«Шаг в будущее», 2014/15, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с ракеткой: в ней удар упругий, и модуль скорости мяча не меняется. Затем вернитесь к поверхности корта и запишите баллистическое движение.

Ответ

Мяч долетит до стенки и ударится о неё на высоте \(y=h-\dfrac{gL^2}{2v_0^2}=1\) м, где \(v_0=v+2u=5\) м/с.

Решение

1. Скорость мяча \(v_0\) после упругого удара о ракетку получаем по закону сложения скоростей. В системе отсчёта, движущейся со скоростью ракетки \(u\), скорость мяча относительно ракетки равна \(v_{\text{отн}}=v+u\). После упругого удара эта скорость меняет направление, а её модуль в движущейся системе не меняется. Переходя обратно в систему отсчёта, связанную с землёй, получаем \(v_0=v_{\text{отн}}+u=v+2u=5\) м/с (1-1). Тот же результат можно получить из законов сохранения импульса и энергии, если масса ракетки много больше массы мяча.

2. Движение мяча после удара — баллистическое с начальной скоростью \(v_0\), направленной горизонтально. Уравнения движения мяча в осях \(x\) (к стенке) и \(y\) (вверх от поверхности корта): \(x=v_0t\), \(y=h-\dfrac{gt^2}{2}\).

3. В момент удара о стенку \(x=L\), тогда \(t=\dfrac{L}{v_0}\) (3-1), а \(y=h-\dfrac{gL^2}{2v_0^2}\) (3-2). Значит, мяч долетит до стенки и ударится о неё на высоте \(y=h-\dfrac{gL^2}{2v_0^2}=1\) м.

Подсказка

При качении без проскальзывания точка соприкосновения колеса с плоскостью неподвижна и является мгновенной осью вращения. Скорость любой точки обода относительно неё пропорциональна расстоянию до этой точки.

Ответ

\(V_{п}=\sqrt{3\left(V_0^2+\dfrac{gD}{2}\right)}\).

Решение

1. При движении колеса без проскальзывания скорость точки \(C\) соприкосновения колеса с плоскостью равна нулю, поэтому через неё можно провести мгновенную ось вращения. Тогда скорость точки \(M\) обода, с которой срывается комок грязи, равна \(V=\omega\cdot CM\), где \(\omega=\dfrac{2V_0}{D}\) — угловая скорость вращения колеса (1-1). Длину хорды \(CM\) получаем из геометрии: \(CM\cos\alpha=h\), угол \(\alpha=30^\circ\), то есть \(CM=\dfrac{\sqrt3}{2}D\). Тогда \(V=\sqrt3\,V_0\) (1-2).

2. Скорость падения \(V_{п}\) комка грязи массой \(m\) на плоскость найдём по закону сохранения энергии: \(\dfrac{mV^2}{2}+mgh=\dfrac{mV_{п}^2}{2}\), откуда \(V_{п}=\sqrt{V^2+2gh}=\sqrt{3\left(V_0^2+\dfrac{gD}{2}\right)}\). Эта формула может быть получена и из кинематики баллистического движения.

Подсказка

Рассмотрите систему «человек + ящик» и выпишите силы вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. Коэффициент трения найдите из второго случая: равномерное движение вниз.

Ответ

\(F_{\min}=(M+m)\,g\sin\alpha\).

Решение

1. На рисунке показаны силы, действующие на систему «человек + ящик». Уравнения движения этой системы: \(2F-(M+m)g\sin\alpha-F_{тр}=(M+m)a>0\), \(N=(M+m)g\cos\alpha\) (1-1), где \(F_{тр}=\mu N=\mu(M+m)g\cos\alpha\) (1-2).

2. Тогда \(F>\dfrac12(M+m)g(\sin\alpha+\mu\cos\alpha)\) (2-1).

3. При равномерном движении вниз \(F_{тр}=\mu(M+m)g\cos\alpha=(M+m)g\sin\alpha\), откуда \(\mu=\operatorname{tg}\alpha\) (3-1), и \(F_{\min}=(M+m)g\sin\alpha\) (3-2).

Подсказка

Разбейте падение на два участка: до попадания пули и после него. Сам удар короткий, поэтому в момент столкновения сохраняется импульс системы «пуля + шар». Дальше шар с пулей движется как тело с начальной скоростью, а из квадратного уравнения для времени выберите положительный корень.

