«Покори Воробьёвы горы!», 2023/24, отборочный этап, 7–9 класс

Подсказка

Выразите скорости моделей через длину трассы и времена, затем учтите, что обгон происходит, когда вторая модель проходит на один круг больше первой; при встречной езде скорости складываются.

Ответ

\(70\).

Решение

Пусть \(L\) — длина трассы, \(t_1 = 175\) с, \(T = 350\) с. Тогда, как следует из условия, \[\begin{cases} v_1 = \dfrac{L}{t_1} \\ v_2 - v_1 = \dfrac{L}{T}\end{cases} \;\Rightarrow\; \frac{L}{T'} = v_2 + v_1 = \frac{L}{T} + 2\frac{L}{t_1} \;\Rightarrow\; T' = \frac{T t_1}{2T + t_1} = 70~\text{с}.\]

Подсказка

Трубка открыта с обоих концов, поэтому атмосферное давление на поршень не действует. Сравните силу упругости пружины с весом столба жидкости над поршнем.

Ответ

\(525\).

Решение

Пусть \(S\) — площадь сечения трубки, \(\rho\) — плотность жидкости, \(g\) — ускорение свободного падения. Атмосферное давление не влияет на равновесие поршня, которое обеспечивается равенством силы упругости пружины и силы тяжести жидкости: \(k(L - L_0) = \rho g S h\). Из заданного значения \(\rho g S = 0{,}84\,k\) следует \(L(h) = L_0 + 0{,}84\,h\). Максимальная длина пружины достигается, когда столб жидкости доходит до верхнего края трубки, то есть при \(h = L(h)\). Значит, \(0{,}16\,L_{\max} = L_0\), и \[\frac{L_{\max} - L_0}{L_0} = \frac{1}{0{,}16} - 1 = \frac{21}{4} = 525\,\%.\]

Подсказка

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, поэтому напряжение на нём и на всех параллельных ему ветвях равно нулю. Что тогда известно о токах в этих ветвях?

Ответ

\(3{,}2\) А.

Решение

Поскольку амперметр идеальный, напряжение на нём равно нулю, и напряжения на всех ветвях, подключённых параллельно амперметру, тоже равны нулю; через резисторы, подключённые параллельно амперметру, ток не течёт. Ветви с ненулевым током нумеруем слева направо (искомый ток \(I_A \equiv I_3\)). По законам Ома и ВАХ диода: \[4\mathcal{E} - 2RI_1 = 0 \Rightarrow I_1 = \frac{2\mathcal{E}}{R}, \quad \mathcal{E} - RI_2 = 0 \Rightarrow I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R}, \quad 2\mathcal{E} - 2RI_5 = 0 \Rightarrow I_5 = \frac{\mathcal{E}}{R},\] \[\mathcal{E} - U_D(I_4) = 0 \Rightarrow I_4 = I(\mathcal{E}) = 2\,\frac{\mathcal{E}}{R}.\] Следовательно, \[I_3 = I_1 + I_2 + I_5 - I_4 = 2\,\frac{\mathcal{E}}{R} = 3{,}2~\text{А}.\]

Подсказка

Пока в термосе есть лёд, температура не растёт: кипяток отдаёт тепло на плавление льда. Составьте баланс для момента, когда лёд только что растаял, и баланс масс для объёма термоса.

Ответ

1) \(\Delta\tau = \dfrac{31}{24}\,\tau_1 = 31\) с;  2) \(t = 0{,}3\,t_K + 0{,}7\,t_0 = 30\) °C.

Решение

Система находится при нормальном атмосферном давлении, поэтому температура мокрого снега \(t_0 = 0\) °C, а температура кипятка \(t_K = 100\) °C. Пока в термосе есть лёд, температура не меняется, так как кипяток остывает, отдавая тепло на таяние льда. Кипяток подают очень медленно, поэтому содержимое термоса в каждый момент находится практически в равновесии.

