«Шаг в будущее», 2016/17, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с жуком Б. Что в ней должен делать жук В, чтобы все три жука оставались на одной прямой, и как его скорость пересчитывается обратно в неподвижную систему?

Ответ

Скорость таракана В направлена влево и равна \(2v_1 + 3v_2 = 0{,}8\) см/с.

Решение

Перейдем в систему отсчета, движущуюся со скоростью \(v_2\). В этой системе отсчета жук Б неподвижен, а скорость жука А равна \(v_1 + v_2\) и направлена вправо. Чтобы все три жука находились на одной прямой, скорость жука В в движущейся системе отсчета должна быть равна по модулю \(2(v_1 + v_2)\) и направлена влево.

Тогда в неподвижной системе отсчета скорость таракана В направлена влево и равна \(2v_1 + 3v_2 = 0{,}8\) см/с.

Подсказка

Мощность нагревателя постоянна и в обоих опытах идёт на нагрев добавляемого вещества (во втором — ещё и на плавление льда). Запишите такой баланс мощности для каждого опыта и исключите мощность.

Ответ

\(\theta = 20{,}2\) °С.

Решение

В первом случае мощность нагревателя расходуется на нагрев доливаемой воды, во втором случае – на расплавление и нагрев добавляемого льда. Пусть \(\mu_1\) – скорость изменения массы в первом случае, \(\mu_2\) – скорость изменения массы во втором случае, \(t\) – установившаяся температура в первом случае, \(\theta\) – установившаяся температура во втором случае. Тогда, учитывая, что мощность нагревателя неизменна, получим \[c\mu_1 t = \mu_2(\lambda + c\theta).\]

Решая это уравнение относительно \(\theta\), получим \[\theta = \frac{t - \dfrac{\lambda\mu_2}{c\mu_1}}{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}} = 20{,}2~\text{°С}.\]

Подсказка

Введите одну координату вдоль дороги с началом в перекрёстке и подумайте, при каком взаимном расположении велосипедисты могут оказаться на одинаковом расстоянии от него.

Ответ

Через \(4\) часа.

Решение

Легко убедиться, что требуемое условие может быть выполнено только в том случае, когда велосипедисты будут находиться на равном расстоянии от перекрестка по разные стороны от него (первый велосипедист еще не доедет, а второй – уже проедет перекресток). Выберем начало отсчета на перекрестке, а положительным направлением будем считать направление движения. В этом случае для первого велосипедиста уравнение движения: \[-x = -L_1 + Vt,\] а для второго \[x = -L_2 + Vt.\] Исключая \(x\), получим \[t = \frac{L_1 + L_2}{2V} = 4.\]

Подсказка

Прикиньте, сравнимо ли измеряемое сопротивление с сопротивлениями амперметра и внутренним сопротивлением батарейки; для этого полезно построить ВАХ цепи при разных включениях приборов и резистора.

Решение

В задаче слишком много неизвестных, однако определить неизвестное сопротивление с достаточной точностью можно.

Даже в случае неидеальности измерительных приборов, мы вправе ожидать, что сопротивление вольтметра будет существенно больше внутреннего сопротивления батарейки и амперметра. Это позволит нам построить ряд схем, позволяющих сначала оценить, велико ли измеряемое сопротивление по сравнению с сопротивлениями амперметра и внутренним сопротивлением батарейки, а затем методом вольтметра-амперметра произвести собственно измерение.

Измерение сопротивления основывается на линейности вольт-амперной характеристики электрической цепи, изображенной на схеме.

\[U = \mathcal{E} - Ir.\] Это уравнение связывает э.д.с. батарейки, напряжение на резисторе, ток в цепи и внутреннее сопротивление батарейки. Идея измерений в нашем случае заключается в последовательном использовании в качестве резистора сопротивления измерительных приборов и исследуемого резистора в разных комбинациях включения, построения ВАХ и нахождения на ней точки, по которой можно определить сопротивление резистора.