«Шаг в будущее», 2017/18, отборочный этап, 11 класс

Движение снаряда вдоль ствола и его вращение происходят в одно и то же время \(\tau\). Выразите \(\tau\) через длину ствола и скорость, а угол поворота — через угловую скорость.

\(\omega_{\max} = \dfrac{2\pi n\,\upsilon_{\max}}{\ell} \approx 2\cdot 10^3\) рад/с.

Для равноускоренного движения снаряда \(\ell = \tfrac{1}{2}\upsilon_{\max}\tau\), откуда \(\tau = \dfrac{2\ell}{\upsilon_{\max}}\). Для вращательного движения снаряда \(\varphi = \tfrac{1}{2}\omega_{\max}\tau\), откуда \(\omega_{\max} = \dfrac{2\varphi}{\tau}\), где \(\varphi = 2\pi n\). Из полученных соотношений \(\omega_{\max} = \dfrac{2\pi n\,\upsilon_{\max}}{\ell} \approx 2\cdot 10^3\) рад/с.

Из условия горизонтального полёта найдите силу, действующую на крыло перпендикулярно его плоскости. Её горизонтальная составляющая сообщает самолёту центростремительное ускорение.

\(R = \dfrac{\upsilon^2}{g\,\mathrm{tg}\,\alpha} \approx 3892\) м.

Из условия горизонтальности полёта \(F\cos\alpha = mg\), откуда \(F = \dfrac{mg}{\cos\alpha}\) — сила, действующая на крылья самолёта перпендикулярно их плоскости. Второй закон Ньютона для движения по окружности радиуса \(R\): \(\dfrac{m\upsilon^2}{R} = F\sin\alpha\). Отсюда \[\frac{m\upsilon^2}{R} = \frac{mg}{\cos\alpha}\sin\alpha = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha, \qquad R = \frac{\upsilon^2}{g\,\mathrm{tg}\,\alpha},\] при \(\upsilon = 150\) м/с и \(g = 10\) м/с\(^2\) получаем \(R \approx 3892\) м.

Звёзды вращаются вокруг общего центра масс с одинаковым периодом. Гравитационная сила между ними сообщает каждой центростремительное ускорение; расстояние между звёздами равно сумме радиусов орбит.

\(T = 2\pi\ell\sqrt{\dfrac{\ell}{3mG}}\).

После удара груз на столе останавливается, а груз на блоке движется дальше. Используйте закон сохранения энергии для движения до удара и после него, учитывая связь скоростей через нить.

\(H = \dfrac{\upsilon_0^2}{2g} + \dfrac{\ell}{10}\).

Используя закон сохранения энергии, получим \[H = \frac{\ell}{2} + \frac{\upsilon^2}{2g} = \frac{\upsilon_0^2}{2g} + \frac{\ell}{10},\] где \(\upsilon\) — скорость груза массы \(m\) в момент удара о стенку.

Удар абсолютно неупругий, пули слипаются. Запишите закон сохранения импульса в векторном виде: импульсы пуль образуют прямой угол, поэтому суммарный импульс находится по теореме Пифагора.

\(Q = \dfrac{m\upsilon^2}{2}\).

По закону сохранения импульса \(\vec p_1 + \vec p_2 = \vec p\), где \(p_1 = p_2 = m\upsilon\), \(p = 2mu\). Тогда \[2mu = \sqrt{(m\upsilon)^2 + (m\upsilon)^2} = m\upsilon\sqrt{2}, \qquad u = \frac{\upsilon\sqrt{2}}{2}.\] Суммарная кинетическая энергия до удара \(E_1 = \dfrac{m\upsilon^2}{2} + \dfrac{m\upsilon^2}{2} = m\upsilon^2\), после удара \(E_2 = \dfrac{2m}{2}u^2 = \dfrac{m\upsilon^2}{2}\). Количество теплоты \(Q = E_1 - E_2 = \dfrac{m\upsilon^2}{2}\).

КПД цикла Карно выражается через температуры нагревателя и холодильника. Работа газа при адиабатическом расширении одноатомного газа равна убыли его внутренней энергии \(\tfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T\).

\(T_1 = \dfrac{2A}{3R\eta}\).

\(E = \dfrac{3q}{16\pi\varepsilon_0 R^2}\); вектор \(\vec E\) направлен от центра шара.

\(E = \upsilon B\); вектор \(\vec E\) параллелен оси \(z\) (направление — по рисунку официального решения).

Направление вектора \(\vec E\) — по рисунку официального решения.

\(R_x = 10\) Ом; \(P_{\max} = 250\) Вт.

\(B_{\max} = \dfrac{\sigma_{\max} S}{I R}\).