зад 1 Камень, брошенный под углом
Камень, брошенный под углом \(\alpha=30^\circ\) к горизонту, дважды был на одной высоте спустя время \(t_1 = 1\) с и \(t_2 = 3\) с после начала движения. Определите начальную скорость камня.
▶ОтветСкрыть
\(v_0 = \dfrac{g(t_1+t_2)}{2\sin\alpha} = 39{,}2\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Высота камня \(h = v_0\sin\alpha\, t - \dfrac{gt^2}{2}\) одинакова в моменты \(t_1\) и \(t_2\): \(v_0\sin\alpha\,(t_2 - t_1) = \dfrac{g(t_2^2 - t_1^2)}{2}\), откуда \(v_0 = \dfrac{g(t_1+t_2)}{2\sin\alpha} = 39{,}2\) м/с.
зад 2 Лифт
Перед остановкой лифта, движущегося вверх, модуль его скорости уменьшается за каждую секунду на \(0{,}8\) м/с. С какой силой давит на пол лифта груз массы \(100\) кг?
▶ОтветСкрыть
\(N = m(g-a) = 900\) Н.
▶РешениеСкрыть
Лифт движется вверх с ускорением, направленным вниз, модуль которого \(a = 0{,}8\) м/с\(^2\). По второму закону Ньютона \(mg - N = ma\), откуда \(N = m(g-a) = 900\) Н.
зад 3 Шарик, отскакивающий от пола
Шарик падает на пол с высоты \(H\) и многократно отскакивает от него. Полагая, что при каждом отскоке скорость шарика уменьшается в два раза, определите путь, пройденный шариком от начала падения до остановки. Сопротивлением воздуха пренебречь.
▶ОтветСкрыть
\(S = H\dfrac{n^2+1}{n^2-1} = \dfrac{5}{3}H \approx 1{,}67\,H\) при \(n = 2\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(n = 2\) — во сколько раз уменьшается скорость при отскоке. Скорость у пола при первом падении \(v_0 = \sqrt{2gH}\), после \(k\)-го отскока скорость \(v_k = v_0/n^k\), высота подъема \(h_k = v_k^2/(2g) = H/n^{2k}\). Путь до остановки: \(S = H + 2(h_1 + h_2 + \dots) = H + \dfrac{2H}{n^2}\left(1 + \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{1}{n^4} + \dots\right) = H + \dfrac{2H}{n^2-1}\), сумма геометрической прогрессии \(\sum = \dfrac{n^2}{n^2-1}\). Итог: \(S = H\dfrac{n^2+1}{n^2-1} = \dfrac{5}{3}H = 1{,}67H\).
зад 4 Процесс с PV$^2$=const
Давление идеального газа, участвующего в процессе, в котором \(PV^2 = \text{const}\), увеличилось в два раза. Как изменилась при этом температура газа?
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{T_2}{T_1} = \sqrt{\dfrac{p_2}{p_1}} = \sqrt{2} \approx 1{,}4\): температура увеличилась в \(\sqrt{2}\) раза.
▶РешениеСкрыть
Из \(p_1V_1^2 = p_2V_2^2\) получаем \(\dfrac{(p_1V_1)^2}{p_1} = \dfrac{(p_2V_2)^2}{p_2}\). Так как \(pV = \nu RT\), то \(\dfrac{p_2}{p_1} = \left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^2\), откуда \(\dfrac{T_2}{T_1} = \sqrt{\dfrac{p_2}{p_1}} = \sqrt{2} = 1{,}4\).
зад 5 Шар в поле точечного заряда
Проводящий незаряженный шар радиуса \(R\) находится в вакууме. Определите потенциал в точке \(A\) на поверхности шара, если в точке \(M\), находящейся на расстоянии \(2R\) от центра шара, поместить точечный заряд \(Q\).
зад 6 Два шарика на нити
Два маленьких шарика, массы которых \(m_1 = m\) и \(m_2 = 2m\), заряженных одноименными зарядами, соединены невесомой нитью длины \(L\). В равновесии сила натяжения нити равна \(F\). Определите максимальное значение модуля скорости первого шарика после того, как нить пережигают. Гравитационное взаимодействие не учитывать.
▶ОтветСкрыть
\(v_1 = 2\sqrt{\dfrac{FL}{3m}}\).
▶РешениеСкрыть
Сила отталкивания шариков \(F = F_{\mathrm{e}} = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\), энергия взаимодействия \(W_{\mathrm{p}} = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 L} = F\cdot L\). Для максимальных скоростей: закон сохранения импульса \(mv_1 = 2mv_2\), откуда \(v_2 = v_1/2\). Закон сохранения энергии: \(\dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{2mv_2^2}{2} = FL\), т.е. \(\dfrac{mv_1^2}{2} + m\dfrac{v_1^2}{4} = FL\), откуда \(v_1 = \sqrt{\dfrac{4FL}{3m}} = 2\sqrt{\dfrac{FL}{3m}}\).
