«Шаг в будущее», 2015/16, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите перемещения между точками через начальную скорость в точке \(A\), ускорение \(\vec g\) и неизвестные времена \(\tau_1\) (от \(A\) до \(B\)) и \(\tau_3\) (от \(C\) до \(D\)).

Ответ

\(\tau_1 = \tau_3 = \tau\).

Решение

Обозначим время прохождения отрезков \(AB\) и \(BC\) соответственно \(\tau_1\) и \(\tau_3\), скорость камня в точке \(A\) — \(\vec v_0\), тогда скорость камня в точке \(B\) \(\vec v_B = \vec v_0 + \vec g\tau_1\). \[\overrightarrow{AD} = \vec v_0(\tau_1+\tau+\tau_3) + \frac{\vec g(\tau_1+\tau+\tau_3)^2}{2},\] \[\overrightarrow{BC} = \vec v_B\tau + \frac{\vec g\tau^2}{2} = \vec v_0\tau + \vec g\left(\tau_1\tau + \frac{\tau^2}{2}\right).\] По условию \(\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{BC}\), откуда \[\begin{cases} \tau_1 + \tau + \tau_3 = 3\tau,\\[4pt] \dfrac{(\tau_1+\tau+\tau_3)^2}{2} = 3\left(\tau_1\tau + \dfrac{\tau^2}{2}\right). \end{cases}\] Решая написанную выше систему, получим \(\tau_1 = \tau_3 = \tau\).

Подсказка

Запишите изменение импульса каждой частицы за время действия силы. Сила одинакова, поэтому изменения импульсов относятся как время, умноженное на массу.

Ответ

\(|\vec v_{2\text{кон}}| = 2\sqrt{2}\,v\);  \(\alpha = 45^\circ\).

Решение

Запишем закон изменения импульса для обеих частиц: \[\vec F t = m\vec v_{1\text{кон}} - m\vec v_{1\text{нач}}, \text{ где } |\vec v_{1\text{кон}}| = |\vec v_{1\text{нач}}| = v \text{ для частицы массой } m,\] \[\vec F\cdot 2t = 2m\vec v_{2\text{кон}} - 2m\vec v_{2\text{нач}}, \text{ где } |\vec v_{2\text{нач}}| = 2v \text{ для частицы массой } 2m.\] Отсюда \[\vec v_{2\text{кон}} = \vec v_{1\text{кон}} - \vec v_{1\text{нач}} + \vec v_{2\text{нач}}.\] Модуль вектора \(\vec v_{2\text{кон}}\) и его направление найдём из рисунка.

Откуда \(|\vec v_{2\text{кон}}| = 2v\sqrt{2}\), \(\alpha = 45^\circ\).

Подсказка

Центр масс лежит посередине между звёздами. Из условия постоянства расстояний следует, что три тела образуют равносторонний треугольник. Запишите уравнение движения одной звезды.

Ответ

\(T = \pi\sqrt{\dfrac{2R^3}{GM}}\),  \(v = \sqrt{\dfrac{3GM}{2R}}\).

Решение

Так как массы звёзд \(M\) равны, а масса планеты \(m \ll M\), то можно считать, что центр масс системы \(O\) (см. рисунок) находится на середине отрезка, соединяющего центры звёзд. По условию расстояние между звёздами равно \(R\), расстояние от планеты до каждой из звёзд обозначим \(r\). Так как расстояния между телами системы остаются неизменными, то все три тела движутся с одинаковой угловой скоростью \(\omega\).

На звезду действуют сила притяжения к другой звезде \(F = G\dfrac{M^2}{R^2}\) и сила тяготения с планетой \(f = G\dfrac{Mm}{r^2}\). Так как масса планеты \(m \ll M\), то силой \(f\) в уравнении движения звезды можно пренебречь: \[M\omega^2\frac{R}{2} = G\frac{M^2}{R^2}. \quad (1)\] Запишем уравнение движения планеты в проекции на ось \(y\): \[m\omega^2 r\cos\alpha = 2G\frac{Mm}{r^2}\cos\alpha. \quad (2)\] Из системы уравнений (1)–(2) следует \[\frac{1}{R^3} = \frac{1}{r^3}, \quad \Rightarrow \quad r = R.\] Таким образом, треугольник \(MmM\) — равносторонний, и \(\alpha = 30^\circ\). Из уравнения (2) следует \(\omega = \sqrt{\dfrac{2GM}{R^3}}\). Поэтому период обращения звёзд \[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{2GM}} = \pi\sqrt{\frac{2R^3}{GM}}.\] Линейная скорость движения планеты \[v = \omega r\cos 30^\circ = \sqrt{\frac{3GM}{2R}}.\]

Подсказка

Число атомов, влетающих в полость через малое отверстие, пропорционально концентрации и скорости. Концентрации в атмосфере связаны с парциальными давлениями при одной температуре.

