зад 1 Диод в схеме с двумя источниками
В схеме, показанной на рисунке слева, диод открывается при ненулевом напряжении \(U_0=0{,}5\) В (его вольт-амперная характеристика показана на рисунке справа). Значения параметров схемы: \(\mathcal E_1=39\) В, \(\mathcal E_2=25\) В, \(r=2\) Ом, \(R=5\) Ом. Каковы показания амперметра? Ответ запишите в амперах.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала проверьте, открыт ли диод: предположите, что тока через него нет, и найдите напряжение на нём.
▶ОтветСкрыть
\(0\) А.
▶РешениеСкрыть
Вычислим напряжение на диоде в предположении, что ток через него не течёт. Тогда сила тока во «внешнем» контуре схемы \(I=\dfrac{\mathcal E_1}{R+r}=\dfrac{39}{7}\) А. Значит, \[U_D=\mathcal E_2-IR=-\dfrac{20}{7}~\text{В}<0{,}5~\text{В}.\] Значит, предположение оправдалось, и диод действительно заперт.
зад 2 Колебания поршня над газом
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками под поршнем с массой \(M=110\) кг находится \(\nu=1{,}1\) моля гелия при температуре \(t=27{,}7\,^\circ\)C. Внешнее давление равно нормальному атмосферному, поршень покоится на высоте \(H=175\) см. Найдите период малых изотермических колебаний поршня при выводе из этого положения равновесия. Считайте, что универсальная газовая постоянная равна \(R\approx 8{,}31\) Дж/(кг\(\cdot\)К), а температура абсолютного нуля по шкале Цельсия \(t_0\approx 273{,}15\,^\circ\)C. Ответ запишите в секундах, с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила давления газа на поршень при малом смещении меняется из-за изменения объёма при постоянной температуре. Запишите второй закон Ньютона для поршня.
▶ОтветСкрыть
\(\tau\approx 2{,}2\) с.
▶РешениеСкрыть
В состоянии равновесия \(Mg+p_0S=pS=\dfrac{\nu RT}{H}\). При малом отклонении \(x\ll H\) уравнение движения поршня \[M\ddot x = pS - Mg - p_0S = \frac{\nu RT}{H+x}-\frac{\nu RT}{H}\approx -\frac{\nu RT}{H^2}\,x\] приводится к уравнению гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega=\dfrac{\sqrt{\nu RT}}{H\sqrt M}\). Период колебаний \[\tau=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi H\sqrt{\frac{M}{\nu RT}}\approx 2{,}2~\text{с}.\]
зад 3 Провод в магнитном поле
Очень лёгкий (с массой примерно \(0{,}3\)–\(0{,}4\) г) и гибкий провод подвешен за концы шарнирно к горизонтальному потолку. К этим шарнирам подведены провода, позволяющие подавать на них напряжение от аккумулятора (см. рис.). В области пространства, в которой располагается провод, создано горизонтальное магнитное поле с индукцией \(B=0{,}5\) Тл, перпендикулярное плоскости его подвеса. Расстояние между точками подвеса провода равно \(d=30\) см, а его длина \(L\) ровно в \(\dfrac{5\pi}{3}\approx 5{,}236\) раза больше. Ключ замыкают, и по проводу течёт ток с силой \(I=36\) А. Найдите силу натяжения провода после установления равновесия. Ответ запишите в ньютонах, с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Вес провода пренебрежимо мал. Под действием силы Ампера провод принимает форму дуги окружности: найдите связь между её углом, длиной и хордой.
▶ОтветСкрыть
\(T\approx 5{,}4\) Н.
▶РешениеСкрыть
При указанной массе действующей на провод силой тяжести (менее \(0{,}004\) Н) можно пренебречь. Невесомый гибкий провод в однородном магнитном поле примет форму дуги окружности некоторого радиуса \(R\). Пусть \(\alpha\) — половина углового размера этой дуги. Тогда длина провода \(L=2R\alpha\), а длина хорды, равная расстоянию между шарнирами, \(d=2R\sin\alpha\). Радиус кривизны в состоянии равновесия определяется по \(d\) и \(L\) из уравнения \(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}=\dfrac{d}{L}=\dfrac{3}{5\pi}\). Его корень \(\alpha=\dfrac{5\pi}{6}\), при этом \(d=R\).
