«Покори Воробьёвы горы!», 2024/25, заключительный этап, 7–9 класс

Подсказка

Запишите условие равновесия рычага относительно точки опоры и выразите натяжение нити через силу Архимеда. Потребуйте, чтобы равновесие не зависело от глубины погружения, то есть от силы Архимеда.

Ответ

Вопрос: в \(1{,}25\) раза (с \(mg\) до \(0{,}8\,mg\));  Задача: \(m/M = 1\), центр дна сосуда на расстоянии \(\dfrac{1}{4}\) длины рычага от точки опоры.

Решение

Вопрос. В воздухе натяжение нити \(T = mg\). В воде \(T' = mg - \rho_{\text{в}}Vg = mg\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho}\right) = \dfrac45 mg\), поэтому \(\dfrac{T}{T'} = 1{,}25\): сила натяжения нити уменьшится в \(1{,}25\) раза.

Задача. Рычаг уравновешен, если моменты сил, действующих на него со стороны груза на конце (сила \(N_1\)) и сосуда с водой (сила \(N_2\)), равны: \(N_1\dfrac{L}{2} = N_2 x\), где \(x\) — расстояние от точки опоры до центра дна сосуда. Здесь \(N_1 = mg - T\), \(N_2 = Mg + F_A\), где \(F_A\) — сила Архимеда, с которой вода действует на погружённый груз (и с той же силой груз действует на сосуд). Второй груз находится в равновесии: \(2T = mg - F_A\). Объединяя уравнения, получаем \[\left(\frac12 mg + \frac12 F_A\right)\frac{L}{2} = (Mg + F_A)\,x.\] Равновесие не должно нарушаться при изменении глубины погружения, то есть при изменении \(F_A\). Значит, коэффициенты при \(F_A\) и слагаемые без \(F_A\) по отдельности равны: \(\dfrac{mgL}{4} = Mgx\) и \(\dfrac{F_A L}{4} = F_A x\). Отсюда \(x = \dfrac{L}{4}\) и \(m = M\).

Подсказка

Вспомните, при какой температуре лёд и вода находятся в равновесии при нормальном давлении. Далее запишите тепловой баланс для одной порции и заметьте, что оставшийся незаполненным объём уменьшается от порции к порции.

Ответ

Вопрос: \(0^\circ\)С;  Задача: две порции; калориметр заполнен на \(99{,}68\) % объёма.

Решение

Вопрос. Одна из реперных точек шкалы Цельсия — температура, при которой лёд и вода находятся в равновесии при нормальном атмосферном давлении, то есть \(0^\circ\)С. Температура мокрого снега при таком давлении и есть \(0^\circ\)С.

Задача. Пусть \(V\) — объём калориметра, а объём воды в нём после \(n\)-й порции и установления равновесия равен \(x_n V\). Объём досыпаемого снега \(\Delta V_n = (1 - x_n)V\), его масса \(\Delta m_n = (1 - x_n)\,[0{,}8\cdot 0{,}9 + 0{,}2]\,\rho V = 0{,}92(1 - x_n)\rho V\). Поэтому \(x_{n+1} = x_n + 0{,}92(1 - x_n)\), то есть \(1 - x_{n+1} = 0{,}08(1 - x_n)\), и \(x_n = 1 - 0{,}5\cdot(0{,}08)^n\).

Тепловой баланс после \(n\)-й порции: лёд тает, а вода из снега нагревается до конечной температуры \(t_{n+1}\) за счёт остывания имевшейся в калориметре воды. В безразмерных величинах \(y_n = \dfrac{c\,t_n}{\lambda}\) получаем \[y_{n+1} = \frac{x_n y_n - 0{,}72\,(1 - x_n)}{0{,}92 + 0{,}08\,x_n}.\] По условию \(x_0 = 0{,}5\) и \(y_0 = \dfrac{c\cdot 59}{\lambda} = \dfrac{4{,}2\cdot 59}{340} \approx 0{,}7288\).

Первая порция: \(x_1 = 0{,}96\), \(y_1 \approx 0{,}0046 > 0\) — снег растаял полностью. Вторая порция: \(x_2 = 0{,}9968\), \(y_2 < 0\), то есть запаса теплоты остывающей воды не хватает, чтобы растопить весь лёд и нагреть воду из снега до положительной температуры. Значит, вторая порция — последняя. В итоге засыпано две порции, калориметр заполнен водой на \(99{,}68\%\) своего объёма.

