зад 1 Бюст из пластилина и золота
Девочки вылепили из пластилина бюст победителя школьной олимпиады по физике и поручили мальчикам отлить из золота его точную копию, но в 2 раза большей высоты. Какую массу будет иметь отливка, если на изготовление образца пошло \(V = 100\) см\(^3\) пластилина? Плотность золота \(19{,}3\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Подобные тела относятся по объёму как кубы их линейных размеров.
▶ОтветСкрыть
\(m = 15{,}4\) кг.
▶РешениеСкрыть
Объёмы подобных тел относятся как кубы их линейных размеров. Таким образом, \[m = \rho V_{\text{копии}} = \rho\,\frac{h_{\text{копии}}^3}{h_{\text{оригинала}}^3}\,V_{\text{пластилина}} = 15{,}4~\text{кг}.\]
зад 2 Удав и Мартышка
Удав ползёт по джунглям со скоростью \(V = 4\) м/мин, а рядом с ним ходит Мартышка и меряет его длину в попугаях. За 3 минуты Мартышка успевает дойти от головы Удава до его хвоста и обратно и объявить, что длина Удава — 45 попугаев. Найдите, с какой скоростью ходила Мартышка относительно земли, если в одном попугае — \(0{,}2\) м.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите время движения Мартышки «туда» и «обратно» через её скорость относительно Удава, а затем получите квадратное уравнение относительно скорости Мартышки.
▶ОтветСкрыть
\(U = 8\) м/мин.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(S\) — длина Удава, \(U\) — скорость Мартышки относительно земли, \(\tau\) — время. Мартышка идёт к хвосту Удава со скоростью \(U - V\) относительно земли, а обратно к голове — со скоростью \(U + V\): \[\tau = \frac{S}{U+V} + \frac{S}{U-V} = \frac{2SU}{U^2 - V^2}.\] Тогда скорость Мартышки удовлетворяет квадратному уравнению \[U^2 - \frac{2S}{\tau}\,U - V^2 = 0.\] Корень с минусом соответствует отрицательной скорости и не подходит, поэтому \[U = \frac{S}{\tau} + \sqrt{\frac{S^2}{\tau^2} + V^2}.\] Подставляя длину Удава в метрах (\(45\) попугаев \(= 9\) м), получаем \[U = \frac{9~\text{м}}{3~\text{мин}} + \sqrt{\left(\frac{9~\text{м}}{3~\text{мин}}\right)^2 + \left(4~\frac{\text{м}}{\text{мин}}\right)^2} = 8~\frac{\text{м}}{\text{мин}}.\]
зад 3 Смеситель двух кранов
Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом 10 л наполняется за 100 с, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом 3 л наполняется за 24 с. Температура горячей воды \(70\,^\circ\)C, холодной — \(20\,^\circ\)C. Определите, за какое время наполнится водой кастрюля ёмкостью \(4{,}5\) л, если оба крана открыты полностью и тепловое равновесие устанавливается, пока вода находится в смесителе. Найдите температуру воды, которая установится в смесителе.
Определите время наполнения кастрюли.
Найдите температуру воды в смесителе.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорости наполнения из каждого крана складываются; уравнение теплового баланса записывается для воды, которая за время наполнения пришла из обоих кранов.
▶ОтветСкрыть
1) \(\tau = 20\) с; 2) \(\vartheta = 42{,}2\,^\circ\)C.
▶РешениеСкрыть
Введём скорости наполнения из каждого крана: \(v_1 = \dfrac{V_1}{\tau_1}\), \(v_2 = \dfrac{V_2}{\tau_2}\). Объём кастрюли, наполняемой обоими кранами за время \(\tau\), равен \(V = (v_1 + v_2)\tau\), откуда \[\tau = \frac{V}{\dfrac{V_1}{\tau_1} + \dfrac{V_2}{\tau_2}} = 20~\text{с}.\] Для второго вопроса составим уравнение теплового баланса: \[c\rho v_1\tau\,(\vartheta - t_\text{гор}) + c\rho v_2\tau\,(\vartheta - t_\text{хол}) = 0,\] решая которое, получаем температуру равновесия \(\vartheta = 42{,}2\,^\circ\)C.
зад 4 Кубики льда в калориметре
В калориметр, содержащий 1 кг воды неизвестной начальной температуры, друг за другом бросают одинаковые кубики льда, каждый массой 100 г с температурой \(0\,^\circ\)C, каждый раз дожидаясь установления теплового равновесия. Первый и второй кубики растаяли полностью, третий — частично. Четвёртый кубик плавиться так и не стал. В каком интервале могла находиться начальная температура воды? Удельная теплота плавления льда 335 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot\)град).
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите две границы: при минимальной начальной температуре растаяли два кубика и не растаял третий, при максимальной — растаяли три кубика.
▶ОтветСкрыть
От \(16\,^\circ\)C до \(23{,}9\,^\circ\)C.
▶РешениеСкрыть
1) Минимальная температура соответствует условию, когда два кубика льда растаяли полностью: \[c_\text{в} m_\text{в}(t_\text{пл} - t_\text{в}) + 2\lambda m_\text{л} = 0, \quad t_\text{в} = t_\text{пл} + \frac{2\lambda m_\text{л}}{c_\text{в} m_\text{в}} = 16\,^\circ\text{C}.\] 2) Максимальная температура соответствует условию, когда три кубика льда растаяли полностью: \[c_\text{в} m_\text{в}(t_\text{пл} - t_\text{в}) + 3\lambda m_\text{л} = 0, \quad t_\text{в} = t_\text{пл} + \frac{3\lambda m_\text{л}}{c_\text{в} m_\text{в}} = 23{,}9\,^\circ\text{C}.\]
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2014/15, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.