«Шаг в будущее», 2014/15, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, в которой таракан Б неподвижен. Что станет со скоростями остальных тараканов?

Ответ

Таракан В должен двигаться влево со скоростью \(v_\text{В} = v_1 + 2v_2 = 0{,}5\) см/с.

Решение

Перейдём в систему отсчёта, движущуюся со скоростью \(\vec v_2\) таракана Б (влево). В этой системе таракан Б неподвижен, а скорость таракана А равна \(v_1 + v_2\) и направлена вправо. Чтобы все три таракана находились на одной прямой, скорость таракана В в движущейся системе отсчёта должна быть равна по модулю \(v_1 + v_2\) и направлена влево.

Тогда в неподвижной системе отсчёта скорость таракана В направлена влево и равна \[|v_\text{В}| = |v_\text{В,отн}| + v_2 = v_1 + 2v_2 = 0{,}5~\text{см/с}.\]

Подсказка

Выберите оси вдоль дощечки и перпендикулярно ей. Сравните, от чего зависит время между ударами, и от чего оно не зависит.

Ответ

1) \(h = \dfrac{gt^2}{8} = 1{,}25\) м;  2) \(t = 1\) с.

Решение

1. Скорость мячика в момент первого удара о дощечку \(v_0 = \sqrt{2gh}\).

2. Выберем ось \(Ox\) вдоль дощечки, а ось \(Oy\) перпендикулярно ей. Уравнение движения мячика после удара о дощечку: \[y = v_0 t\cos\alpha - g\cos\alpha\,\frac{t^2}{2}.\]

3. В момент падения мячика на наклонную плоскость \(y = 0\), откуда \[v_0 t\cos\alpha - g\cos\alpha\,\frac{t^2}{2} = 0.\]

4. Отсюда время между первым и вторым ударами \[t = \frac{2v_0}{g},\] которое не зависит от угла \(\alpha\).

5. Из этого \(v_0 = \dfrac{gt}{2} = 5\) м/с, а высота, с которой Таня уронила мячик, \[h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{gt^2}{8} = 1{,}25~\text{м}.\]

6. Так как время \(t\) между первым и вторым ударами не зависит от угла \(\alpha\), то при наклоне дощечки под другим углом время между ударами не изменится: \(t = 1\) с.

Подсказка

Рассмотрите горизонтальные силы, действующие на систему «ящик + человек» во втором случае, и условие равновесия ящика в первом.

Ответ

\(F_2 = \dfrac{F_1(M+m)}{2M} = \dfrac{2}{3}F_1 = 400\) Н.

Решение

1. Пусть коэффициент трения скольжения между ящиком и полом равен \(\mu\). Так как \(F_1\) — минимальная сила, то \(F_1 = \mu M g\), откуда \[\mu = \frac{F_1}{Mg}.\]

2. Во втором случае, когда сила натяжения каната равна \(F_2\), на систему «ящик + человек» в горизонтальном направлении действует сила, равная \(2F_2\). Условие минимальности силы означает, что \[2F_2 = \mu (M+m) g.\]

3. Из полученных уравнений следует \[F_2 = \frac{F_1(M+m)}{2M} = \frac{2}{3}F_1 = 400~\text{Н}.\]

Подсказка

Восстановите порядок стаканов по тому, что граф выпил из правого стакана. Затем запишите уравнение теплового баланса для смеси всех трёх жидкостей.

Ответ

\(t \approx 44\,^\circ\)C.

Решение

1. Граф Калиостро выпил половину правого стакана, а затем продолжил эксперимент, следовательно, жидкости расположены слева направо: молоко, яд, вода.

2. Обозначим через \(m\) начальные массы жидкостей. Тогда перед смешиванием жидкости имеют следующие состояния:

вода: масса \(m/2\), температура \(t_\text{в} = 30\,^\circ\)C; яд: масса \(m\), температура \(t_\text{я} = 40\,^\circ\)C; молоко: масса \(2m/3\), температура \(t_\text{м} = 60\,^\circ\)C.

3. Обозначим через \(t\) температуру смеси (\(30\,^\circ\text{C} < t < 60\,^\circ\text{C}\)). Уравнение теплового баланса: \[\frac{2m}{3}c_\text{м}(t - t_\text{м}) + mc_\text{я}(t - t_\text{я}) + \frac{m}{2}c_\text{в}(t - t_\text{в}) = 0,\] откуда \[t = \frac{\dfrac{2}{3}c_\text{м}t_\text{м} + c_\text{я}t_\text{я} + \dfrac{1}{2}c_\text{в}t_\text{в}}{\dfrac{2}{3}c_\text{м} + c_\text{я} + \dfrac{1}{2}c_\text{в}} = 44{,}3\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Найдите, через какие амперметры течёт наименьший ток, и последовательно применяйте законы Кирхгофа от этого участка.

Ответ

\(I_{A_1} = 8\) А, \(I_{A_2} = 5\) А, \(I_{A_3} = 3\) А, \(I_{A_4} = 2\) А, \(I_{A_5} = 1\) А, \(I_{A_6} = 1\) А.

Решение

1. Наименьший ток течёт через амперметры \(A_5\) и \(A_6\), поэтому \(I_5 = I_6 = I = 1\) А.

2. Напряжение на амперметре \(A_4\) равно сумме напряжений на амперметрах \(A_5\) и \(A_6\): \(U_4 = I_4R = I_5R + I_6R = 2IR\). Тогда \(I_4 = 2I = 2\) А.

3. По первому правилу Кирхгофа в узле В: \(I_3 = I_4 + I_6 = 3I = 3\) А.

4. Напряжение на амперметре \(A_2\) равно сумме напряжений на амперметрах \(A_3\) и \(A_4\): \(U_2 = I_2R = I_3R + I_4R = 5IR\). Тогда \(I_2 = 5I = 5\) А.

5. По первому правилу Кирхгофа в узле С: \(I_1 = I_3 + I_2 = 8I = 8\) А.