«Шаг в будущее», 2014/15, заключительный этап, 11 класс

Запишите высоту камня в два момента времени и вычтите одно уравнение из другого.

\(v_0 = \dfrac{g(t_1+t_2)}{2\sin\alpha} = 39{,}2\) м/с.

Высота камня в моменты \(t_1\) и \(t_2\): \[h = v_0\sin\alpha\, t_1 - \frac{gt_1^2}{2}, \qquad h = v_0\sin\alpha\, t_2 - \frac{gt_2^2}{2}.\] Отсюда \(v_0\sin\alpha\,(t_2 - t_1) = \dfrac{g(t_2^2 - t_1^2)}{2}\), и \[v_0 = \frac{g(t_1+t_2)}{2\sin\alpha} = 39{,}2~\text{м/с}.\]

Каково направление ускорения лифта, если он движется вверх и тормозит?

\(N = m(g-a) = 900\) Н.

Ускорение лифта направлено вниз и равно \(a = 0{,}8\) м/с\(^2\). По второму закону Ньютона \(mg - N = ma\), откуда \[N = m(g-a) = 100\cdot(9{,}8 - 0{,}8) = 900~\text{Н}.\]

Высота каждого отскока связана со скоростью по закону сохранения энергии. Путь — это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

\(S = H\dfrac{n^2+1}{n^2-1} = \dfrac{5}{3}H \approx 1{,}67\,H\) (при \(n = 2\)).

Скорость шарика перед первым ударом \(v_0 = \sqrt{2gH}\). После каждого отскока скорость уменьшается в \(n = 2\) раза: \(v_1 = \dfrac{v_0}{n}\), \(v_2 = \dfrac{v_0}{n^2}\), и т.д. Высоты отскоков \[h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = \frac{H}{n^2}, \qquad h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{H}{n^4}, \qquad \dots\] Путь до остановки \[S = H + 2(h_1 + h_2 + \dots) = H + \frac{2H}{n^2}\left(1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4} + \dots\right) = H + \frac{2H}{n^2-1} = H\,\frac{n^2+1}{n^2-1}.\] При \(n = 2\) получаем \(S = \dfrac{5}{3}H \approx 1{,}67\,H\).

Возведите в квадрат уравнение состояния \(pV = \nu RT\) и используйте постоянство \(pV^2\).

Температура увеличилась в \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\) раза.

Из условия \(p_1V_1^2 = p_2V_2^2\) следует \((p_1V_1)^2 / p_1 = (p_2V_2)^2 / p_2\). Так как \(pV = \nu RT\), то \((pV)^2 = p\cdot pV^2\), и при постоянном \(pV^2\) получаем \((\nu RT)^2 \propto p\), т.е. \(T^2 \propto p\). Тогда \[\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{p_2}{p_1}} = \sqrt{2} \approx 1{,}4 .\]

Незаряженный проводящий шар в поле точечного заряда приобретает постоянный потенциал. Какие заряды индуцируются на шаре и каков его суммарный заряд?

В равновесии сила натяжения нити равна силе кулоновского отталкивания. Для скоростей используйте законы сохранения импульса и энергии.

\(v_1 = 2\sqrt{\dfrac{FL}{3m}}\).

Сила отталкивания равна силе натяжения: \(F = F_Э = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0L^2}\). Потенциальная энергия системы в начальный момент \(W_п = \dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0L} = FL\). Закон сохранения импульса: \(mv_1 = 2mv_2\), откуда \(v_2 = \dfrac{v_1}{2}\). Закон сохранения энергии: \[\frac{mv_1^2}{2} + \frac{2mv_2^2}{2} = FL .\] Подставляя \(v_2 = v_1/2\), получаем \(\dfrac{mv_1^2}{2} + m\left(\dfrac{v_1}{2}\right)^2 = FL\), откуда \[v_1 = \sqrt{\frac{4FL}{3m}} = 2\sqrt{\frac{FL}{3m}} .\]

Выразите давления по обе стороны поршня через смещение \(x\) по закону Бойля—Мариотта и разложите силу в ряд при малом \(x\).

