«Шаг в будущее», 2016/17, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сравните, сколько времени тело, брошенное вверх, поднимается и возвращается на ту же высоту, и как это соотносится со временем падения тела, брошенного вниз.

Ответ

\(\tau = 2\dfrac{\upsilon_0}{g} = 1\) с.

Решение

\(\Delta t = 2\dfrac{\upsilon_0}{g} = \dfrac{2\cdot 5}{10} = 1\) с.

Подсказка

До пережигания нити система покоится, значит сумма сил на каждый брусок равна нулю. Сразу после пережигания пружина ещё не успевает изменить длину.

Ответ

\(a = \dfrac{2m+m}{2m}\,g\sin\alpha = \dfrac{3}{4}g\); ускорение брусков массой \(2m\) и \(m\) направлено вдоль наклонной плоскости вниз.

Решение

1) Силу натяжения нити находим из условия равновесия системы: \(T = (2m+m)\,g\sin\alpha = 3mg\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\,mg\).

2) Ускорение бруска массой \(2m\): \(a = \dfrac{(2m+m)\,g\sin\alpha}{2m} = \dfrac{3m}{2m}\,g\sin 30^\circ = \dfrac{3}{4}\,g\).

Ускорение брусков массой \(2m\) и \(m\) направлено вдоль наклонной плоскости вниз.

Подсказка

Используйте закон сохранения механической энергии и то, что грузы вращаются с одинаковой угловой скоростью.

Ответ

\(\upsilon_2 = \sqrt{\dfrac{2gL}{3}}\);  \(\upsilon_1 = 2\sqrt{\dfrac{2gL}{3}}\).

Решение

Пусть скорости грузов в момент прохождения положения равновесия равны \(\upsilon_1\) и \(\upsilon_2\). Тогда, пренебрегая трением, в соответствии с законом сохранения механической энергии запишем: \[\frac{2m\upsilon_1^2}{2} + \frac{m\upsilon_2^2}{2} = 2mg\cdot 2L - mgL. \qquad (1)\] Поскольку угловая скорость \(\omega\) вращения грузов одинакова, то \(\upsilon_1 = 2\omega L\), \(\upsilon_2 = \omega L\), \(\upsilon_1 = 2\upsilon_2\).   (2)

Подставив (2) в (1), получим \[4\upsilon_2^2 + \frac{\upsilon_2^2}{2} = 3gL, \qquad 9\upsilon_2^2 = 6gL.\] Следовательно, искомые скорости равны: \(\upsilon_2 = \sqrt{\dfrac{2gL}{3}}\);  \(\upsilon_1 = 2\sqrt{\dfrac{2gL}{3}}\).

Подсказка

На участке с постоянным объёмом всё тепло идёт на изменение внутренней энергии газа; на участке с постоянным давлением тепло равно \(\frac{5}{2}\nu R\,\Delta T\) для одноатомного газа.

Ответ

\(\dfrac{Q_{12}}{Q_{23}} = 0{,}15\).

Решение

\(Q_{12} = \dfrac{3}{2}\,(2P_0V_0 - P_0V_0) = \dfrac{3}{2}\,P_0V_0\);

\(Q_{23} = \dfrac{5}{2}\,(2P_0\cdot 3V_0 - 2P_0V_0) = 10\,P_0V_0\);

\(\dfrac{Q_{12}}{Q_{23}} = 0{,}15\).

Подсказка

Гелий может переходить в другую часть сосуда, а аргон — нет. Полная внутренняя энергия газов при этом сохраняется, так как сосуд теплоизолирован.

Ответ

\(T = 400\) K.

Решение

1) После установления равновесия в системе температура обеих частей сосуда станет одинаковой и равной \(T\), а гелий равномерно распределится по всему сосуду.

2) Температура в сосуде определяется из закона сохранения энергии: \[U = \frac{3}{2}\nu_{He}RT_{He} + \frac{3}{2}\nu_{Ar}RT_{Ar} = \frac{3}{2}\,(\nu_{He}+\nu_{Ar})\,RT.\] Отсюда \[T = \frac{\nu_{He}T_{He} + \nu_{Ar}T_{Ar}}{\nu_{He}+\nu_{Ar}} = \frac{2\cdot 300 + 1\cdot 600}{3} = \frac{600+600}{3} = 400~\text{K}.\]

Подсказка

Работа поля равна убыли энергии взаимодействия зарядов. Посчитайте энергию системы до и после разрыва нити.

