Росатом, 2024/25, отборочный этап, 7 класс

Объём полости — это объём куба минус объём самого вещества. Ребро куба найдите по площади его поверхности: у куба шесть одинаковых квадратных граней.

\(V_{\text{полости}} = \left(\sqrt{S/6}\right)^3 - \dfrac{m}{\rho} = 8~\text{см}^3 - \dfrac{m}{\rho}\); по данным организаторов \(V_{\text{полости}} = 2{,}9\) см\(^3\).

Пусть \(a\) — ребро куба. Площадь поверхности куба \(S = 6a^2\) (у куба 6 граней). Отсюда \[a = \sqrt{\frac{S}{6}} = 2~\text{см}.\] Поэтому объём куба \(V_\text{к} = a^3\). А объём вещества в кубе \(V = m/\rho\). Поэтому объём полости в кубе \[V_{\text{полости}} = V_\text{к} - V = a^3 - \frac{m}{\rho} = 2{,}9~\text{см}^3.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Выразите скорости пешеходов через \(S\) и время пути. При движении навстречу расстояние между пешеходами сокращается со скоростью, равной сумме их скоростей.

\(t_\text{встр} = \dfrac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} \approx 1{,}09\) часа; на расстоянии \(S_1 = \dfrac{6S}{11} \approx 6{,}5\) км от пункта А.

Поскольку расстояние между пунктами А и В равно \(S\), скорости первого и второго пешеходов (обозначим \(t_1 = t\), тогда \(t_2 = 1{,}2t\)) \[v_1 = \frac{S}{t}, \qquad v_2 = \frac{S}{1{,}2t}.\] Время встречи тел, начавших одновременное движение навстречу друг другу с расстояния \(S\), \[t_\text{встр} = \frac{S}{v_1 + v_2}.\] С формулами для скоростей пешеходов получаем \[t_\text{встр} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = \frac{1{,}2t}{2{,}2} = \frac{6t}{11} = 1{,}09~\text{часа}.\] Поскольку скорость пешехода, вышедшего из пункта А, равна \(S/t\), встреча произойдёт на расстоянии \[S_1 = v_1 t_\text{встр} = \frac{S}{t}\cdot\frac{6t}{11} = \frac{6S}{11} = 6{,}5~\text{км}\] от пункта А.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Пружины невесомы, поэтому силы упругости в них в любой момент одинаковы. Как тогда связаны удлинения пружин?

\(v_0 = \dfrac{v}{3}\), направлена в сторону более жёсткой пружины.

Так как пружины невесомы, сумма внешних сил, действующих на каждый элемент пружин, должна равняться нулю. В частности, равна нулю сумма сил, действующих на мысленно выделенный кусочек двух пружин, содержащий точку их соединения. Поэтому силы упругости пружин одинаковы в любой момент времени. Это значит, что удлинение пружины с жёсткостью \(k\) в любой момент времени вдвое больше удлинения пружины с жёсткостью \(2k\). Поэтому точка соединения пружин движется в сторону более жёсткой пружины: если бы она стояла на месте, удлинения пружин были бы одинаковы, а у жёсткой пружины оно меньше.

Пусть перемещение точки соединения пружин равно \(x\). Тогда удлинение пружины с жёсткостью \(k\) равно \(vt + x\), пружины с жёсткостью \(2k\) — \(vt - x\). Поскольку удлинения пружин отличаются вдвое, \[\frac{1}{2}\,(vt + x) = vt - x.\] Отсюда \(x = \dfrac{1}{3}\,vt\), и скорость точки соединения \[v_0 = \frac{x}{t} = \frac{1}{3}\,v.\] Направлена эта скорость в сторону более жёсткой пружины.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Скорость лодки относительно берега — сумма или разность её скорости в стоячей воде и скорости течения. Утром и вечером лодки плывут до встречи одинаковое время: запишите два уравнения.

\(v_2 = \dfrac{5}{7}\,v_1 \approx 14{,}3\) км/ч; скорость течения \(u = \dfrac{1}{7}\,v_1 \approx 2{,}9\) км/ч.

Пусть скорости лодок в стоячей воде равны \(v_1\) и \(v_2\), скорость течения реки \(u\). Скорость относительно земли для лодки, плывущей по течению, складывается со скоростью течения, а для лодки, плывущей против течения, — вычитается. Из формулы, связывающей расстояние, время и скорость, получим для утреннего и вечернего заплывов \[\frac{l}{2(v_1 - u)} = \frac{l}{2(v_2 + u)}, \qquad \frac{l}{3(v_2 - u)} = \frac{2l}{3(v_1 + u)},\] где \(l\) — расстояние между деревнями. Отсюда \[v_2 + u = v_1 - u, \qquad v_1 + u = 2v_2 - 2u.\] Решая эту систему уравнений, найдём \[v_2 = \frac{5}{7}\,v_1 = 14{,}3~\text{км/ч}, \qquad u = \frac{1}{7}\,v_1 = 2{,}9~\text{км/ч}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

Запишите условие равновесия для каждого блока по отдельности. Нить, охватывающая нижний блок, держит его двумя своими концами.

\(m_1 = \dfrac{m}{2}\); безмен покажет \(3m\).

Чтобы блок массой \(m\) был в равновесии, сила натяжения \(T\) нити, охватывающей этот блок, должна быть равна половине силы тяжести, действующей на этот блок: \[T = \frac{1}{2}\,mg.\] На блок массой \(m_1\) действуют сила тяжести \(m_1 g\) и сила \(T\) со стороны нити, прикреплённой к его оси (эти силы направлены вниз), и две силы \(T\), направленные вверх. Чтобы этот блок находился в равновесии, должно быть выполнено условие \[T + m_1 g = 2T.\] Отсюда \[m_1 g = T = \frac{1}{2}\,mg, \qquad m_1 = \frac{1}{2}\,m.\] Следовательно, третий блок должен иметь массу, равную половине массы нижнего блока.

Сила натяжения нити, действующая на безмен, равна сумме сил, действующих вниз на верхний блок. На него действуют сила тяжести \(2mg\) и две силы \(T\) натяжения нити, охватывающей этот блок: \[2mg + 2T = 3mg.\] Поэтому показания безмена составят \(3m\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.