«Шаг в будущее», 2016/17, заключительный этап, 10 класс

Во время почти мгновенного удара сила реакции пола велика, поэтому удар дает импульс вдоль пола и по вертикали. Сравните изменение горизонтальной и вертикальной компонент импульса через силу трения и нормальную реакцию.

\(\mu=\dfrac{\eta s}{2\sqrt H\left(\sqrt H+\sqrt h\right)}=0{,}1\), где \(\eta=0{,}4\).

Так как при мгновенном ударе сила нормальной реакции \(N\) много больше силы тяжести, то закон изменения импульса в проекциях на вертикальную ось \(y\) и горизонтальную ось \(x\) имеет вид: \[\begin{cases} mv_{2y}-mv_{1y}=N\,\Delta t,\\ mv_{2x}-mv_{1x}=-F_{\text{тр}}\,\Delta t=-\mu N\,\Delta t, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \mu=\frac{v_{1x}-v_{2x}}{v_{2y}-v_{1y}}.\] По условию \(v_{1x}-v_{2x}=\eta v_{1x}\), где \(v_{1x}=\dfrac{s}{t_1}\), \(t_1=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}\). Далее \(v_{1y}=-gt_1=-\sqrt{2gH}\), \(v_{2y}=\sqrt{2gh}\). Отсюда \[\mu=\frac{\eta s}{2\sqrt H\left(\sqrt H+\sqrt h\right)}=0{,}1.\]

Пока груз покоится, сумма проекций сил на вертикаль равна нулю. Сразу после перерезания нормальное ускорение груза по нити равно нулю, так как его скорость в этот момент равна нулю.

\(\alpha=30^\circ\).

Условие равновесия груза, подвешенного на двух стропах: \(mg=2T_1\cos\alpha\). В момент, когда одну из строп перерезают, ускорение груза в проекции на направление второй оси (нормальное ускорение) равно нулю. Тогда в проекции на это направление: \(T_2=mg\cos\alpha\). Решая эту систему, получим \[\alpha=\arccos\sqrt{\frac{T_2}{2T_1}}=30^\circ.\]

Запишите второй закон Ньютона для каждой звезды в виде силы тяготения между ними и условие, что расстояния от центра масс до звёзд в сумме дают \(L\).

Можно найти только массу двойной системы: \(M=m_1+m_2=\dfrac{4\pi^2L^3}{GT^2}\).

Пусть \(m_1\), \(m_2\) — массы звёзд, \(M=m_1+m_2\) — масса системы, \(L\) — расстояние между звёздами, \(x_1\), \(x_2\) — радиусы вращения звёзд, \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\) — угловая скорость вращения звёзд. Тогда \[\begin{cases} G\dfrac{m_1m_2}{L^2}=m_1\omega^2x_1,\\[2mm] G\dfrac{m_1m_2}{L^2}=m_2\omega^2x_2,\\[2mm] x_1+x_2=L. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad x_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2}=\frac{m_2}{M}L,\quad x_2=\frac{m_1}{M}L.\] Отсюда \(\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2=\dfrac{GM}{L^3}\), то есть \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{L^3}{GM}}\). Можно найти только массу системы: \(M=\dfrac{4\pi^2L^3}{GT^2}\).

Считайте число частиц каждого газа с учётом диссоциации: распавшаяся молекула даёт два атома. Уравнение состояния записывайте для всей смеси.

\(p_3=\dfrac{13}{2}\,p\).

Пусть в сосуде объёмом \(V\) находится \(\nu_1\) моль газа \(A\) и \(\nu_2\) моль газа \(B\). Тогда при температуре \(T\) \[p=\frac{RT}{V}\left(\nu_1+\nu_2\right).\] При температуре \(2T\) \[p_2=\frac32\nu_1\cdot\frac{R\cdot2T}{V}+\nu_2\cdot\frac{R\cdot2T}{V}=\frac{RT}{V}\left(3\nu_1+2\nu_2\right),\] при температуре \(4T\) \[p_3=2\nu_1\cdot\frac{R\cdot4T}{V}+\frac32\nu_2\cdot\frac{R\cdot4T}{V}=\frac{RT}{V}\left(8\nu_1+6\nu_2\right).\] Далее подставляем значение давления \(p_2\), решаем полученную систему и находим связь \(\nu_1\) и \(\nu_2\): \[\begin{cases} p=\dfrac{RT}{V}\left(\nu_1+\nu_2\right),\\[2mm] \dfrac94\,p=\dfrac{RT}{V}\left(3\nu_1+2\nu_2\right) \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \nu_2=3\nu_1\ \Rightarrow\ p=4\nu_1\frac{RT}{V}.\] Тогда \(p_3=\dfrac{RT}{V}\left(8\nu_1+6\cdot3\nu_1\right)=26\,\nu_1\dfrac{RT}{V}=\dfrac{13}{2}\,p\).

Оба газа в конце имеют одну температуру. Неон в конце находится при давлении \(p_0\), поэтому его работа определяется изменением его объёма. Запишите уравнение теплового баланса для всей системы без теплообмена с окружением.

\(T=\dfrac{11}{8}\,T_0\).

Из уравнений состояния газов в цилиндре получим \[\begin{cases} p_0\cdot2V_0=\nu_1R\cdot2T_0,\\ p_0V_0=\nu_2RT_0, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \nu_2=\nu_1=\nu.\] Начальная и конечная внутренние энергии: \[U_{\text{нач}}=\frac32\left(\nu R\cdot2T_0+\nu RT_0\right)=\frac32\cdot3\nu RT_0,\qquad U_{\text{кон}}=\frac32\left(\nu RT+\nu RT\right)=\frac32\cdot2\nu RT.\] Здесь \(V\) — конечный объём неона в правом отсеке (в конце его давление равно \(p_0\)), поэтому работа \(A=p_0(V-V_0)=\nu R(T-T_0)\). Так как сосуд теплоизолирован, то \(Q=U_{\text{кон}}-U_{\text{нач}}+A=0\), откуда \(T=\dfrac{11}{8}\,T_0\).