«Шаг в будущее», 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Обозначьте время прохождения \(AB\) и \(CD\) через \(\tau\) и выразите пути \(AB\), \(AC\), \(AD\) через начальную скорость в точке \(A\) и ускорение. Длина \(BC\) — разность путей \(AC\) и \(AB\).

В 2 раза: \(AD=2\,BC\).

Пусть время прохождения отрезков \(AB\) и \(CD\) равно \(\tau\), тогда автомобиль проходит отрезок \(BC\) за время \(2\tau\). Пусть \(v_0\) — скорость в точке \(A\), \(a\) — ускорение автомобиля: \[AB=v_0\tau+\dfrac{a\tau^2}{2},\qquad AC=3v_0\tau+\dfrac{9}{2}a\tau^2,\qquad AD=4v_0\tau+8a\tau^2.\] Тогда \(BC=AC-AB=2v_0\tau+4a\tau^2\), и \[\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{4v_0\tau+8a\tau^2}{2v_0\tau+4a\tau^2}=2.\] Замечание. Длину \(BC\) можно найти и через скорость \(v_B\) в точке \(B\): \(BC=v_B\cdot 2\tau+\dfrac{a(2\tau)^2}{2}=(v_0+a\tau)\cdot 2\tau+\dfrac{a(2\tau)^2}{2}=2v_0\tau+4a\tau^2\).

Что происходит с ускорением капли, когда сила сопротивления уравновешивает силу тяжести? Запишите уравнение движения для двух состояний капли и сравните их.

\(v_{\text{з}}=2v=8\) м/с.

Сила сопротивления \(F_{\text{сопр}}=kv^2\), где \(k=\text{const}\). Так как капля падает с большой высоты, вблизи земли она движется с постоянной (установившейся) скоростью \(v_{\text{з}}\) (\(a=0\)): \[mg=kv_{\text{з}}^2.\] На некоторой высоте уравнение движения капли имеет вид \(ma=mg-kv^2\). По условию \(a=0{,}75g\), откуда \(0{,}25\,mg=kv^2\). Разделив первое уравнение на последнее, получим \(v_{\text{з}}=2v=8\) м/с.

Сколько льда расплавилось? Льдинка начнёт тонуть, когда её средняя плотность с дробинкой станет равна плотности воды; выразите объём льда и дробинки через их массы.

\(m_{\text{д}}=\left(m-\dfrac{Q}{\lambda}\right)\dfrac{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})\rho_{\text{с}}}{(\rho_{\text{с}}-\rho_{\text{в}})\rho_{\text{л}}}=7\) г.

Масса оставшегося после плавления льда \(m_1=m-\dfrac{Q}{\lambda}=0{,}1-\dfrac{32}{340}=\dfrac{1}{17}\) кг. Общий объём \(V=\dfrac{m_1}{\rho_{\text{л}}}+\dfrac{m_{\text{д}}}{\rho_{\text{с}}}\), где \(m_{\text{д}}\) — неизвестная масса дробинки, \(\rho_{\text{л}}=0{,}9\) г/см\(^3\), \(\rho_{\text{с}}=11{,}3\) г/см\(^3\) — плотности льда и свинца.

Лёд с дробинкой начнёт тонуть, когда масса льдинки и дробинки станет равна массе вытесненной воды (сила тяжести равна силе Архимеда): \[m_1+m_{\text{д}}=\rho_{\text{в}}V=\rho_{\text{в}}\left(\dfrac{m_1}{\rho_{\text{л}}}+\dfrac{m_{\text{д}}}{\rho_{\text{с}}}\right),\] где \(\rho_{\text{в}}=1\) г/см\(^3\) — плотность воды. Отсюда \[m_{\text{д}}=m_1\,\dfrac{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})\rho_{\text{с}}}{(\rho_{\text{с}}-\rho_{\text{в}})\rho_{\text{л}}} =\dfrac{1}{17}\cdot\dfrac{(1-0{,}9)\cdot 11{,}3}{(11{,}3-1)\cdot 0{,}9}\approx 0{,}007~\text{кг}=7~\text{г}.\]

Во сколько раз сопротивление тонкой проволочки больше сопротивления толстой? Какой ток течёт через тонкую проволочку, когда через толстую течёт ток \(I_2\)?

\(I_{\max}=6{,}25\) А.

Так как сопротивление проволоки обратно пропорционально площади её поперечного сечения, \(R=\rho\dfrac{l}{S}=\rho\dfrac{l}{\pi d^2/4}\), то \[\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{d_2^2}{d_1^2}=4.\] Пусть \(I\) — сила тока в цепи, \(i_1\) и \(i_2\) — силы токов через тонкую и толстую проволочки (см. рисунок). Тогда \[I=i_1+i_2,\qquad i_1R_1=i_2R_2.\]

Допустим, через толстую проволочку течёт максимальный ток \(i_2=I_2=5\) А. Тогда сила тока через тонкую проволочку \(i_1=i_2\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{I_2}{4}=1{,}25\) А \(<I_1=1{,}8\) А. Значит, тонкая проволочка не перегорит, и максимальный ток в цепи \[I_{\max}=i_1+I_2=1{,}25+5=6{,}25~\text{А}.\]