«Шаг в будущее», 2014/15, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Удобно перейти в систему отсчёта одного из автомобилей: тогда второй движется с относительной скоростью. Какой угол образуют векторы \(\vec l\) и \(\vec v_{\text{отн}}\)?

Ответ

\(t = \dfrac{l}{v} = 30\) с \(= 0{,}5\) мин.

Решение

Свяжем неподвижную систему отсчёта с дорогой, а движущуюся — с одним из автомобилей, например с первым. В неподвижной системе радиус-векторы автомобилей меняются по закону \[\vec r_1 = \vec r_{01} + \vec v_1 t, \qquad \vec r_2 = \vec r_{02} + \vec v_2 t.\] Вектор относительного расстояния между автомобилями равен \(\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = \vec l + \vec v_{\text{отн}}\,t\), где \(\vec l\) — вектор начального расстояния между автомобилями, \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2\) — вектор относительной скорости.

Так как в начальный момент автомобили находятся на одинаковых расстояниях от перекрёстка и \(|\vec v_1| = |\vec v_2| = v\), то \(\vec v_{\text{отн}} \perp \vec l\) и \[v_{\text{отн}} = 2v\cos 30^\circ = v\sqrt{3}.\] Из геометрии рисунка \(|\Delta\vec r|^2 = l^2 + v_{\text{отн}}^2 t^2\). По условию \(|\Delta\vec r| = 2l\). Тогда \[t = \frac{l}{v} = 30~\text{с} = 0{,}5~\text{мин}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на оси, связанные с наклонной гранью, и уравнение движения клина по горизонтали. Учтите, что силы реакции действуют перпендикулярно граням.

Ответ

Клин движется вправо с ускорением \(a = \dfrac{\sqrt{3}}{25}\,g = 0{,}68\) м/с\(^2\).

Решение

Очевидно, что клин движется вправо. Пусть ускорение клина равно \(a\). Запишем уравнения динамики для обоих тел (оси \(y_1\) и \(y_2\) перпендикулярны граням): \[N_1 - 2mg\cos 60^\circ = -2ma\sin 60^\circ, \qquad N_2 - mg\cos 60^\circ = ma\sin 60^\circ .\] Этих двух уравнений достаточно для нахождения сил давления на клин \(N_1\) и \(N_2\): \[N_1 = mg - ma\sqrt{3}, \qquad N_2 = \frac{1}{2}mg + ma\,\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Уравнение движения клина в проекции на горизонтальную ось \(x\): \[N_1\sin 60^\circ - N_2\sin 60^\circ = 4ma .\] Подставляя \(N_1\) и \(N_2\) и решая уравнение относительно \(a\), находим \[a = \frac{\sqrt{3}}{25}\,g \approx 0{,}68~\text{м/с}^2 .\]

Подсказка

Найдите силы тяжести, действующие справа и слева от блока в начальный момент, и запишите закон сохранения механической энергии для начального и конечного состояний.

Ответ

\(a = \dfrac{g}{2}\),  \(v = \dfrac{\sqrt{3gL}}{2}\).

Решение

Обозначим \(m\) первоначальную массу каната длиной \(L\). В начальный момент справа на канат действует сила тяжести \(\frac{3}{2}mg\), а слева — \(\frac{1}{2}mg\). Тогда ускорение каната \[a = \frac{1}{m}\left(\frac{3}{2}mg - \frac{1}{2}mg\right) = \frac{g}{2}.\] Выберем уровень, на котором потенциальная энергия равна нулю. Начальная энергия (состояние 2 на рисунке, когда к канату подвесили второй канат): \[E_{\text{нач}} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{m}{2}g\cdot\frac{L}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{3m}{2}g\cdot\frac{3L}{2} = -\frac{5}{4}mgL .\] Конечная энергия (канат полностью соскользнул с блока, его масса \(2m\)): \[E_{\text{кон}} = \frac{2mv^2}{2} - \frac{1}{2}\cdot 2mg\cdot 2L = mv^2 - 2mgL .\] Из закона сохранения энергии \(E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}\): \[v = \frac{\sqrt{3gL}}{2}.\]

Подсказка

Начальные скорости струй найдите по формуле Торричелли. Затем запишите траектории обеих струй и найдите точку, в которой они имеют одинаковые координаты.

Ответ

\(y = h\) (точка пересечения струй: \(x = 2\sqrt{2}\,h\)).

Решение

Начальные скорости струй найдём по теореме Торричелли (уравнению Бернулли): \[v_1 = \sqrt{2g(4h-3h)} = \sqrt{2gh}, \qquad v_2 = \sqrt{2g(4h-2h)} = \sqrt{4gh}.\] Оси координат выберем, как на рисунке, и запишем кинематические уравнения движения частиц струй. Для первой струи \(x = v_1 t\), \(y_1 = 3h - \dfrac{gt^2}{2}\); для второй струи \(x = v_2 t\), \(y_2 = 2h - \dfrac{gt^2}{2}\). Исключив \(t\), получаем уравнения струй: \[y_1 = 3h - \frac{gx^2}{2v_1^2}, \qquad y_2 = 2h - \frac{gx^2}{2v_2^2}.\] Струи пересекутся, когда \(y_1 = y_2\). Приравнивая эти функции и подставляя начальные скорости, получаем координаты точки пересечения струй: \[x = 2\sqrt{2}\,h, \qquad y_1 = y_2 = h .\]

Подсказка

Удобно сначала найти температуру газа в точке, где цикл замыкается, через уравнение адиабаты и уравнение состояния. Какой участок цикла связан с подводом теплоты?

Ответ

\(\eta = \dfrac{58}{93} = 62{,}4\,\%\).

Решение

Состояния цикла обозначим: 1 — начало адиабатического расширения (\(T_1 = 4T\)), 2 — конец адиабаты (\(T_2 = T\)), 3 — конец изобарного сжатия; изохора 3–1 замыкает цикл.

КПД цикла \(\eta = \dfrac{A}{Q_{\text{пол}}}\), где работа за цикл \(A = A_{12} + A_{23} + A_{31}\): \[A_{12} = -\Delta U_{12} = -\frac{3}{2}\nu R(T - 4T) = \frac{9}{2}\nu RT, \qquad A_{23} = -p_2(V_2 - V_1) = -\nu R(T - T_3), \qquad A_{31} = 0 .\] Теплота подводится только на участке 3–1 (изохорный нагрев): \[Q_{\text{пол}} = Q_{31} = \Delta U_{31} = \frac{3}{2}\nu R(4T - T_3).\] Чтобы связать \(T_3\) с \(T\), запишем уравнение адиабаты и уравнение состояния: \[p_1V_1^{5/3} = p_2V_2^{5/3}, \qquad \frac{p_1V_1}{4T} = \frac{p_2V_2}{T} \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{2/3} = 4, \qquad \frac{V_2}{V_1} = 8 .\] Закон Гей-Люссака для процесса 2–3 при постоянном давлении \(p_2\): \(\dfrac{V_1}{T_3} = \dfrac{V_2}{T}\), откуда \(T_3 = T\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{T}{8}\).

Подставляя \(T_3\): \[A = \nu R\left(\frac{7}{2}T + T_3\right) = \frac{29}{8}\nu RT, \qquad Q_{\text{пол}} = \frac{3}{2}\nu R\left(4T - \frac{T}{8}\right) = \frac{93}{16}\nu RT .\] Тогда \[\eta = \frac{A}{Q_{\text{пол}}} = \frac{58}{93} = 62{,}4\,\% .\]