«Шаг в будущее», 2016/17, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Скорость любой точки диска складывается из поступательной скорости центра и скорости вращения вокруг центра. Для точки \(B\) эти два вектора перпендикулярны.

Ответ

\(v_B = \sqrt2\,at = 7\cdot 10^{-2}\) м/с.

Решение

Скорость центра диска (точки \(C\)) через время \(t\) после начала движения равна \(v_C = at\) и определяет скорость поступательного движения диска. Каждая точка на поверхности диска участвует одновременно в двух движениях: поступательном со скоростью \(v_C\) и вращательном со скоростью \(v_{BP}\); при качении без проскальзывания \(v_{BP} = v_C\). Скорость точки \(B\) \[v_B = \sqrt{v_C^2 + v_{BP}^2} = \sqrt2\,at.\]

Используя численные условия задачи, получим \[v_B = \sqrt2\cdot 2{,}5\cdot 2 = 7~\text{см/с} = 7\cdot 10^{-2}~\text{м/с}.\]

Подсказка

Сила Архимеда на груз равна по величине силе, с которой груз давит на воду; учтите, что эта сила передаётся на весы через сосуд.

Ответ

На правую чашу весов нужно положить груз массой \(m = 2\rho V = 2\) кг.

Решение

На правую чашку весов нужно положить груз, масса которого \(m = 2\rho V = 2\) кг, где \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объём груза.

Подсказка

Горизонтальная проекция импульса системы равна нулю, поэтому центр масс движется строго по вертикали; найдите высоту центра масс в начале.

Ответ

\(v = \sqrt{2g\ell}\); перемещение нижнего шарика \(\Delta r = \dfrac23\ell\).

Решение

Центр масс гантельки находится в точке \(C\), расположенной на высоте \(\dfrac23\ell\) от поверхности. После того как гантельку отпустили без начальной скорости, она начала падать. Так как трения нет, центр масс гантельки будет двигаться вниз по вертикали.

Скорость, с которой верхний шарик коснётся горизонтальной поверхности, равна \[v = \sqrt{2g\ell}.\] Величина перемещения нижнего шарика к этому моменту времени равна \[\Delta r = \frac23\,\ell.\]

Подсказка

Система из двух брусков колеблется на пружине как единое целое; найдите максимальное ускорение колебаний и сравните его с максимальным ускорением, которое может создать сила трения покоя.

Ответ

\(\mu \ge \dfrac{\upsilon}{2g}\sqrt{\dfrac km}\).

Решение

При сжатии пружины максимальное ускорение брусков \(a = \upsilon\,\omega\) (1), где \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{3m + m}} = \dfrac12\sqrt{\dfrac km}\) — циклическая частота колебательной системы.

Максимальная величина силы трения покоя, действующей на верхний брусок, \(F_{\text{тр}} = \mu mg\), и, следовательно, ускорение верхнего бруска \(a_1 = \mu g\) (2). Из (1) и (2) следует, что верхний брусок не будет проскальзывать при условии \(a \le a_1\), т.е. \(\upsilon\,\omega \le \mu g\). Откуда \[\mu \ge \frac{\upsilon\,\omega}{g} = \frac{\upsilon}{2g}\sqrt{\frac km}.\]

Подсказка

Баллон теплоизолирован и газы не совершают внешней работы, поэтому полная внутренняя энергия смеси сохраняется. Количество вещества каждого газа найдите из уравнения состояния.

Ответ

\(T = 400\) К.

Решение

Так как баллон теплоизолирован, внутренняя энергия газа остаётся постоянной: \[c_V(\nu_1 + \nu_2)\,T = c_V\nu_1T_1 + c_V\nu_2T_2,\] где \(T\) — температура газа, которая установится в баллоне после открытия клапана. Отсюда \[T = \frac{\nu_1T_1 + \nu_2T_2}{\nu_1 + \nu_2}. \qquad (1)\] Здесь \(\nu_1\) и \(\nu_2\) находим из уравнения состояния идеального газа: \(\nu_1 = \dfrac{p_1V_1}{RT_1}\), \(\nu_2 = \dfrac{p_2V_2}{RT_2}\). Подставляя в (1), получим \[T = \frac{(p_1V_1 + p_2V_2)\,T_1T_2}{p_1V_1T_2 + p_2V_2T_1}.\] Подставляя числовые значения, \[T = \frac{(8\cdot10^5\cdot10^{-3} + 4\cdot10^5\cdot2\cdot10^{-3})\cdot300\cdot600}{8\cdot10^5\cdot10^{-3}\cdot600 + 4\cdot10^5\cdot2\cdot10^{-3}\cdot300} = 400~\text{К}.\]

Подсказка

Теплота отводится только на изохоре, а подводится только на изотерме; через КПД выразите работу на изотерме.

Ответ

\(Q = A_{12} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\nu R\Delta T}{1 - \eta} \approx 10100\) Дж.

