зад 1 Шайба на трёх резинках
Вопрос: Материальная точка массы \(m\) может двигаться в плоскости \(xy\) в поле сил с потенциальной энергией \(U(x,y)=k\cdot(4x^2+y^2)/2\). Каковы возможные частоты её линейных (происходящих вдоль одной прямой) гармонических колебаний около положения равновесия?
Задача: На гладкой горизонтальной поверхности неподвижно закреплено кольцо, к трём точкам которого прикреплены концы трёх упругих резинок, вторые концы которых прикреплены к одной небольшой шайбе с массой \(m = 250\) г. Длина всех трёх резинок в ненапряжённом состоянии одинакова и в точности равна радиусу кольца. В положении равновесия шайбы две резинки — с одинаковыми коэффициентами жёсткости \(k = 1\) Н/м — взаимно перпендикулярны (см. рисунок), а третья — с \(k' = 8\) Н/м — ориентирована вдоль биссектрисы угла между ними. Шайбу отвели на расстояние \(s = 1{,}2\) см от этого положения и отпустили без начальной скорости. Оказалось, что шайба поехала по прямой и вернулась в положение равновесия за время \(t\). Найти все возможные значения \(t\) и скорости шайбы в этот момент времени. Отметим, что \(s\) намного меньше радиуса кольца.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите деформации резинок при малом смещении шайбы вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Какие из них дают движение по прямой через положение равновесия? Время до положения равновесия — четверть периода колебаний.
▶ОтветСкрыть
Вопрос: \(\omega_1 = 2\sqrt{k/m}\), \(\omega_2 = \sqrt{k/m}\); Задача: 1) \(t \approx 0{,}785\) с и \(t \approx 0{,}262\) с (вариант 1), либо \(0{,}785\) с, \(0{,}278\) с и \(1{,}147\) с (вариант 2); 2) \(v \approx 0{,}024\) м/с и \(0{,}072\) м/с (вариант 1), либо \(0{,}024\) м/с, \(0{,}068\) м/с и \(0{,}016\) м/с (вариант 2).
▶РешениеСкрыть
Официальное решение рассматривает два варианта трактовки резинок; оба засчитываются.
Вариант 1 (резинки работают и на растяжение, и на сжатие). Оси \(x\) и \(y\) — как на рисунке (ось \(y\) направлена вдоль резинки \(k'\)). Деформации резинок при малых отклонениях: \(\Delta l_1 \approx -\dfrac{x+y}{\sqrt2}\), \(\Delta l_2 \approx y\), \(\Delta l_3 \approx \dfrac{x-y}{\sqrt2}\), энергия \(U \approx \dfrac{kx^2}{2} + \dfrac{(k+k')y^2}{2}\). Движение вдоль осей прямолинейное и гармоническое; время до положения равновесия — четверть периода: \(t_1 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k}} \approx 0{,}785\) с, \(t_2 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k+k'}} \approx 0{,}262\) с. Скорость в положении равновесия \(v = \omega s\): \(v_1 = s\sqrt{k/m} \approx 0{,}024\) м/с, \(v_2 = s\sqrt{(k+k')/m} \approx 0{,}072\) м/с.
Вариант 2 (резинка провисает при сжатии). При отклонении вдоль резинки \(k\) движение по прямой с жёсткостью \(k\): \(t_1 \approx 0{,}785\) с, \(v_1 \approx 0{,}024\) м/с; вдоль резинки \(k'\): \(t_2 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m}{k'}} \approx 0{,}278\) с, \(v_2 \approx 0{,}068\) м/с. В остальных секторах работают две резинки, и по направлению, которое проходит через положение равновесия, эффективная жёсткость \(\tilde k = \dfrac{k+k'-\sqrt{k^2+k'^2}}{2}\); отсюда \(t_3 = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{2m}{k+k'-\sqrt{k^2+k'^2}}} \approx 1{,}147\) с, \(v_3 \approx 0{,}016\) м/с.
Ответ на вопрос (отдельно, с другой энергией из условия вопроса): \(U = k(4x^2+y^2)/2\) даёт \(\omega_x = 2\sqrt{k/m}\) и \(\omega_y = \sqrt{k/m}\).
зад 2 Поршень с гирькой
Вопрос: Какую работу нужно совершить при адиабатическом сжатии одного моля кислорода с начальной температурой 301 К для увеличения его давления на \(0{,}7\) %?