Пусть в термосе были вода массой \(M_0\) и лёд массой \(m_0\), а за время \(\tau_1\) поступил кипяток массой \(M_1\). Тогда из теплового баланса \[\lambda m_0 = c M_1 (t_K - t_0) \;\Rightarrow\; M_1 = \frac{\lambda}{c(t_K-t_0)}\,m_0 = \frac{4}{5}\,m_0.\] Лёд полностью растаял как раз к моменту \(\tau_1\). Из объёмов (\(\rho_0 = 1\), \(\rho = 0{,}9\)): \[0{,}5\,V = \frac{m_0}{\rho} + \frac{M_0}{\rho_0}, \qquad 0{,}7\,V = \frac{m_0 + M_0 + M_1}{\rho_0},\] откуда \(m_0 = \dfrac{9}{31}\rho_0 V\), \(M_0 = \dfrac{11}{62}\rho_0 V\), \(M_1 = \dfrac{36}{155}\rho_0 V\).

Поступление кипятка идёт с постоянным расходом \(M_1/\tau_1\), поэтому до полного заполнения (ещё \(0{,}3\,V\)) пройдёт \[\Delta\tau = \frac{0{,}3\,\rho_0 V}{M_1}\,\tau_1 = \frac{31}{24}\,\tau_1 = 31~\text{с}.\] Тепловой баланс за этот промежуток: \(0{,}7\,\rho_0V\,(t - t_0) = 0{,}3\,\rho_0V\,(t_K - t)\), откуда \(t = 0{,}3\,t_K + 0{,}7\,t_0 = 30\) °C.

Подсказка

Условие \(v_r = 0\) означает, что вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору. Запишите скалярное произведение \(\vec v\cdot\vec r\) как квадратное уравнение относительно времени.

Ответ

1) \(\alpha \approx 70{,}5^\circ\);  2) \(v_0 \approx 6{,}48\) м/с.

Решение

Законы изменения скорости и перемещения: \(\vec v = \vec v_0 + \vec g t\), \(\vec r = \vec v_0 t + \dfrac{\vec g t^2}{2}\). Условие \(v_r = 0\) означает \(\vec v\cdot\vec r = 0\), откуда \[v_0^2 + \frac{3}{2}\,(\vec g\cdot\vec v_0)\,t + \frac{1}{2}\,g^2t^2 = 0.\] Так как \(\vec g\cdot\vec v_0 = -g v_0\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона \(\vec v_0\) к горизонту, момент обращения \(v_r\) в ноль — единственный корень квадратного уравнения \(t^2 - \dfrac{3}{g}v_0\sin\alpha\,t + \dfrac{2}{g^2}v_0^2 = 0\). Приравнивая дискриминант нулю, находим \(\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}\), то есть \(\alpha \approx 70{,}5^\circ\). При этом \(t_0 = \dfrac{\sqrt2\,v_0}{g}\), откуда \[v_0 = \frac{g\,t_0}{\sqrt2} \approx 6{,}48~\text{м/с}.\]

Подсказка

Суммарный заряд шариков нулевой, так что поле действует на систему из двух шариков без результирующей силы. Запишите равновесие одного шарика с силами натяжения, тяжести, поля и кулоновского притяжения.

Ответ

\(\alpha_1 = \tilde\alpha_1 = 0\),  \(\alpha_2 \approx 16{,}3^\circ\),  \(\tilde\alpha_2 \approx 5{,}6^\circ\).

Решение

Сначала сила натяжения верхней нити уравновешивала силу тяжести, действующую на «тело» из двух шариков, соединённых нижней нитью: \(T_0 = 2mg\), откуда \(m \approx 61{,}16\) г и радиус шариков \(r = \sqrt[3]{\dfrac{3m}{4\pi\rho}} \approx 11{,}8\) мм. Это почти в 25 раз меньше длины нити, поэтому для кулоновского притяжения используем закон Кулона для точечных зарядов.