Подсказка

Для первой части запишите закон Ома для полной цепи при идеальном амперметре. Для второй части составьте баланс напряжений и уравнение непрерывности тока для «мостовой» части схемы и используйте линейность реостата.

Ответ

Вопрос: \(r = 0{,}4\) Ом;  Задача: \(I'_2 = \dfrac{I'_1 I_2}{3I_1 - I_2} \approx 0{,}385\) А.

Решение

Вопрос. Сопротивление идеального амперметра равно нулю, поэтому \(\mathcal{E} = 1{,}1~\text{А}\cdot(r + 2~\text{Ом}) = 0{,}6~\text{А}\cdot(r + 4~\text{Ом})\). Вычитая, находим \(0{,}5~\text{А}\cdot r = 0{,}2\) В, откуда \(r = 0{,}4\) Ом.

Задача. Обозначим через \(I_3\) и \(I_4\) токи через резисторы, параллельные амперметрам \(A_1\) и \(A_2\). По непрерывности тока \(I_1 + I_3 = I_2 + I_4\). Сопротивление реостата в первом случае равно \(\beta R x\) (с постоянным \(\beta\)). Напряжение на «мостовом» участке, вычисленное двумя способами, даёт \(R I_3 + \beta R x\, I_2 = R I_1 + R I_4\). Вычитая из него уравнение непрерывности, получаем \((\beta x + 1)I_2 = 2I_1\), откуда \(\beta x = \dfrac{2I_1 - I_2}{I_2} = \dfrac{103}{11}\).

Во втором случае аналогично, с заменой \(x \to 3x\): \((3\beta x + 1)I'_2 = 2I'_1\). Подставляя \(\beta x\), получаем \[I'_2 = \frac{I'_1 I_2}{3I_1 - I_2} = \frac{5{,}6\cdot 1{,}1}{3\cdot 5{,}7 - 1{,}1} \approx 0{,}385~\text{А}.\]

Подсказка

Скорость пловца относительно берега — сумма скорости относительно воды и течения; при заданном курсе его поперечная составляющая должна компенсировать снос. Для вертолётов сравните времена полёта по дуге и по диаметру при попутном и встречном ветре.

Ответ

Вопрос: \(t \approx 56{,}6\) с;  Задача: вертолёты встретились на расстоянии \(r = \dfrac{u}{v}R = \dfrac{R}{8} = 2\) км от центра окружности.

Решение

Вопрос. Пусть пловец плывёт относительно воды со скоростью \(v\), течение \(u\). Чтобы держаться заданного курса под углом \(\alpha\) к берегу, он направляет скорость под углом упреждения \(\beta\): \(v\sin\beta = u\sin\alpha\). Курсовая скорость относительно берега равна \(v' = \sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} \pm u\cos\alpha\) (знак «\(+\)» — попутное течение, «\(-\)» — встречное). Время переправы туда и обратно при длине пути \(D/\sin\alpha\) в каждую сторону: \[t = \frac{D}{\sin\alpha}\left(\frac{1}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} + u\cos\alpha} + \frac{1}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} - u\cos\alpha}\right) = \frac{2D\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha}}{\sin\alpha\,(v^2 - u^2)} \approx 56{,}6~\text{с}.\]

Задача. Скорость вертолёта относительно воздуха \(v\), ветер \(u = v/8\). Скорость движения по полуокружности меняется, так как меняется угол между курсом и ветром. Для малого участка дуги с углом \(\Delta\alpha\) время полёта равно \(\Delta t_1 = \dfrac{R\,\Delta\alpha}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} + u\cos\alpha}\) при попутном ветре и с минусом при встречном. Разность времён полёта второго и первого вертолётов по полуокружностям: \[t_2 - t_1 = \sum\left[\frac{R\,\Delta\alpha}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} - u\cos\alpha} - \frac{R\,\Delta\alpha}{\sqrt{v^2 - u^2\sin^2\alpha} + u\cos\alpha}\right] = \frac{2u}{v^2 - u^2}\sum R\,\Delta\alpha\cos\alpha = \frac{4uR}{v^2 - u^2},\] так как сумма проекций участков дуги на диаметр равна \(|AB| = 2R\). По диаметру первый вертолёт летит против ветра, и разность времён полёта по прямой тоже равна \(\dfrac{2R}{v-u} - \dfrac{2R}{v+u} = \dfrac{4uR}{v^2-u^2}\). Значит, полные времена полёта обоих вертолётов одинаковы, и в точке встречи они находятся одновременно: \[\frac{R - r}{v - u} = \frac{R + r}{v + u} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{u}{v}R = \frac{R}{8} = 2~\text{км}.\]