«Шаг в будущее», 2016/17, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Для равноускоренного движения из старта \(v^2 = 2a(x - x_0)\): выберите две известные пары \((x, v)\) и найдите \(a\) и начальную координату \(x_0\).

Ответ

1) \(a = 14\) м/с\(^2\);  2) \(x_1 = 20\) м, \(v_3 = 28\) м/с \(= 100{,}8\) км/ч;  3) через 1 с мимо устройства с координатой \(x = 25\) м, через 2 с — с координатой \(x = 45\) м.

Решение

Переведём скорости в СИ (м/с) и добавим строку \(v_i^2\): \(v_1 = 9{,}17\), \(v_2 = 22{,}44\), \(v_4 = 36{,}67\) м/с; \(v_1^2 = 84\), \(v_2^2 = 503{,}75\), \(v_4^2 = 1344{,}44\) м\(^2\)/с\(^2\).

Пусть начальная координата автомобиля \(x(0) = x_0\), начальная скорость \(v(0) = v_0 = 0\), ускорение \(a\). Тогда \[v_i^2 = 2a\,(x_i - x_0). \qquad (1)\] Графический способ: по прямой \(v^2(x)\) (или \(x(v^2)\)) находят угловой коэффициент, связанный с \(a\), и по ней — \(x_0\), \(x_1\) и \(v_3\). Аналитический способ: по двум известным парам из (1) получаем систему \[\begin{cases} v_2^2 = 2a(x_2 - x_0),\\ v_4^2 = 2a(x_4 - x_0), \end{cases} \qquad a = \frac{v_4^2 - v_2^2}{2(x_4 - x_2)}, \quad x_0 = x_2 - \frac{v_2^2}{2a}.\] Далее по (1) находим \(x_1 = x_0 + \dfrac{v_1^2}{2a}\) и \(v_3 = \sqrt{2a(x_3 - x_0)}\).

Оба способа дают: \(a = 14\) м/с\(^2\), \(x_0 = 17\) м; \(x_1 = 20\) м, \(v_3 = 28\) м/с \(= 100{,}8\) км/ч.

Для третьего вопроса \(x = x_0 + \dfrac{at^2}{2}\). При \(t = 1\) с получаем \(x = 17 + \dfrac{14\cdot 1^2}{2} = 24\) м. Так как фиксирующие устройства расположены через 5 м и их координаты кратны 5, спустя 1 с автомобиль пройдёт мимо устройства с координатой \(x = 25\) м. При \(t = 2\) с получаем \(x = 17 + \dfrac{14\cdot 2^2}{2} = 45\) м, т.е. спустя 2 с автомобиль пройдёт мимо устройства с координатой \(x = 45\) м.

Подсказка

Выпишите координаты обоих снарядов в одной системе отсчёта и найдите момент, когда расстояние между ними минимально. Ответ зависит от углов наклона.

Ответ

Для расположения как на рис. а: \(s_{\min} = 500\) м; как на рис. б: \(s_{\min} = \dfrac{L\sqrt{2}}{2} \approx 707\) м; во всех остальных случаях \(s_{\min} = L = 1000\) м.

Решение

Из различных вариантов расположения орудий только в двух случаях, изображённых на рисунках а и б, расстояние между снарядами в процессе движения имеет минимальное значение; во всех остальных случаях расстояние между снарядами увеличивается, и его минимум равен \(L\).

Докажем это для общего случая: начальные скорости снарядов \(v_0\), углы орудий с поверхностью \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\), ускорение свободного падения на Луне \(g\). Уравнения движения снарядов: \[x_1 = v_0\cos\alpha_1\,t,\quad y_1 = v_0\sin\alpha_1\,t - \frac{gt^2}{2},\quad x_2 = v_0\cos\alpha_2\,t + L,\quad y_2 = v_0\sin\alpha_2\,t - \frac{gt^2}{2}.\] Квадрат расстояния между снарядами: \[s^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = 2v_0^2\left[1 - \cos(\alpha_2 - \alpha_1)\right]t^2 + 2Lv_0(\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1)\,t + L^2.\] Минимум квадратичной по \(t\) функции достигается при \[t = \frac{L}{2v_0}\cdot\frac{\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1}{1 - \cos(\alpha_2 - \alpha_1)} = \frac{L}{2v_0}\cdot\frac{\sin\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}}{\sin\frac{\alpha_2 - \alpha_1}{2}}.\] Чтобы минимум достигался в процессе движения, должно быть \(t > 0\), т.е. \(\alpha_2 > \alpha_1\). При этом \[s_{\min} = L\cos\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}.\] Для рис. а: \(\alpha_1 = 15^\circ\), \(\alpha_2 = 180^\circ - \beta = 105^\circ\) (или \(\alpha_1 = 75^\circ\), \(\alpha_2 = 165^\circ\)), \(s_{\min} = L\cos 60^\circ = 500\) м. Для рис. б: \(\alpha_1 = 15^\circ\), \(\alpha_2 = 75^\circ\), \(s_{\min} = L\cos 45^\circ = \dfrac{L\sqrt{2}}{2} \approx 707\) м.

Графический способ. Относительная скорость \(\vec v_{\text{отн}} = \vec v_2 - \vec v_1\) постоянна; минимальное расстояние — длина перпендикуляра, опущенного из точки первого орудия на направление \(\vec v_{\text{отн}}\). Для рис. а угол между \(\vec v_{01}\) и \(\vec v_{02}\) равен \(90^\circ\), треугольник скоростей прямоугольный и равнобедренный, угол \(\theta = 45^\circ\), \(\varphi = \beta - \theta = 30^\circ\) и \(s_{\min} = L\sin\varphi = 500\) м. Для рис. б угол между \(\vec v_{01}\) и \(\vec v_{02}\) равен \(60^\circ\), треугольник равносторонний, \(\theta = 60^\circ\), \(\varphi = 180^\circ - \beta - \theta = 45^\circ\) и \(s_{\min} = L\sin\varphi = \dfrac{L\sqrt{2}}{2} \approx 707\) м.