\(m = \dfrac{p_0 S T^2}{\pi^2 L}\).

Пусть \(\ell = L/2\). Так как \(T = \text{const}\), то \(p_1(\ell + x) = p_0\ell\) и \(p_2(\ell - x) = p_0\ell\), откуда \(p_1 = \dfrac{p_0\ell}{\ell+x}\), \(p_2 = \dfrac{p_0\ell}{\ell-x}\). Возвращающая сила \[F_x = -(p_2 - p_1)S = -p_0\ell S\,\frac{2x}{\ell^2 - x^2}.\] При \(x \ll \ell\): \(F_x \approx -\dfrac{2p_0 S}{\ell}\,x = -\dfrac{4p_0S}{L}\,x = -kx\). Для колебаний \(a_x = -\omega^2 x\), поэтому \(\dfrac{k}{m} = \omega^2\) и \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{mL}{4p_0S}} .\] Откуда \[m = \frac{p_0 S T^2}{\pi^2 L}.\]

Вдоль движения размер сокращается, поперёк — нет. Какой катет направлен вдоль скорости?

\(L' = L_0\sqrt{1 - \cos^2\alpha\,\dfrac{v^2}{c^2}} = 0{,}9\) м.

Высота треугольника \(h = L_0\sin\alpha\) перпендикулярна движению и не меняется, катет \(b = L_0\cos\alpha\) сокращается: \(b' = b\sqrt{1 - v^2/c^2}\). Тогда \[L' = \sqrt{h^2 + b'^2} = L_0\sqrt{1 - \cos^2\alpha\,\frac{v^2}{c^2}} .\] При \(\alpha = 30^\circ\) и \(v/c = 0{,}5\) получаем \(L' = L_0\sqrt{\dfrac{13}{16}} = 0{,}9\,L_0 = 0{,}9\) м.

Для движения по орбите кулоновская сила создаёт центростремительное ускорение. Найдите кинетическую и потенциальную энергии электрона.

\(E = -2{,}17\cdot10^{-18}\) Дж \(= -13{,}6\) эВ.

Условие вращения электрона: \(\dfrac{mv_1^2}{r_1} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}{r_1^2}\). Кинетическая энергия \[E_K = \frac{mv_1^2}{2} = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_1}.\] Потенциальная энергия \[E_П = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_1}.\] Полная энергия \[E = E_K + E_П = -\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_1} = -2{,}17\cdot10^{-18}~\text{Дж} = -13{,}6~\text{эВ}.\]

Сила светового давления и сила тяготения убывают с расстоянием одинаково, поэтому условие равновесия не зависит от \(r\). Сравните эти силы, выразив их через \(R\) и \(\rho\).

\(R = \dfrac{3W}{16\pi G c\rho M} = 6\cdot10^{-7}\) м \(= 0{,}6\) мкм.

Эффективная площадь частицы \(S = \pi R^2\). Мощность излучения, падающего на частицу на расстоянии \(r\) от Солнца, \(W_0 = W\dfrac{\pi R^2}{4\pi r^2} = W\dfrac{R^2}{4r^2}\). Сила светового давления при полном поглощении \(F_C = \dfrac{W_0}{c}\). Сила гравитационного притяжения \(F_{ГР} = G\dfrac{mM}{r^2}\). По условию \(F_C = F_{ГР}\): \[\frac{WR^2}{4r^2c} = G\frac{mM}{r^2}.\] Так как для частицы \(m = \rho\dfrac{4}{3}\pi R^3\), то \(\dfrac{W}{4c} = G\rho\,\dfrac{4}{3}\pi R M\), откуда \[R = \frac{3W}{16\pi G c\rho M} = 6\cdot10^{-7}~\text{м} = 0{,}6~\text{мкм}.\]