Условие равновесия малого элемента провода даёт \(T=IBR\). Значит, \[T=IBd=36\cdot 0{,}5\cdot 0{,}3\approx 5{,}4~\text{Н}.\]
зад 4 Охлаждение намагниченной спиновой решетки
Часть II. «Однажды в параллельной Вселенной». Действие происходит в параллельной Вселенной, открытой для нас Айзеком Азимовым (см. серию рассказов «Я, робот»). Там тоже идёт 2024 год, но там ещё в XX веке был создан позитронный мозг, по своим возможностям не уступающий человеческому, создатель которого заложил в его физическую конструкцию три Закона Робототехники. Впрочем, это не имеет прямого отношения к нашим задачам. Итак, приступим…
Сьюзен Кэлвин сидела в кабинете доктора Альфреда Лэннинга, когда туда зашёл Грегори Пауэлл. — В информационной ленте мира, из которого выходил на контакт этот астрофизик… — начал он. — Азимов. — терпеливо подсказал ему доктор Лэннинг. — Да! — торопливо проговорил Пауэлл. — Там дали Нобелевскую премию по физике за машинное обучение! — Машинное обучение? — оживилась Сьюзен Кэлвин. — Быть может, это похоже на наш эксперимент, когда мы на начальном этапе обучаем группу роботов так, как когда-то обучали детей в школе, и только потом используем прямую загрузку информации? — Вряд ли, — сказал доктор Лэннинг. — Не забывайте, их машины снабжены электронными мозгами, работающими в основном по классическим принципам: максимум — туннельные переходы и спинтроника. Но я и сам когда-то начинал с попыток смоделировать нейронную сеть системой взаимодействующих квантовых частиц, и один из их лауреатов делал то же самое, только у него была модель спиновой решётки. — Спиновая решётка? — переспросил Пауэлл. — Что это за штука? — Но Вы должны знать: это система закреплённых частиц, каждая из которых — элементарный магнитик с моментом \(\vec\mu=-\mu_0\vec s\), где атомный магнетон (константа, записывающаяся через элементарный заряд, постоянную Планка и массу электрона) \(\mu_0=\dfrac{eh}{4\pi m}\), знак «минус» связан с тем, что в атомном магнетизме основную роль играют отрицательно заряженные электроны, а безразмерный вектор \(\vec s\) характеризует состояние частицы. В простом случае в магнитном поле с индукцией \(\vec B\) квантовая частица может находиться всего в двух состояниях с проекциями \(s_B\) на направление магнитного поля \(+1\) и \(-1\), а взаимодействиями частиц между собой можно пренебречь. — Тогда у половины частиц этот вектор будет направлен по полю, а у другой половины — против поля, и магнитный момент всей решётки будет равен нулю с точностью до флуктуаций, — важно заметил Пауэлл. — Не торопитесь, — предостерёг его доктор Лэннинг. — Если решётка находится при температуре \(T\), то вероятности реализации разных микросостояний описываются статистикой Больцмана: вероятности иметь каждую из двух проекций \(s_B\) равны \(w(s_B)=C\exp\!\left[-\dfrac{E(s_B)}{kT}\right]\), где \(C\) не зависит от \(s_B\). Кстати, хотя второй из лауреатов, по-моему, не физик, но в одной из его работ тоже использовалась статистика Больцмана. — Но ведь сумма двух вероятностей равна 1? — уточнила Сьюзен Кэлвин. — Да, конечно, — ответил доктор Лэннинг и продолжил: — А энергия этих состояний \(E(s_B)=-(\vec\mu\cdot\vec B)=\mu_0B\cdot s_B\). Так что они вовсе не равновероятны. Кстати, Сьюзен, это может быть неплохой задачкой для Ваших «школьников». Это важно — ведь при производстве позитронного мозга мы используем охлаждение некоторых элементов до низких температур за счёт адиабатического размагничивания решёток магнитных кристаллов, а они в чём-то похожи на спиновые решётки. Только расскажите им про энтропию: им для начала достаточно будет знать, что в термодинамике это функция состояния системы микрочастиц \(S\), бесконечно малое изменение которой связано с количеством теплоты, которое получила система при температуре \(T\): \(dS=\dfrac{1}{T}\,\delta Q\). И сообщите, что для спиновой решётки из \(N\) частиц в магнитном поле \(\vec B\) эта самая энтропия равна \[S(T,B)=S_0(T)-\frac{kN}{2}\left[\frac{e^{\mu_0B/kT}-e^{-\mu_0B/kT}}{e^{\mu_0B/kT}+e^{-\mu_0B/kT}}\right]^2 .\] — А \(S_0(T)\)? — Это энтропия решётки без учёта магнитных свойств — она им, в сущности, не понадобится. Пусть считают, что в нужных им процессах её изменение пренебрежимо мало.