Задача: В цилиндрическом сосуде с гладкими теплоизолирующими вертикальными стенками под горизонтальным теплоизолирующим поршнем находится воздух. Изначально поршень находится в равновесии, и расстояние между нижней поверхностью поршня и дном сосуда равно \(h_0 = 30\) см. На поршень аккуратно поставили небольшую гирьку, и поршень начал опускаться. В тот момент, когда он достиг наинизшего положения на высоте \(h_1 = 29\) см над дном сосуда, гирьку так же аккуратно убрали. До какой максимальной высоты \(h_2\) поднимется поршень после этого? Вязкостью воздуха можно пренебречь, воздух можно считать двухатомным идеальным газом, происходящие с ним процессы — квазиравновесными, а изменениями внешнего атмосферного давления можно пренебречь.
Математическая подсказка: При \(|\alpha| \lesssim 1\) и \(\varepsilon \ll 1\) с ошибкой порядка \(|\varepsilon|^3\) справедлива приближённая формула \((1+\varepsilon)^\alpha \approx 1 + \alpha\cdot\varepsilon + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}\varepsilon^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Для адиабатического процесса \(\delta Q = 0\): выразите изменение давления через изменение объёма. При подъёме поршня обратите внимание на его колебания около положения равновесия.
▶ОтветСкрыть
1) \(\delta A' \approx \dfrac{5}{7}\,\nu R T\,\dfrac{\Delta p}{p} \approx 12{,}5\) Дж; 2) \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.
▶РешениеСкрыть
Вопрос. Так как изменение давления мало, работу можно вычислять в линейном приближении: \(\delta A' \approx -p\,\Delta V\). Для адиабатического процесса \(\delta Q = 0 = p\,\Delta V + \dfrac{5}{2}\Delta(pV)\), откуда \(\delta A' \approx \dfrac{5}{7}\,pV\,\dfrac{\Delta p}{p} = \dfrac{5}{7}\,\nu R T\,\dfrac{\Delta p}{p} \approx 12{,}5\) Дж.
Задача. Пусть \(S\) — сечение цилиндра, \(M\) — масса поршня, \(m\) — масса гирьки, \(p_A\) — атмосферное давление, \(p_0 = p_A + Mg/S\). При опускании поршня от \(h_0\) до \(h_1 = x h_0\) изменение внутренней энергии газа (двухатомного, \(\gamma = 7/5\)) определяется работой внешних сил и силы тяжести; с учётом адиабаты \(p_1 = p_0 x^{-7/5}\) получается \(x^{-2/5} - 1 = \dfrac{2}{5}(1+\delta)(1-x)\), где \(\delta = \dfrac{mg}{p_0 S}\). Так как \(1 - x = 1/30 \ll 1\), с ошибкой порядка \((1/30)^3\) можно считать \(\delta \approx \dfrac{7}{10}(1-x) = \dfrac{7}{300}\).
Аналогичное уравнение записывается для подъёма от \(h_1\) до \(h_2 = z h_0\); при \(z - 1 \equiv \varepsilon \ll 1\) оно даёт \(\varepsilon \approx 1 - x = \dfrac{1}{30}\). Итог: \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.
Идейный вариант: поршень при малых смещениях колеблется почти гармонически около положения равновесия, поэтому после снятия гирьки он поднимается над равновесием на то же расстояние, на которое опустился под него. Отсюда \(h_2 \approx 2h_0 - h_1 = 31\) см.
зад 3 Рельсотрон
Вопрос: Проводящий стержень длины \(L\) вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\) в однородном магнитном поле с индукцией \(B\) вокруг оси, параллельной полю, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Чему равна разность потенциалов на концах стержня?
Задача: В установке «рельсотрон» в качестве «снаряда» используется металлическая перемычка, которая может скользить, двигаясь поступательно, по двум очень длинным гладким горизонтальным параллельным рельсам. Сначала перемычку удерживают вблизи одной пары их концов, к которым подключают источник постоянного напряжения. В области пространства, в которой проходят рельсы, включают вертикальное постоянное однородное магнитное поле, и перемычку аккуратно освобождают. В первой серии опытов рельсы поддерживались в сверхпроводящем состоянии, а суммарное сопротивление контура, по которому протекал ток (состоящее из сопротивления перемычки, внутреннего сопротивления источника и сопротивления контактов), было примерно постоянно и равно \(R_0 \approx 0{,}8\) Ом. При этом оказалось, что перемычка разгоняется до 95 % от максимально возможной (для этой установки), пройдя путь \(s_0 = 80\) м. Во второй серии опытов сверхпроводящие рельсы заменили на рельсы с «погонным» сопротивлением \(\rho = 5\) мОм/м. Какой путь теперь потребуется перемычке для достижения той же скорости? Считайте, что сила сопротивления воздуха отсутствует, сумма сопротивления перемычки, внутреннего сопротивления источника и сопротивления контактов не изменилась, длина начального участка рельсов (от края до линии старта перемычки) пренебрежимо мала по сравнению с \(s_0\).
