«Шаг в будущее», 2016/17, заключительный этап, 9 класс

Запишите условие плавания бруска в каждой жидкости: сила тяжести равна силе Архимеда, и учтите, какая часть бруска находится над поверхностью.

\(\rho = 900\) кг/м\(^3\).

В обоих случаях выполняется условие равновесия: \[\rho g S l = \rho_в g S (l - x) = \rho_м g S (l - x + h).\] Здесь \(x\) — длина выступающей из жидкости части. Решая эти уравнения, получим \[\rho = \frac{\rho_в\rho_м}{\rho_в - \rho_м}\cdot\frac{h}{l} = 900~\text{кг/м}^3.\]

Сначала найдите максимальную силу трения покоя и определите, в какой момент брусок тронется с места. Дальше удобно воспользоваться графиком ускорения.

\(\upsilon = 80\) м/с.

Максимальная сила трения покоя равна \(F_{тр.м} = \mu N = \mu mg = 0{,}3\cdot 10\cdot 10 = 30\) Н. Так как сила нарастала со скоростью \(\Delta F/\Delta t = 30/120 = 0{,}25\) Н/с, то в течение 40 с брусок не двигался. Далее сила трения оставалась постоянной и равной 30 Н, а сила тяги нарастала и увеличивала ускорение бруска. Т.е. имеем дело с неравноускоренным движением. Равнодействующая сил будет равна разности сил тяги \(T\) и силы трения \(F_{тр}\): \[R = T(t) - F_{тр},\] Можно построить график зависимости ускорения \(a = R/m\) от времени. Тогда площадь, ограниченная графиком, определяет изменение скорости бруска: \[\upsilon - \upsilon_0 = \frac{a - a_0}{2}\,(t - t_0) = 80~\text{м/с}.\]

Коэффициент трения пальцев о стакан найдите из движения по гладкой поверхности: там сила трения создаёт ускорение стакана.

\(M = 0{,}1\) кг.

Пусть коэффициент трения пальцев о стакан равен \(\mu\). В случае, когда мы тянем стакан по гладкой горизонтальной поверхности, по второму закону Ньютона имеем: \[\mu F_1 = m_1 a_1 = m_1\frac{V_1}{\tau}.\] При подъёме стакана вверх уравнение динамики движения имеет вид: \[\mu F_1 - (m+M)g = (m+M)a_2.\] Подставляя значения \(\mu F_1\) и \(a_2\), получим \[m_1\frac{V_1}{\tau} - (m+M)g = (m+M)\frac{V_m}{\tau}.\] Масса груза равна \[M = \frac{m\left(\frac{V_1}{\tau} - g - \frac{V_m}{\tau}\right)}{g + \frac{V_m}{\tau}} = 0{,}1~\text{кг}.\]

Сопротивление проволоки обратно пропорционально площади её сечения, а токи в параллельных ветвях обратно пропорциональны сопротивлениям.

\(I_{max} = 6{,}25\) А.

Т.к. сопротивление проволоки обратно пропорционально площади её поперечного сечения \(R = \rho\dfrac{l}{S} = \rho\dfrac{l}{\pi d^2/4}\), то \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = 4. \qquad (1)\] Пусть \(I\) — сила тока в цепи, \(i_1\) и \(i_2\) — силы токов через тонкую и толстую проволоки (см. рисунок). Тогда \[I = i_1 + i_2, \qquad (2)\] \[i_1R_1 = i_2R_2. \qquad (3)\]

Допустим, через толстую проволоку сопротивлением \(R_2\) течёт максимальный ток \(i_2 = I_2 = 5\) А, тогда сила тока через тонкую проволоку \[i_1 = i_2\frac{R_2}{R_1} = \frac{I_2}{4} = 1{,}25~\text{А} < I_1 = 1{,}8~\text{А}.\] Значит, тонкая проволока не перегорит, и максимальный ток в цепи \[I_{max} = i_1 + I_2 = 1{,}25 + 5 = 6{,}25~\text{А}.\]

Сначала выясните, растает ли весь лёд, используя уравнение теплового баланса. Затем сравните среднюю плотность оставшейся льдинки со шариком с плотностью воды.

Льдинка не утонет.

Для ответа на заданный вопрос нужно решить, какова средняя плотность льда и шарика после установления теплового равновесия. Уравнение теплового баланса запишем из условия, что лёд растает не весь лёд: \[m_в c_в (t_в - \theta) = \Delta m_л\,\lambda.\] Тогда \[\Delta m_л = \frac{m_в c_в (t_в - \theta)}{\lambda} \approx 0{,}51~\text{кг}.\] Этот расчёт подтверждает наше предположение о том, что растаял не весь лёд.

Условие плавания оставшейся льдинки: \[(m_л - \Delta m_л) + m_с = \rho_в\left(\frac{\Delta m_л}{\rho_л} + \frac{m_с}{\rho_с}\right).\] Проведя вычисления, получим, что льдинка не утонет.