Определите величину \(C\) и найдите вероятности реализации значений \(s_B=\pm1\) при температуре жидкого гелия \(T_0\approx 1{,}9\) К в магнитном поле \(B=10\) Тл. Вычислите среднее значение магнитного момента спиновой решётки из \(N\) частиц при этих значениях температуры и индукции поля. Рассмотрите процесс, в котором эту решётку сначала при постоянной температуре \(T_0\approx 1{,}9\) К намагнитили до создания магнитного поля \(B=10\) Тл, а затем адиабатически размагнитили до магнитного поля «остаточной» намагниченности, которая для этой решётки равна \(B_0=5\) мТл. Какой примерно будет конечная температура решётки? Используйте данные: атомный магнетон \(\mu_0\approx 9{,}27\cdot 10^{-24}\) Дж/Тл; постоянная Больцмана \(k\approx 1{,}38\cdot 10^{-23}\) Дж/К.
▶ПодсказкаСкрыть
Сумма вероятностей равна единице. Для адиабатического процесса используйте постоянство энтропии и то, что в ней входит только отношение \(B/T\).
▶ОтветСкрыть
\(C\approx 0{,}0291\); \(w(+1)\approx 0{,}00085\), \(w(-1)\approx 0{,}99915\); \(M\approx 0{,}9983\,\mu_0N\approx 9{,}25\cdot 10^{-24}\,N\) Дж/Тл; конечная температура \(T=\dfrac{B_0}{B}T_0\approx 1\) мК.
▶РешениеСкрыть
Сумма вероятностей равна единице: \(C\left(\exp[+z]+\exp[-z]\right)=1\), где \(z\equiv\dfrac{\mu_0B}{kT}\approx 3{,}535\). Отсюда \[C=\frac{1}{\exp[+z]+\exp[-z]}\approx 0{,}0291,\] \[w(+1)=\frac{\exp[-z]}{\exp[+z]+\exp[-z]}\approx 0{,}00085,\qquad w(-1)=\frac{\exp[+z]}{\exp[+z]+\exp[-z]}\approx 0{,}99915.\] Среднее значение проекции магнитного момента частицы на направление внешнего поля \(\mu_{\text{ср}\,B}=\mu_0\left[(+1)\,w(+1)+(-1)\,w(-1)\right]\approx -0{,}9983\,\mu_0\approx -9{,}25\cdot 10^{-24}\) Дж/Тл. Среднее значение магнитного момента решётки из \(N\) частиц равно \(M\approx 0{,}9983\,\mu_0N\approx 9{,}25\cdot 10^{-24}\,N\) Дж/Тл.
При адиабатическом размагничивании энтропия остаётся постоянной (\(\delta Q=0\), \(dS=0\)), а из формулы для энтропии решётки следует, что при заданных приближениях постоянство энтропии означает постоянство \(B/T\): \[\frac{B}{T}=\frac{B_0}{T_0}\ \Rightarrow\ T=\frac{B_0}{B}\,T_0\approx 0{,}95\cdot 10^{-3}~\text{К}\approx 1~\text{мК}.\]
зад 5 Световая парабола
Кстати, а чем они у Вас сегодня занимаются? — спросил доктор Лэннинг. — У них была лабораторная работа, — сообщила Сьюзен. — Они синтезировали прозрачные плоскопараллельные пластины, в которых показатель преломления изменяется в зависимости от координаты \(y\), отсчитываемой поперёк пластины так, что узкий световой пучок идёт по заданной кривой \(y(x)\). Например, ученик S-401 синтезировал пластину, у которой луч, упавший из воздуха в начале координат под углом \(\alpha_0=60^\circ\), «прочерчивает» внутри пластины толщиной \(d\) график функции \(y(x)=x+\dfrac{x^2}{2d}\) (см. рисунок). — И как же у этой пластины показатель преломления зависит от \(y\)?
Ответьте на вопрос доктора Лэннинга. Показатель преломления воздуха считайте равным 1.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон Снеллиуса выполняется в каждой точке кривой, если в нём использовать угол между лучом и нормалью к слоям. Производная \(dy/dx\) связана с этим углом.
▶ОтветСкрыть
\(n(y)=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(1+\dfrac{y}{d}\right)}\).
