Росатом, 2025/26, отборочный этап, 11 класс

Выразите плотности обеих жидкостей через массу и объём тела из условий плавания.

\(r = \dfrac{2nk}{n+k} = \dfrac{2}{7}\) объёма тела.

Пусть масса тела \(m\), объём \(V\), плотности жидкостей \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Условия плавания в первой и второй жидкостях: \[mg = \rho_1 g n V, \qquad mg = \rho_2 g k V.\] Отсюда \(\rho_1 = \dfrac{m}{nV}\), \(\rho_2 = \dfrac{m}{kV}\). Для жидкости с плотностью \(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2}\) условие плавания имеет вид \[mg = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}\, g\, r V,\] где \(r\) — доля объёма тела, погружённая в эту жидкость. Подставляя плотности, получаем \[r = \frac{2nk}{n+k} = \frac{2}{7}.\]

Если бы совпадали сопротивления крайних резисторов, показания амперметров были бы одинаковыми. Значит, совпадают либо два резистора из трёх, включённых в разные ветви. Рассмотрите оба случая.

Два решения: 1) \(r_2 = r_3 = \dfrac{r}{3}\); 2) \(r_2 = r\), \(r_3 = \dfrac{r}{2}\).

Амперметры имеют нулевое сопротивление, резисторы включены параллельно источнику. Амперметр \(A_1\) измеряет ток через второй и третий резисторы, амперметр \(A_2\) — через первый и второй. Пусть \(i_1\), \(i_2\), \(i_3\) — токи через резисторы. Тогда \[i_2 + i_3 = I, \qquad i_1 + i_2 = \frac{2}{3}I.\] Возможны два случая.

Первый случай: \(r_2 = r_3\), тогда \(i_2 = i_3 = \frac{I}{2}\), \(i_1 = \frac{I}{6}\). Из равенства напряжений на параллельных ветвях \(i_1 r_1 = i_2 r_2\) находим \(r_2 = r_3 = \dfrac{r}{3}\).

Второй случай: \(r_1 = r_2\), тогда \(i_1 = i_2 = \frac{I}{3}\), \(i_3 = \frac{2I}{3}\). Из \(i_3 r_3 = i_1 r_1\) находим \(r_2 = r\), \(r_3 = \dfrac{r}{2}\).

Сравните требуемое центростремительное ускорение с гравитационным. Вспомните, как направлена сила тяги, которая должна удерживать спутник на такой орбите.

\(F = 3mg\), направлена к центру планеты (вдоль радиуса).

Сила тяги двигателя должна быть направлена к центру планеты, поскольку при скорости спутника, большей первой космической, сил гравитации не хватает, чтобы удержать его на орбите. Закон движения по окружности радиуса \(R\): \[\frac{m v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2} + F,\] где \(v = 2v_0\) — скорость спутника, \(v_0\) — первая космическая скорость. Сила гравитации на поверхности \(G\dfrac{mM}{R^2} = mg\), а для первой космической скорости на малой высоте \(\dfrac{m v_0^2}{R} = mg\). Тогда \[4mg = mg + F \quad\Rightarrow\quad F = 3mg.\]

Запишите уравнения Клапейрона–Менделеева для обоих отсеков в момент открытия клапана (температура \(T_0\)) и в момент закрытия (температура \(T_1\)).

\(\Delta\nu = \dfrac{2}{9}\,\dfrac{\Delta p\, V\,(T_1 - T_0)}{R\,T_0\,T_1}\).

Пусть количество вещества газа в верхней части сосуда \(\nu_1\), в нижней — \(\nu_2\). Объём верхней части \(V_0 = \frac{V}{3}\), нижней — \(2V_0\). При температуре \(T_0\) клапан открывается, и давление внизу больше верхнего на \(\Delta p\). Пусть \(p\) — давление в верхней части в этот момент. Уравнения состояния: \[p V_0 = \nu_1 R T_0, \qquad (p + \Delta p)\, 2V_0 = \nu_2 R T_0.\] Деля второе уравнение на 2 и вычитая первое, получим \[\Delta p\, V_0 = \left(\frac{\nu_2}{2} - \nu_1\right) R T_0. \tag{*}\] При нагревании до \(T_1\) клапан закроется, когда перепад снова станет равен \(\Delta p\). Пусть из нижней части в верхнюю перетекло \(\Delta\nu\) молей, давление в верхней части в этот момент \(p_1\): \[p_1 V_0 = (\nu_1 + \Delta\nu) R T_1, \qquad (p_1 + \Delta p)\,2V_0 = (\nu_2 - \Delta\nu) R T_1.\] Деля второе на 2 и вычитая первое, находим \[\Delta p\, V_0 = \left(\frac{\nu_2}{2} - \nu_1\right) R T_1 - \frac{3}{2}\,\Delta\nu\, R T_1.\] Используя (*), получаем \[\Delta\nu = \frac{2\,\Delta p\, V_0\,(T_1 - T_0)}{3\, R\, T_0 T_1} = \frac{2}{9}\,\frac{\Delta p\, V\,(T_1 - T_0)}{R\, T_0 T_1},\] где \(V\) — объём всего сосуда.

Вращение заряженного цилиндра создаёт магнитное поле, как соленоид с током. При разгоне меняется поток поля, и возникает вихревое электрическое поле, которое тормозит заряды на поверхности цилиндра.

\(a = \dfrac{mg}{3m + 2\pi\mu_0\sigma^2R^2 l}\).

Вращение заряженного цилиндра эквивалентно кольцевому току. Ток через сечение боковой поверхности \(I = \sigma v l\), где \(v\) — скорость точек поверхности. Поле внутри цилиндра \(B = \mu_0 \sigma v\) направлено вдоль оси, его поток через цилиндр \(\Phi = \pi R^2 \mu_0 \sigma v\). При разгоне с ускорением \(a\) возникает ЭДС индукции \[\varepsilon = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \pi R^2 \mu_0 \sigma a,\] которая по правилу Ленца препятствует разгону зарядов цилиндра. Вихревое электрическое поле на поверхности цилиндра (осевая симметрия) находим из \(2\pi R E = \varepsilon\): \[E = \frac{1}{2}\mu_0 \sigma R a.\] Второй закон Ньютона для груза и цилиндра (ускорения точек поверхности цилиндра и груза одинаковы; заряд цилиндра \(Q = 2\pi R l \sigma\)): \[\frac{m}{2}\, a = \frac{m}{2}\, g - T, \qquad m a = T - QE.\] Складывая уравнения и подставляя \(E\) и \(Q\): \[\frac{3m}{2}\, a = \frac{m}{2}\, g - \pi\mu_0\sigma^2 R^2 l\, a.\] Отсюда \[a = \frac{mg}{3m + 2\pi\mu_0\sigma^2 R^2 l}.\]