Во всех остальных случаях \(s_{\min} = L = 1000\) м.

Подсказка

Рассмотрите два предельных случая: тело на грани соскальзывания вниз (сила трения направлена вверх по склону) и на грани движения вверх (трение направлено вниз по склону).

Ответ

\(a = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\,g \approx 3{,}5\) м/с\(^2\).

Решение

Рассмотрим два предельных случая.

1. Тело не скатывается вниз (рис. а): \(mg\sin\alpha - F\cos\alpha - F_{\text{тр}} = 0\), \(N - F\sin\alpha - mg\cos\alpha = 0\), \(F_{\text{тр}} \le \mu N\). Отсюда \[F \ge \frac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} = \frac{mg(\operatorname{tg}\alpha - \mu)}{1 + \mu\operatorname{tg}\alpha}.\] 2. Тело не движется вверх (рис. б): \(mg\sin\alpha - F\cos\alpha + F_{\text{тр}} = 0\), \(N - F\sin\alpha - mg\cos\alpha = 0\), \(F_{\text{тр}} \le \mu N\). Отсюда \[F \le \frac{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{\cos\alpha - \mu\sin\alpha} = \frac{mg(\operatorname{tg}\alpha + \mu)}{1 - \mu\operatorname{tg}\alpha}.\]

3. По условию \(\dfrac13 mg \le F \le 3mg\), поэтому \[\frac{\operatorname{tg}\alpha - \mu}{1 + \mu\operatorname{tg}\alpha} = \frac13, \qquad \frac{\operatorname{tg}\alpha + \mu}{1 - \mu\operatorname{tg}\alpha} = 3.\] Отсюда \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1 + 3\mu}{3 - \mu}\) и \(2\mu^2 + 3\mu - 2 = 0\). Корни \(\mu = \dfrac{-3 \pm 5}{4}\). Так как \(\mu > 0\), то \(\mu = 0{,}5\), \(\operatorname{tg}\alpha = 1\), \(\alpha = 45^\circ\).

4. Если сила \(F\) перестанет действовать, ускорение тела \[a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}\,g \approx 3{,}5~\text{м/с}^2 \quad (g = 10~\text{м/с}^2).\]

Подсказка

Закон сохранения импульса связывает скорости частей, а их кинетические энергии выражаются через массы и скорости.

Ответ

\(\dfrac{m_1}{m_2} = 4\) (или \(\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac14\)).

Решение

Пусть \(m_1\), \(m_2\) — массы, \(v_1\), \(v_2\) — скорости распавшихся частей атома. Закон сохранения импульса для распада неподвижного атома: \[m_1 v_1 = m_2 v_2. \qquad (1)\] Полную кинетическую энергию продуктов распада обозначим \(E\). Тогда кинетическая энергия части массой \(m_1\) равна \(E_1 = \dfrac{m_1 v_1^2}{2} = 0{,}2E\), а части массой \(m_2\) равна \(E_2 = \dfrac{m_2 v_2^2}{2} = 0{,}8E\). Отсюда \[\frac{E_2}{E_1} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_1^2} = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4. \qquad (2)\] Система уравнений (1), (2): \(m_2 v_2^2 = 4\,m_1 v_1^2\), \(m_1 v_1 = m_2 v_2\). Деля первое на второе, получаем \(v_2 = 4v_1\), а затем из (1) \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{v_2}{v_1} = 4\).

Подсказка

Найдите сопротивление \(R_1\) по известным \(U_0\), \(U_2\) и \(I_1\). Затем рассмотрите случай равенства \(R_2 = R_3\) и проверьте его по условию о целочисленности.

Ответ

Значения сопротивлений: \(2\) Ом, \(2\) Ом, \(4\) Ом. В данных условиях определить, какое из сопротивлений \(R_2\) и \(R_3\) равно \(2\) Ом, а какое — \(4\) Ом, нельзя.

Решение

1. Напряжение на резисторе \(R_1\) равно \(U_1 = U_0 - U_2 = 3\) В. Тогда \(R_1 = \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{3}{1{,}5} = 2\) Ом.

2. По условию сопротивления двух резисторов одинаковы. Пусть \(R_2 = R_3\). Тогда токи через них равны \(I_2 = I_3 = \dfrac{I_1}{2} = 0{,}75\) А, а сопротивления \(R_2 = R_3 = \dfrac{U_2}{I_2} = \dfrac{2}{0{,}75} \approx 2{,}67\) Ом. Но по условию все сопротивления имеют целочисленные значения. Значит, \(R_2 \ne R_3\), т.е. только одно из значений \(R_2\) или \(R_3\) равно \(R_1\).

3. Пусть \(R_2 = R_1 = 2\) Ом. Тогда \(I_2 = \dfrac{U_2}{R_2} = \dfrac{2}{2} = 1\) А, \(I_3 = I_1 - I_2 = 1{,}5 - 1 = 0{,}5\) А, и \(R_3 = \dfrac{U_2}{I_3} = \dfrac{2}{0{,}5} = 4\) Ом.

Ученик получил значения сопротивлений резисторов 2 Ом, 2 Ом, 4 Ом. Но какой из резисторов \(R_2\) или \(R_3\) имеет сопротивление 2 Ом, а какой 4 Ом, определить нельзя.