Ответ

\(A = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\).

Решение

Работа сил электрического поля, необходимая для перестройки системы, равна убыли потенциальной энергии взаимодействующих зарядов при изменении конфигурации расположения зарядов: \(A = W_1 - W_2\).

Начальная энергия системы: \(W_1 = k\dfrac{q\cdot q}{a} + k\dfrac{q\cdot 2q}{a} + k\dfrac{2q\cdot q}{a} = 5k\dfrac{q^2}{a}\).

Конечная энергия системы: \(W_2 = k\dfrac{q\cdot q}{a} + k\dfrac{q\cdot 2q}{2a} + k\dfrac{q\cdot 2q}{a} = 4k\dfrac{q^2}{a}\).

\(A = W_1 - W_2 = 5k\dfrac{q^2}{a} - 4k\dfrac{q^2}{a} = k\dfrac{q^2}{a} = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a}\).

Подсказка

Частица движется равномерно и прямолинейно, значит сила, действующая на неё со стороны поля, равна нулю.

Ответ

\(E = \upsilon B\); вектор \(\vec E\) направлен против оси \(z\) (см. рисунок в решении).

Решение

Направления векторов — по рисунку официального решения.

Подсказка

Проведите вспомогательные лучи через оптический центр и фокусы каждой линзы, затем последовательно преломите луч на каждой линзе.

Ответ

Построение дальнейшего хода луча — на рисунке в решении.

Решение

Подсказка

Найдите заряды и энергии конденсаторов до и после замыкания ключа, а также работу батареи; тепло равно разности работы батареи и изменения энергии конденсаторов.

Ответ

\(Q = \dfrac{2}{5}\,CE^2\).

Решение

До замыкания ключа:

1) ёмкость батареи конденсаторов \(C_{бат} = \dfrac{2C\cdot 3C}{2C+3C} = \dfrac{6}{5}\,C\);

2) заряд на батарее конденсаторов \(q_1 = \dfrac{6}{5}\,C\cdot E = \dfrac{6}{5}\,CE\);

3) энергия батареи конденсаторов \(W_1 = \dfrac{C_{бат}E^2}{2} = \dfrac{6CE^2}{5\cdot 2} = \dfrac{3}{5}\,CE^2\).

После замыкания ключа конденсатор \(2C\) зарядится до напряжения \(E\), его заряд станет равным \(q_2 = 2CE\), а энергия \(W_2 = CE^2\).

Работа батареи источника тока \(A = E(q_2 - q_1) = E\left(2CE - \dfrac{6}{5}CE\right) = \dfrac{4}{5}\,CE^2\).

Количество тепла, которое выделится на резисторе после замыкания ключа \(K\): \(Q = A - (W_2 - W_1) = \dfrac{4}{5}CE^2 - \left(CE^2 - \dfrac{3}{5}CE^2\right) = \dfrac{2}{5}\,CE^2\).

Подсказка

Запишите закон сохранения энергии для столба жидкости в вертикальной части трубки и продифференцируйте его по времени.

Ответ

\(\tau = \dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{L}{g}}\).

Решение

Воспользуемся законом сохранения энергии \(W_0 = W_{кин} + W_{пот} = \text{const}\). Начальная потенциальная энергия столба жидкости длины \(L\) равна кинетической энергии жидкости плюс потенциальной энергии столба жидкости длины \(x\): \[mg\,\frac{L}{2} = \frac{m\dot x^2}{2} + \frac{m}{L}\,x\,\frac{x}{2}\,g. \qquad (1)\] Так как \(\dfrac{dW_0}{dt} = 0\), то, продифференцировав выражение (1) по времени, получим \[\frac{m}{2}\cdot 2\dot x\ddot x + \frac{m}{L}\,g\,x\dot x = 0. \qquad (2)\] Учитывая, что \(\dfrac{dx}{dt} \neq 0\), получим: \[\ddot x + \frac{g}{L}\,x = 0. \qquad (3)\] Итак, вытекание жидкости удовлетворяет уравнению гармонических колебаний с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}. \qquad (4)\] Время вытекания жидкости из наполненной вертикальной части трубки \[\tau = \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{L}{g}}.\]