) Н, и нижняя нить оказалась бы ненатянутой уже при первом значении напряжённости. Тогда шарики «прилипли» бы друг к другу, разрядились, и все ответы были бы некорректными.