▶РешениеСкрыть
При движении луча внутри пластины, в соответствии с законом Снеллиуса, \[n(y)\cdot\sin\alpha(y)=n_0\sin\alpha_0=\frac{\sqrt3}{2},\] где \(\alpha\) — угол отклонения луча от оси \(y\). С другой стороны, \[\frac{dy}{dx}=1+\frac{x}{d}=\operatorname{ctg}\alpha=\sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}} \ \Rightarrow\ \frac{1}{\sin^2\alpha}=2+2\frac{x}{d}+\frac{x^2}{d^2}=2\left(1+\frac{y}{d}\right).\] Следовательно, \[n(y)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\left(1+\dfrac{y}{d}\right)}}=\frac{\sqrt3}{2} \ \Rightarrow\ n(y)=\sqrt{\frac{3}{2}\left(1+\frac{y}{d}\right)}.\]
зад 6 Стержневой удар
Гладкий однородный стержень длины \(L\) с квадратным поперечным сечением \(a\times a\) установлен вертикально на гладкой горизонтальной поверхности. Второй такой же стержень скользит по этой поверхности со скоростью \(v_0\), направленной перпендикулярно одной из боковых граней первого, и сталкивается с первым так, что наносит своим торцом удар по этой грани. В каких направлениях и с какими угловыми скоростями будут вращаться стержни после удара? Известно, что \(a=2L/7\), деформации всех тел считайте упругими, причём деформации стержней очень малы, и при этом намного больше деформаций поверхности.
Указание: момент инерции однородного параллелепипеда массой \(m\) с размерами \(a\times b\times c\) относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно грани \(b\times c\), равен \(I_0=\dfrac{1}{12}m(b^2+c^2)\).
▶ПодсказкаСкрыть
Деформации малы, поэтому силы в процессе удара конечной величины пренебрежимо малы по сравнению с силами реакции. Учтите, что деформации поверхности много меньше деформаций стержней, и запишите законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.
▶ОтветСкрыть
Оба стержня после удара вращаются против часовой стрелки с угловыми скоростями \(\omega_1=\dfrac{1526400}{3664853}\,\dfrac{v_0}{a}\approx 0{,}4165\,\dfrac{v_0}{a}\) (вертикальный стержень) и \(\omega_2=\dfrac{117312}{3664853}\,\dfrac{v_0}{a}\approx 0{,}0320\,\dfrac{v_0}{a}\) (горизонтальный стержень).
▶РешениеСкрыть
При анализе удара малость деформаций означает малость времени соударения, поэтому учитываются только силы нормальной реакции: между стержнями \(N_1\) и между ними и поверхностью \(N_2\) и \(N_3\). Жёсткость поверхности считается намного большей жёсткости стержней, поэтому в ходе удара силы \(N_2\) и \(N_3\) «подстраиваются» под \(N_1\), так что смещениями точек поверхности можно пренебречь. Вертикальная составляющая скорости точки касания каждого стержня с поверхностью перед отрывом равна нулю. Вертикальный стержень после удара начинает вращаться против часовой стрелки.
Для вертикального стержня (масса \(m\), момент инерции относительно центра масс \(I=\dfrac{1}{12}m(a^2+L^2)=\dfrac{53}{48}ma^2\), плечо силы \(N_1'\) равно \(l=\dfrac{L}{2}-a=\dfrac{3}{4}a\)) и для горизонтального стержня записываются уравнения импульсов и моментов импульса с учётом условий связи для точек касания. Они дают связи сил реакции \(N_2=\varepsilon N_1\) и \(N_3=\eta N_1\), где \(\varepsilon=\dfrac{21}{100}\), \(\eta=\dfrac{18}{65}\). Через \(V_{1x}\equiv V\) выражаются все конечные скорости и угловые скорости: \(V_{1y}=\dfrac{18}{65}V\), \(V_{2x}=v_0-V\), \(V_{2y}=\dfrac{21}{100}V\), \(\omega_1=\dfrac{36}{65a}V\), \(\omega_2=\dfrac{564}{1325a}V\).
Подставляя эти соотношения в закон сохранения энергии \[\frac{mv_0^2}{2}=\frac{m}{2}\left(V_1^2+V_{2x}^2+V_{2y}^2\right)+\frac{I}{2}\left(\omega_1^2+\omega_2^2\right),\] находим \(V=\dfrac{2756000}{3664853}\,v_0\approx 0{,}752\,v_0\). Тогда угловые скорости стержней после удара \[\omega_1=\frac{1526400}{3664853}\,\frac{v_0}{a}\approx 0{,}4165\,\frac{v_0}{a},\qquad \omega_2=\frac{117312}{3664853}\,\frac{v_0}{a}\approx 0{,}0320\,\frac{v_0}{a}.\] Оба стержня после удара вращаются против часовой стрелки.
Примечание организаторов: при других предположениях об упругих свойствах тел можно построить другие модели удара, приводящие к другим связям между силами реакции. Модели, в которых явно не указано, какие предположения использованы, и которые не согласуются с условием, оцениваются не выше 9 баллов из 20 (по критериям). Примеры альтернативных моделей в оригинале: вертикальный стержень после удара вращается против часовой стрелки, горизонтальный — по часовой или не вращается, с другими значениями угловых скоростей.
Источник: Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по физике, 2024/25, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.