▶ОтветСкрыть
1) разность потенциалов на концах стержня равна нулю; 2) \(s \approx 137{,}5\) м.
▶РешениеСкрыть
Вопрос. Движение стержня медленное по сравнению с перемещением носителей заряда при установлении равновесия, поэтому в установившемся режиме сила Лоренца на носитель уравновешивается силой электрического поля разделения: \(vB = \omega r B = E\). Распределение заряда при этом симметрично относительно оси вращения, поэтому потенциалы концов стержня равны, и их разность равна нулю.
Задача. Источник создаёт в контуре ток, на который действует сила Ампера, разгоняющая перемычку. При движении перемычки в контуре возникает ЭДС индукции \(\mathcal E_i = vBD\) с полярностью, противоположной ЭДС источника. В сверхпроводящих рельсах полное сопротивление равно \(R_0\), а при рельсах с сопротивлением \(R(x) = R_0 + 2\rho x\), где \(x\) — координата перемычки от начального положения. Поэтому \(I = \dfrac{\mathcal E - vBD}{R_0 + 2\rho x}\). Ток обращается в ноль при \(v = \bar v = \dfrac{\mathcal E}{BD}\) — это максимально возможная скорость. Уравнение движения \(m\,\dfrac{dv}{dt} = BDI\) с \(f = v/\bar v\) даёт \(\dfrac{dx}{1 + 2\rho x/R_0} = \dfrac{m R_0 \mathcal E}{B^3 D^3}\,\dfrac{f}{1-f}\,df\).
Для сверхпроводящих рельсов (\(\rho = 0\)): \(s_0 = \dfrac{m R_0\mathcal E}{B^3 D^3}\displaystyle\int_0^{0{,}95}\dfrac{f}{1-f}\,df\). Для рельсов с сопротивлением левая часть интегрируется элементарно: \(\displaystyle\int_0^{s}\dfrac{dx}{1+2\rho x/R_0} = \dfrac{R_0}{2\rho}\ln\left(1 + \dfrac{2\rho s}{R_0}\right)\). Приравнивая те же правые части, получаем \(s = \dfrac{R_0}{2\rho}\left[e^{2\rho s_0/R_0} - 1\right] = (e-1)\dfrac{R_0}{2\rho} \approx 137{,}5\) м.
зад 4 Тонкая линза и два положения
Вопрос: В чём состоит приближение тонкой линзы?
Задача: При помощи тонкой линзы на экране создано изображение пламени свечи, расположенного на главной оптической оси линзы. При этом поперечное увеличение изображения было равно \(|\Gamma| = 0{,}4\). Не двигая свечу, линзу переместили на расстояние \(s = 70\) см вдоль главной оптической оси. После перемещения и подбора положения экрана поперечное увеличение стало равно \(|\Gamma'| = 2{,}5\). Найдите оптическую силу линзы.
▶ОтветСкрыть
1) толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей (смещением лучей вдоль оси внутри линзы пренебрегают), и все лучи идут под малыми углами к главной оптической оси (параксиальное приближение); 2) \(D = 3\) дптр.
▶РешениеСкрыть
Вопрос. При выводе формулы тонкой линзы используются два приближения. Во-первых, толщина линзы пренебрегается по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей. Во-вторых, все рассматриваемые лучи падают на линзу под малыми углами к главной оптической оси (синусы и тангенсы заменяются самими углами в радианах).
Задача. Изображение на экране действительное, значит, линза собирающая, изображение перевёрнутое. Поперечное увеличение \(\Gamma = -\dfrac{b}{a}\), а с учётом формулы линзы \(b = \dfrac{aF}{a-F}\) получаем \(|\Gamma| = \dfrac{F}{a-F}\). Для первого положения \(\dfrac{F}{F-a} = -0{,}4\), откуда \(a = \dfrac{7}{2}F\). Линзу придвинули к свече, поэтому после перемещения \(a \to a - s\), и \(\dfrac{F}{F-a+s} = -2{,}5\). Отсюда \(F = \dfrac{10}{21}s\), и оптическая сила \(D = \dfrac{1}{F} = \dfrac{21}{10s} = 3\) дптр (при \(s = 0{,}7\) м).
Источник: Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по физике, 2023/24, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.