Ответ

\(\dfrac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} = \dfrac{p_1}{p_2}\sqrt{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3\).

Решение

За малое время \(\Delta t\) после образования микротрещины в полость влетает количество атомов гелия \[\Delta N_1 = \frac{1}{6}\,n_1 S v_1\,\Delta t, \quad (1)\] где \(n_1\) — концентрация гелия в атмосфере планеты, \(v_1\) — скорость атомов гелия в атмосфере, \(S\) — площадь микротрещины.

Аналогично находим количество атомов аргона, влетевших в полость за то же самое время, \[\Delta N_2 = \frac{1}{6}\,n_2 S v_2\,\Delta t, \quad (2)\] где \(n_2\) — концентрация аргона в атмосфере планеты, \(v_2\) — скорость атомов аргона в атмосфере.

Так как концентрация атомов в полости \(n_{i\text{п}}\) связана с количеством атомов \(\Delta N_i\) (\(i = 1\) — гелий, \(i = 2\) — аргон) и объёмом полости \(V\) формулой \[n_{i\text{п}} = \frac{\Delta N_i}{V}, \quad (3)\] то отношение концентраций гелия и аргона в полости равно \[\alpha = \frac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} = \frac{\Delta N_1}{\Delta N_2} = \frac{n_1 v_1}{n_2 v_2}. \quad (4)\] Так как по условию все молекулы (атомы) имеют одинаковую кинетическую энергию \(E = \dfrac{3}{2}kT\), то температура газов атмосферы \(T = \text{const}\). Основное уравнение МКТ \(p_i = n_i\dfrac{2}{3}E\) даёт связь парциальных давлений газов \(p_i\) и их концентраций \(n_i\): \[\frac{p_1}{p_2} = \frac{n_1}{n_2}. \quad (5)\] Скорости атомов в атмосфере планеты вычисляются по формуле \(v_i = \sqrt{\dfrac{2E}{m_{i\text{а}}}}\), где масса атома \(m_{i\text{а}} = \dfrac{\mu_i}{N_A}\), или по формуле \(v_i = \sqrt{\dfrac{3RT}{\mu_i}}\); \(\mu_i\) — молярная масса гелия (\(i = 1\)) или аргона (\(i = 2\)).

Тогда \[\alpha = \frac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} = \frac{n_1v_1}{n_2v_2} = \frac{p_1}{p_2}\sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3. \quad (6)\] Примечание. Более точный расчёт даёт в формулах (1) и (2) коэффициент \(1/4\) вместо \(1/6\). Важно понимание того, что отношение концентраций газов в атмосфере не равно отношению концентраций газов в полости: \(\dfrac{n_{1\text{п}}}{n_{2\text{п}}} \neq \dfrac{n_1}{n_2}\).

Подсказка

Из двух кривых, выходящих из одной точки, адиабата круче изотермы: это определяет, какой процесс какой линии соответствует. Тепло получает газ только на изотерме.

Ответ

\(\eta = \dfrac{1}{6} = 16{,}7\%\).

Решение

Так как при адиабатическом расширении газ охлаждается, то из двух кривых, проведённых из одной точки 1, адиабата круче, чем изотерма (см. рисунок). Поэтому \(12\) — изотерма (\(T_1 = T_2\)), \(31\) — адиабата, \(23\) — изобара.

КПД цикла равен \[\eta = \frac{A_\text{цикл}}{Q_\text{пол}}, \quad (1)\] где работа за цикл \[A_\text{цикл} = A_{12} + A_{23} + A_{31}. \quad (2)\] Одноатомный газ гелий получает тепло только на изотерме \(12\) (\(\Delta U_{12} = 0\)): \[Q_\text{пол} = Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = A_{12}. \quad (3)\] Далее \[A_{23} = -p_2(V_2 - V_3) = -\nu R\,\Delta T, \quad (4)\] где \(\Delta T = T_2 - T_3 = T_1 - T_3\).

По условию \[A_{12} = 3\left|A_{23}\right| = 3\nu R\,\Delta T. \quad (5)\] В адиабатном процессе \(31\) \[A_{31} = -\Delta U_{31} = -\frac{3}{2}\nu R\,\Delta T. \quad (6)\] Тогда \[A_\text{цикл} = 3\nu R\Delta T - \nu R\Delta T - \frac{3}{2}\nu R\Delta T = \frac{1}{2}\nu R\Delta T, \quad (7)\] \[Q_\text{пол} = A_{12} = 3\nu R\,\Delta T. \quad (8)\] Отсюда \[\eta = \frac{\frac{1}{2}\nu R\Delta T}{3\nu R\Delta T} = \frac{1}{6}. \quad (9)\] Ответ: \(\eta = \dfrac{1}{6} = 16{,}7\%\).