Суммарный заряд шариков равен нулю, поэтому суммарная сила поля, действующая на «тело» из двух шариков, тоже равна нулю. Значит, верхняя нить во всех случаях остаётся вертикальной: \(\alpha_1 = \tilde\alpha_1 = 0\).

После включения поля на каждый шарик действуют силы \(\pm qE\) и кулоновское притяжение \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}\), где \(R = L + 2r \approx 314{,}6\) мм. Силы натяжения нижней нити сонаправлены с кулоновскими, поэтому их можно объединить в силу \(\vec F = \vec F_C + \vec T\). Из условия равновесия шарика, при угле \(\alpha\) нижней нити с вертикалью, \[F\sin\alpha = qE, \qquad F\cos\alpha = mg \;\Rightarrow\; \tan\alpha = \frac{qE}{mg} = \frac{7}{24}, \qquad F = \frac{25}{24}\,mg = 0{,}625~\text{Н},\] то есть \(\alpha \approx 16{,}3^\circ\). Это верно при натянутой нижней нити: \(T = F - F_C = \dfrac{25}{48}T_0 - \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2} \approx +0{,}057\) Н \(> 0\).

При уменьшении поля в три раза \(\tan\tilde\alpha = \dfrac{7}{72}\), \(\tilde\alpha \approx 5{,}6^\circ\), \(\tilde F = \dfrac{\sqrt{5233}}{72}\,mg \approx 0{,}603\) Н; нить снова натянута.

Важно учитывать радиус шариков: без этой поправки \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0L^2} \approx 0{,}664\) Н, и нижняя нить оказалась бы ненатянутой уже при первом значении напряжённости; тогда шарики «прилипли» бы друг к другу, разрядились, и все ответы были бы некорректными.

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта одного из квадрокоптеров: как направлена скорость второго относительно него? Что это значит для расстояния между ними?

Ответ

1) \(\omega = \dfrac{u\sin\alpha}{L} = \dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{u}{L} \approx 0{,}500\) с\(^{-1}\);  2) \(a_v = 5\) м/с\(^2\) (преследователь), \(a_u = 10\) м/с\(^2\) (преследуемый);  3) нет, расстояние между квадрокоптерами остаётся неизменным;  4) две концентрические окружности радиусами примерно \(20\) м (у преследователя) и \(40\) м (у преследуемого).

Решение

Рассмотрим произвольный момент времени и определим относительную скорость квадрокоптеров. Она перпендикулярна прямой, соединяющей квадрокоптеры: проекция скорости «преследуемого» на эту прямую в точности равна скорости «преследователя», направленной вдоль неё: \(v = u\cos\alpha\). Поэтому за малое время \(\Delta t\) прямая поворачивается на угол \(\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = \dfrac{u\sin\alpha\,\Delta t}{L}\), откуда \[\omega = \frac{u\sin\alpha}{L} = \frac{\sqrt3}{2}\,\frac{u}{L} \approx 0{,}500~\text{с}^{-1}.\] Изменение расстояния за тот же промежуток \(\Delta L = (u\cos\alpha - v)\,\Delta t = 0\), то есть расстояние в действительности остаётся неизменным. Так как величины скоростей и угол между ними постоянны, оба тела вращаются вместе с этой линией с постоянной угловой скоростью, и радиусы их траекторий постоянны: \[R_v = \frac{v}{\omega} \approx 20{,}00~\text{м}, \qquad R_u = \frac{u}{\omega} \approx 40{,}00~\text{м}.\] Скорости не меняются по величине, поэтому ускорения центростремительные: \(a_v = \omega v = 5\) м/с\(^2\), \(a_u = \omega u = 10\) м/с\(^2\); их модули неизменны. Постоянство расстояния исключает успешную погоню, пока характер движения не изменится. Траектории — две концентрические окружности радиусами примерно 20 м (у преследователя) и 40 м (у преследуемого), причём в любой момент вектор скорости преследователя направлен на преследуемого.