зад 7 Поршень на пружине газа
Поршень находится в гладком цилиндрическом сосуде сечения \(S\), расположенном горизонтально. По обе стороны от поршня находится газ с давлением \(p_0\). Поршень расположен посредине сосуда, длина которого \(L\). Определите массу поршня, если известен период малых колебаний поршня \(T\) относительно положения равновесия. Процесс в газе считать изотермическим.
▶ОтветСкрыть
\(m = \dfrac{p_0 S T^2}{\pi^2 L}\).
▶РешениеСкрыть
Так как процесс изотермический, \(p_1(\ell + x) = p_0\ell\) и \(p_2(\ell - x) = p_0\ell\), где \(\ell = L/2\), \(x\) — смещение поршня. Сила, действующая на поршень: \(F_x = -(p_2 - p_1)S = -p_0\ell S\left(\dfrac{1}{\ell - x} - \dfrac{1}{\ell + x}\right) = -p_0\ell S\dfrac{2x}{\ell^2 - x^2}\). При \(x \ll \ell\): \(F_x \approx -\dfrac{4p_0S}{L}x = -kx\). Тогда \(\omega^2 = k/m\), \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{mL}{4p_0S}}\), откуда \(m = \dfrac{p_0 S T^2}{\pi^2 L}\).
зад 8 Релятивистский треугольник
В системе отсчета, относительно которой прямоугольный треугольник покоится, длина его гипотенузы равна \(L_0 = 1\) м, а угол между катетом \(b\) и гипотенузой \(\alpha = 30^\circ\). Определите длину гипотенузы этого треугольника в системе отсчета, относительно которой треугольник движется вдоль катета \(b\) с релятивистской скоростью \(v = 1{,}5\cdot 10^8\) м/с.
▶ОтветСкрыть
\(L' = L_0\sqrt{1 - \cos^2\alpha\left(\dfrac{v}{c}\right)^2} = 0{,}9\) м.
▶РешениеСкрыть
Высота \(h = L_0\sin\alpha\), катет \(b = L_0\cos\alpha\). При движении вдоль катета \(b\) он сокращается: \(b' = b\sqrt{1 - (v/c)^2}\), высота \(h\) не меняется. Тогда \(L'^2 = h^2 + b'^2 = L_0^2\sin^2\alpha + L_0^2\cos^2\alpha\left[1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2\right]\), т.е. \(L' = L_0\sqrt{1 - \cos^2\alpha\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}\). При \(v/c = 0{,}5\) и \(\cos^2\alpha = 3/4\): \(L' = L_0\sqrt{13/16} = 0{,}9\) м.
зад 9 Электрон в атоме водорода
Радиус первой боровской орбиты электрона в атоме водорода \(r_1 = 0{,}53\cdot 10^{-10}\) м. Определите полную энергию электрона в этом состоянии в электрон-вольтах.
▶ОтветСкрыть
\(E = -2{,}17\cdot 10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ.
▶РешениеСкрыть
Условие вращения электрона: \(\dfrac{mv_1^2}{r_1} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1^2}\). Кинетическая энергия \(E_K = \dfrac{mv_1^2}{2} = \dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1}\), потенциальная \(E_{\mathrm{P}} = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1}\). Полная энергия \(E = E_K + E_{\mathrm{P}} = -\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1} = -2{,}17\cdot 10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ.
зад 10 Частица, компенсирующая тяготение
Частица имеет форму шарика и поглощает весь падающий на нее свет. Определите радиус частицы, при котором гравитационное притяжение ее к Солнцу на любом расстоянии будет компенсироваться силой светового давления. Мощность светового излучения Солнца \(W = 4\cdot 10^{26}\) Вт, плотность материала частицы \(\rho = 1\) г/см\(^3\), масса Солнца \(M = 2\cdot 10^{30}\) кг.
▶ОтветСкрыть
\(R = \dfrac{3W}{16\pi Gc\rho M} = 6\cdot 10^{-7}\) м \(= 0{,}6\) мкм.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(R\) — радиус частицы. На расстоянии \(r\) от Солнца на частицу падает мощность \(W_0 = W\dfrac{\pi R^2}{4\pi r^2} = W\dfrac{R^2}{4r^2}\). Сила светового давления для поглощающего тела \(F_C = \dfrac{W_0}{c}\). Сила тяготения \(F_{\mathrm{GR}} = G\dfrac{mM}{r^2}\). Условие \(F_C = F_{\mathrm{GR}}\): \(W\dfrac{R^2}{4r^2c} = G\dfrac{mM}{r^2}\). Так как \(m = \rho\dfrac{4}{3}\pi R^3\), получаем \(\dfrac{W}{4c} = G\rho\dfrac{4}{3}\pi RM\), откуда \(R = \dfrac{3W}{16\pi Gc\rho M} = 6\cdot 10^{-7}\) м \(= 0{,}6\) мкм.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2012/13, заключительный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.