Решение

Минимальная температура газа \(T_3\), максимальная \(T_1\) (\(T_1 = T_2\)). КПД по определению \[\eta = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}.\] Тепло в цикле отводится только в изохорном процессе 2–3: \[|Q_2| = \nu c_V\Delta T = \nu\cdot\frac32 R(T_2 - T_3) = \frac32\,\nu R\,\Delta T > 0.\] В данном цикле теплота подводится только на участке 1–2, и её количество \(Q_1\) равно работе газа на изотерме \(A_{12}\). Тогда \[\eta = 1 - \frac{\frac32\nu R\Delta T}{A_{12}}, \quad\text{откуда}\quad A_{12} = \frac{\frac32\,\nu R\Delta T}{1 - \eta}.\]

Подставляя \(\nu = 1\), \(\Delta T = 600\) К, \(\eta = 0{,}26\), получим \[A_{12} = \frac{\frac32\cdot 8{,}31\cdot 600}{1 - 0{,}26} \approx 10107~\text{Дж}.\] Количество теплоты, подводимое к машине за один цикл, равно \(Q_1 = A_{12} \approx 10100\) Дж.

Подсказка

Из силы притяжения пластин найдите напряжение на конденсаторе \(2C\); затем найдите энергию, запасённую в конденсаторах.

Ответ

\(Q = \dfrac32\,Fd\).

Решение

1) Сила притяжения между обкладками конденсатора \(2C\) при напряжении \(U\) на нём \(F = \dfrac{2CU^2}{2d}\), откуда \(\dfrac{U^2}{2} = \dfrac{Fd}{2C}\).

2) Так как \(Q = \dfrac{C_{\text{бат}}U^2}{2}\), где \(C_{\text{бат}} = C + 2C = 3C\), то \[Q = \frac{3C\cdot Fd}{2C} = \frac32\,Fd.\]

Подсказка

Составьте уравнения Кирхгофа для узлов \(c\), \(d\), \(a\) и контуров; сопротивления \(R\) и \(2R\) в ветвях дадут простые соотношения между токами.

Ответ

\(I = \dfrac{E}{7R}\); ток течёт от точки \(b\) к точке \(a\).

Решение

По закону Ома для замкнутой цепи \(I_0 = \dfrac{E}{R_\Sigma}\), где \(R_\Sigma = \dfrac{R}{2} + \dfrac{2R}{3} = \dfrac76 R\), и \(I_0 = \dfrac{6E}{7R}\) (1).

Уравнения Кирхгофа для узла \(c\): \(I_0 = I_1 + I_2\) (2); для контура \(abca\): \(I_1R - I_2R = 0\) (3). Из (2) и (3) получаем \[I_1 = I_2 = \frac{I_0}{2}. \qquad (4)\] Для узла \(d\): \(I_0 = I_3 + I_4\) (5); для контура \(adba\): \(I_3R - I_4\cdot2R = 0\) (6). Из (5) и (6) получаем \[I_3 = \frac23 I_0, \qquad I_4 = \frac13 I_0. \qquad (7)\]

Для узла \(a\): \(I_1 = I + I_3\), где \(I = I_1 - I_3\) (8). Подставляя найденные значения токов (1), (4), (7), находим \[I = \frac{I_0}{2} - \frac23 I_0 = -\frac{I_0}{6} = -\frac{E}{7R}.\] Знак минус означает, что ток течёт от точки \(b\) к точке \(a\).

Подсказка

Заряд равен изменению магнитного потока, делённому на сопротивление контура. Учтите, что поток через большой и малый квадраты меняет знак при повороте.

Ответ

\(q = \dfrac{6a^2B}{R}\).

Решение

\[q = \frac{\Delta\Phi_1 - \Delta\Phi_2}{R} = \frac{S_1 - S_2}{R}\,\Delta B,\] где \(\Delta\Phi_1\) и \(\Delta\Phi_2\) — изменения магнитных потоков через поверхность большого и малого квадратов; \(\Delta B = 2B\). Тогда \[q = \frac{(2a)^2 - a^2}{R}\cdot 2B = \frac{6a^2B}{R}.\]

Подсказка

Ртуть в горизонтальном колене движется по окружности: на неё действует разность давлений на её торцах, которая и создаёт центростремительное ускорение.

Ответ

\(p_2 = p_0 + \rho gH - 4\rho\omega^2R^2\).

Решение

Давление ртути в месте изгиба трубки \(p_1 = p_0 + \rho gH\). Для ртути в вертикальном колене проекция ускорения на вертикальное направление равна нулю. Центр масс ртути в горизонтальном колене (точка \(C\)) находится на расстоянии \(2R\) от оси вращения и имеет центростремительное ускорение \(a = \omega^2\cdot 2R\). Масса ртути в горизонтальном колене \(m = 2RS\rho\), где \(S\) — площадь поперечного сечения трубки.

Запишем второй закон Ньютона для этой массы ртути: \(ma = p_1S - p_2S\), или \[\rho S\cdot 2R\cdot\omega^2\cdot 2R = (p_1 - p_2)S.\] Подставляя в это уравнение выражение для \(p_1\), находим \[p_2 = p_1 - 4\rho\omega^2R^2 = p_0 + \rho gH - 4\rho\omega^2R^2.\]