Ответ

1) \(t=\dfrac{t_0}{\sqrt2\,(m+M)}\left(m+\sqrt{(m+M)^2+M^2}\right)\);  2) в случае \(m\gg M\) время падения шара будет больше: при \(m\ll M\) получаем \(t\approx t_0\), при \(m\gg M\) получаем \(t\approx\sqrt2\,t_0>t_0\).

Решение

1. Пусть шар падает с высоты \(H\). Тогда \(H=\dfrac{gt_0^2}{2}\) (1-1). Половину пути \(\dfrac H2\) шар проходит за время \(t_1\): \(\dfrac H2=\dfrac{gt_1^2}{2}\), откуда \(t_1=\dfrac{t_0}{\sqrt2}\) (1-2). Скорость шара в момент попадания пули \(v_0=gt_1=\dfrac{gt_0}{\sqrt2}\) (1-3).

2. Столкновение шара и пули. Обозначим скорость пули \(v\), скорость шара с пулей после столкновения \(u\), и запишем закон сохранения импульса: \(mv+Mv_0=(m+M)u\) (2-1). Проецируя его на оси координат, получим проекции скорости: \(u_x=\dfrac{mv}{m+M}\), \(u_y=\dfrac{Mv_0}{m+M}=\dfrac{M}{m+M}\cdot\dfrac{gt_0}{\sqrt2}\) (2-2).

3. Найдём время \(t\) падения тела с пулей с высоты \(\dfrac H2\): \(\dfrac H2=u_yt+\dfrac{gt^2}{2}\). Подставляя выражения (1-1) и (2-2), получим квадратное уравнение \(t^2+\dfrac{M\sqrt2}{m+M}\,t_0\cdot t-\dfrac{t_0^2}{2}=0\) (3-1). Из двух корней выбираем положительный, обозначим его \(t_2\): \(t_2=\dfrac{t_0}{\sqrt2\,(m+M)}\left(-M+\sqrt{(m+M)^2+M^2}\right)\) (3-2).

4. Полное время падения шара \(t=t_1+t_2=\dfrac{t_0}{\sqrt2\,(m+M)}\left(m+\sqrt{(m+M)^2+M^2}\right)\) (4-1).

5. Анализ предельных случаев. Если \(m\ll M\), то \(t=t_0\). Если \(m\gg M\), то \(t=\sqrt2\,t_0>t_0\). В случае, когда масса пули гораздо больше массы шара, время падения шара будет больше.

Подсказка

Амперметры имеют одинаковое сопротивление, и напряжения на них связаны законом Ома. Выразите токи через ток одного амперметра и используйте правила Кирхгофа в узлах.

Ответ

\(I_{A1}=1\) А; \(I_{A2}=\dfrac58\) А \(=625\) мА; \(I_{A3}=\dfrac38\) А \(=375\) мА; \(I_{A4}=\dfrac14\) А \(=250\) мА; \(I_{A5}=I_{A6}=\dfrac18\) А \(=125\) мА.

Решение

1. Выберем направления токов через амперметры, как на рисунке. Обозначим ток через амперметр \(A_i\) через \(I_i\), сопротивление каждого амперметра \(R\). Показания амперметров \(A_5\) и \(A_6\) одинаковы: \(I_5=I_6\). Выразим показания всех амперметров через \(I_5\).

2. Напряжение на амперметре \(A_4\) равно сумме напряжений на амперметрах \(A_5\) и \(A_6\): \(I_4R=I_5R+I_6R\), откуда \(I_4=2I_5\). По первому правилу Кирхгофа в узле \(B\) сила тока через амперметр \(A_3\) равна \(I_3=I_4+I_6=3I_5\). Напряжение на амперметре \(A_2\) равно сумме напряжений на амперметрах \(A_3\) и \(A_4\), откуда \(I_2=I_3+I_4=5I_5\). По первому правилу Кирхгофа в узле \(C\) сила тока через амперметр \(A_1\) равна \(I_1=I_2+I_3=8I_5\).

3. Таким образом, максимальный ток течёт через амперметр \(A_1\): \(I_1=1\) А. Тогда \(I_5=I_6=\dfrac{I_1}{8}=125\) мА; \(I_4=\dfrac{I_1}{4}=250\) мА; \(I_3=\dfrac{3I_1}{8}=375\) мА; \(I_2=\dfrac{5I_1}{8}=625\) мА.