«Шаг в будущее», 2016/17, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Для почти мгновенного удара запишите изменение импульса мяча отдельно по горизонтальной и вертикальной осям; сила трения связана с силой реакции опоры.

Ответ

\(\mu = \dfrac{2\left(\dfrac{s_1}{t_1} - \dfrac{s_2}{t_2}\right)}{g(t_1 + t_2)} = 0{,}2\).

Решение

Т.к. при мгновенном ударе сила нормальной реакции \(N\) много больше силы тяжести, то закон изменения импульса в проекциях на вертикальную ось \(y\) и горизонтальную ось \(x\) имеет вид: \[\begin{cases} m\upsilon_{2y} - m\upsilon_{1y} = N\,\Delta t,\\ m\upsilon_{2x} - m\upsilon_{1x} = -F_{тр}\,\Delta t = -\mu N\,\Delta t, \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \mu = \frac{\upsilon_{1x} - \upsilon_{2x}}{\upsilon_{2y} - \upsilon_{1y}}.\] Воспользуемся данными задачи: \[\upsilon_{1x} = \frac{s_1}{t_1}, \quad \upsilon_{2x} = \frac{s_2}{t_2}, \quad \upsilon_{1y} = -g\frac{t_1}{2}, \quad \upsilon_{2y} = g\frac{t_2}{2}.\] Высота подъёма \(h_1 = \dfrac{g\left(t_1/2\right)^2}{2} = \dfrac{gt_1^2}{8}\), откуда \(t_1 = \sqrt{\dfrac{8h_1}{g}}\). Аналогично \(t_2 = \sqrt{\dfrac{8h_2}{g}}\). Тогда \[\mu = \frac{2\left(\dfrac{s_1}{t_1} - \dfrac{s_2}{t_2}\right)}{g(t_1 + t_2)} = 0{,}2.\]

Подсказка

Сразу после отпускания левого кольца нормальное (центростремительное) ускорение гимнаста вдоль правого каната равно нулю.

Ответ

\(\dfrac{T_2}{T_1} = 2\cos^2\alpha = 1{,}5\).

Решение

Условие равновесия гимнаста на двух кольцах: \(mg = 2T_1\cos\alpha\). В момент, когда гимнаст отпускает левое кольцо, его ускорение в проекции на направление правого каната (нормальное ускорение) равно нулю. Тогда в проекции на это направление: \(T_2 = mg\cos\alpha\). Решая эту систему, получим \[\frac{T_2}{T_1} = 2\cos^2\alpha = 1{,}5.\]

Подсказка

Сравните массу Земли с массой Солнца в обоих случаях. Если масса Земли мала, Солнце практически неподвижно; если они равны, оба тела вращаются вокруг общего центра масс.

Ответ

1) продолжительность года не изменилась;  2) \(T = \dfrac{T_0}{\sqrt{2}} \approx 258\) дней.

Решение

Будем пренебрегать массами других планет солнечной системы и считать, что орбита Земли круговая.

1. Т.к. масса Земли \(M_3\) много меньше массы Солнца \(M_C\): \(M_3 \ll M_C\), и Земля вращается вокруг неподвижного Солнца с периодом \(T_0 = 365{,}25\) дней, который можно рассчитать так: \[M_3\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 L = G\frac{M_3M_C}{L^2}, \quad\Rightarrow\quad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{GM_C}},\] где \(L\) — расстояние от Земли до Солнца. Период обращения Земли вокруг Солнца не изменится, т.к. при условии \(M_3 \ll M_C\) он не зависит от массы Земли.

2. Если масса Земли становится сопоставимой с массой Солнца, то притяжение Землей Солнца приведёт к движению последнего, и уже нельзя считать Солнце неподвижным. В этом случае следует учитывать, что Солнце и Земля представляют собой двойную систему и вращаются вокруг общего центра масс, который уже не находится в центре Солнца. Если бы масса Земли стала равной массе Солнца: \(M_3 = M_C = M\), то центр масс такой системы оказался бы посредине между Землёй и Солнцем. Тогда период вращения Земли следует рассчитывать по формуле: \[M\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{L}{2} = G\frac{M^2}{L^2}, \quad\Rightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{2GM}}.\] Ответ: (\(M = M_C\)) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L^3}{2GM_C}} = \dfrac{T_0}{\sqrt{2}} = 258\) дней.

Подсказка

Учитывайте, какие газы остаются в каждой части сосуда после реакции, и применяйте закон Дальтона для парциальных давлений.

Ответ

\(\dfrac{p_{лев}}{p_{пр}} = \dfrac{7}{3}\).

Решение

1. Пусть первоначально в сосуде, объём которого обозначим \(V\), было \(\nu\) моль кислорода \(\mathrm{O_2}\). Значит, \(\dfrac{\nu}{2}\) моль кислорода превратилось в озон \(\mathrm{O_3}\).

2. Т.к. из трёх молекул кислорода получается 2 молекулы озона, то после установления равновесия в сосуде и выравнивания температур в нём будет:

кислорода \(\mathrm{O_2}\) — \(\dfrac{\nu}{2}\) моль, который занимает весь объём сосуда \(V\);

озона \(\mathrm{O_3}\) — \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\nu}{2} = \dfrac{\nu}{3}\) моль, занимающий объём \(\dfrac{V}{2}\) в левой части сосуда.

3. Пусть установившаяся температура в сосуде \(T\). Парциальные давления кислорода \(p_к\) и озона \(p_о\) найдём из уравнений состояния: \[p_к V = \frac{\nu}{2}RT \quad\Rightarrow\quad p_к = \frac{\nu RT}{2V}, \qquad (1)\] \[p_о\frac{V}{2} = \frac{\nu}{3}RT \quad\Rightarrow\quad p_о = \frac{2\nu RT}{3V}. \qquad (2)\] 4. Давление в левой части сосуда \[p_{лев} = p_к + p_о = \frac{\nu RT}{2V} + \frac{2\nu RT}{3V} = \frac{7\nu RT}{6V}, \qquad (3)\] в правой части \[p_{пр} = p_к = \frac{\nu RT}{2V}. \qquad (4)\] 5. Отношение давлений \[\frac{p_{лев}}{p_{пр}} = \frac{7}{3}. \qquad (5)\]

Подсказка

Запишите первое начало термодинамики для теплоизолированного газа и выразите работу газа через подъём груза и поршня, учитывая условия равновесия поршня до и после.

Ответ

\(h = \dfrac{H}{5}\).

Решение

1. Начальное состояние: \(U_{нач} = \dfrac{3}{2}\nu RT = \dfrac{3}{2}pV\), где \(V = HS\), \(pS = Mg\) (условие равновесия поршня).

2. Конечное состояние: \(U_{кон} = \dfrac{3}{2}\nu RT_к = \dfrac{3}{2}p_кV_к\), где \(V_к = (H-h)S\), \(p_кS = (M+m)g\) (условие равновесия поршня).

Внешние силы совершают положительную работу \(A' = (M+m)gh\), соответственно работа гелия \[A = -A' = -(M+m)gh = -p_{кон}Sh.\] 3. Т.к. цилиндр теплоизолирован, то \(Q = U_{кон} - U_{нач} + A = 0\), откуда \[3mgH = 5(M+m)h.\] При \(m = \dfrac{M}{2}\) получаем \(h = \dfrac{H}{5}\).