«Шаг в будущее», 2014/15, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта одного из автомобилей: второй движется относительно неё с постоянной скоростью. Какова её направление относительно начального расстояния между машинами?

Ответ

\(t = \dfrac{l}{v} = 30\) с \(= 0{,}5\) мин.

Решение

Свяжем неподвижную систему отсчёта с дорогой. Радиус-векторы автомобилей \(\vec r_1 = \vec r_{01} + \vec v_1 t\), \(\vec r_2 = \vec r_{02} + \vec v_2 t\). Вектор расстояния между автомобилями \[\Delta\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 = \vec l + \vec v_{\text{отн}}\,t,\] где \(\vec l\) — вектор начального расстояния между автомобилями, \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_1 - \vec v_2\) — вектор относительной скорости.

Так как в начальный момент автомобили находятся на одинаковых расстояниях от перекрёстка и \(|\vec v_1| = |\vec v_2| = v\), то \(\vec v_{\text{отн}} \perp \vec l\) и \(v_{\text{отн}} = 2v\cos 30^\circ = v\sqrt{3}\). Из геометрии \[|\Delta\vec r|^2 = l^2 + v_{\text{отн}}^2\,t^2 .\] По условию \(|\Delta\vec r| = 2l\). Тогда \(4l^2 = l^2 + 3v^2t^2\), откуда \(t = \dfrac{l}{v} = 30\) с \(= 0{,}5\) мин.

Подсказка

Силы давления тел на клин имеют горизонтальные составляющие. Клин остаётся на месте, если эти составляющие уравновешивают друг друга.

Ответ

\(\dfrac{m_1}{m_2} = 1\).

Решение

Пусть углы прямоугольного треугольника в основании клина равны \(\alpha\) и \(\beta\), \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Уравнения динамики тел в проекциях на перпендикуляры к граням дают силы нормальной реакции клина: \[N_1 = m_1 g\cos\alpha, \qquad N_2 = m_2 g\cos\beta .\] По третьему закону Ньютона на клин действуют силы \(N_1\) и \(N_2\) с теми же модулями. Для неподвижного клина в проекции на горизонтальную ось \[N_1\sin\alpha - N_2\sin\beta = 0 .\] Подставляя \(N_1\) и \(N_2\) и учитывая \(\alpha + \beta = 90^\circ\), \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{\sin\beta\cos\beta}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin 2\beta}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin(180^\circ - 2\alpha)}{\sin 2\alpha} = 1 .\]

Подсказка

В режиме максимальной скорости ускорение равно нулю: сумма архимедовой силы, силы сопротивления и веса равна нулю. Запишите это для каждого шарика и для системы.

Ответ

Система будет тонуть, с максимальной скоростью \(v' = \dfrac{v}{2}\).

Решение

1. Лёгкий шарик массой \(m_1\) всплывает с максимальной скоростью \(v\); ускорение при этом равно нулю: \[F_A - F_{c1} - m_1 g = 0,\] где \(F_A = \rho_0 g V\) — сила Архимеда, \(\rho_0\) — плотность воды, \(V\) — объём шарика, \(F_{c1} = kv\) — сила сопротивления, \(k = \text{const}\). (3-1)

2. Тяжёлый шарик массой \(m_2\) тонет с максимальной скоростью \(2v\): \[m_2 g - F_A - F_{c2} = 0, \qquad F_{c2} = k\cdot 2v . \quad (3\text{-}2)\]

3. Система связанных шариков будет тонуть с максимальной скоростью \(v'\): \[m_1 g + m_2 g - 2F_A - 2F_c = 0, \qquad F_c = k v' . \quad (3\text{-}3)\]

Решая систему (3-1)–(3-3), получим \[v' = \frac{v}{2} . \quad (3\text{-}4)\]

Подсказка

Мощность находится из теплового баланса за \(1\) с. Во втором случае часть тепла уходит на плавление льда, остальное — на нагрев образовавшейся воды.

Ответ

1) \(N = 210\) Вт;  2) \(t' = 20^\circ\)C.

Решение

Обозначим: \(N\) — мощность электронагревателя, \(\Delta\tau = 1\) с, \(c_в\) — удельная теплоёмкость воды, \(\Delta m_в\) — масса воды, \(\Delta t = 50^\circ\)C. Тогда \[N\,\Delta\tau = c_в\,\Delta m_в\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad N = c_в\,\frac{\Delta m_в}{\Delta\tau}\,\Delta t = 210~\text{Вт}.\]

Во втором случае уравнение теплового баланса имеет вид \[N\,\Delta\tau = \lambda\,\Delta m_л + c_в\,\Delta m_л\,(t' - 0^\circ\text{C}),\] где \(\lambda = 335\) кДж/кг, \(\Delta m_л\) — масса льда. Отсюда \[t' = \frac{N - \lambda\,\dfrac{\Delta m_л}{\Delta\tau}}{c_в\,\dfrac{\Delta m_л}{\Delta\tau}} = 20^\circ\text{C}.\]