«Шаг в будущее», 2017/18, отборочный этап, 8 класс

Объём ртути в капилляре равен разности её объёмов при \(42^\circ\)C и \(35^\circ\)C. Этот объём занимает участок капилляра длиной 5 см.

\(S \approx 0{,}0037\) мм\(^2\).

Изменение объёма ртути при нагревании от \(35^\circ\)C до \(42^\circ\)C: \[\Delta V = \frac{2}{13{,}6} - \frac{2}{13{,}6 \cdot 1{,}00125} \approx 0{,}0001835~\text{см}^3 .\] С другой стороны, этот объём занимает в капилляре участок длиной 5 см: \(5~\text{см} \cdot S = \Delta V\). Отсюда \[S = \frac{0{,}0001835}{5}~\text{см}^2 \approx 0{,}000037~\text{см}^2 = 0{,}0037~\text{мм}^2 .\]

Подъёмная сила равна силе Архимеда минус сила тяжести газа внутри шара. Объём шара одинаков, поэтому важны только плотности газов и воздуха.

\(k \approx 1{,}08\).

Подъёмная сила воздушного шара равна разности силы Архимеда и силы тяжести: \[k = \frac{\rho_{\text{возд}} gV - \rho_{\text{водорода}} gV}{\rho_{\text{возд}} gV - \rho_{\text{гелия}} gV} = \frac{1{,}293 - 0{,}09}{1{,}293 - 0{,}18} = 1{,}08 .\]

Граничные случаи: минимум пара нужен, когда лёд только нагрелся до \(0^\circ\)C и почти не растаял; максимум — когда лёд почти весь растаял, но вода ещё не замерзает. Запишите уравнение теплового баланса для каждого случая.

От \(7\) г до \(132\) г.

Минимальное количество пара соответствует случаю, когда лёд нагревается до \(0^\circ\)C, но почти не тает, а пар полностью конденсируется, остывает до \(0^\circ\)C и кристаллизуется. Тогда \[Q_{\min} = c_{\text{льда}}\, m_{\text{льда}}\, \Delta T_1 = 21~\text{кДж}, \qquad \Delta T_1 = 10^\circ\text{C},\] \[Q_{\min} = \bigl(L + \lambda + c_{\text{воды}}\, \Delta T_2\bigr)\, m_{\min}, \qquad \Delta T_2 = 100^\circ\text{C},\] откуда \(m_{\min} = \dfrac{c_{\text{льда}}\, m_{\text{льда}}\, \Delta T_1}{L + \lambda + c_{\text{воды}}\, \Delta T_2} \approx 7\) г.

Максимальное количество пара соответствует случаю, когда лёд почти полностью растаял, а пар сконденсировался и остыл, но не начал кристаллизоваться. Тогда тепла, отданного лёду, хватает на нагрев до \(0^\circ\)C и плавление: \[Q_{\max} = c_{\text{льда}}\, m_{\text{льда}}\, \Delta T_1 + \lambda m_{\text{льда}} = 356~\text{кДж},\] а пар отдаёт тепло \(Q_{\max} = \bigl(L + c_{\text{воды}}\, \Delta T_2\bigr)\, m_{\max}\), откуда \(m_{\max} = \dfrac{c_{\text{льда}}\, m_{\text{льда}}\, \Delta T_1 + \lambda m_{\text{льда}}}{L + c_{\text{воды}}\, \Delta T_2} \approx 132\) г.

Итак, масса пара лежит в пределах от 7 г до 132 г.

Мощность теплопередачи пропорциональна разности температур. Запишите два условия (до похолодания и после) и отношение мощностей; затем повторите рассуждение для прежней частоты дров.

Температура на улице при похолодании \(-25^\circ\)C; при прежней частоте дров в доме установилась бы \(5^\circ\)C.

Пусть \(t\) — температура воздуха на улице до похолодания, \(T = 20^\circ\)C — температура в доме, \(P\) — мощность теплопередачи. По условию \[P = \alpha (T - t).\] После похолодания при частоте подкладывания дров в 1,5 раза большей мощность нагрева равна \(1{,}5P\), и \[1{,}5P = \alpha \bigl(T - (t - \Delta t)\bigr), \qquad \Delta t = 15^\circ\text{C}.\] Разделив одно уравнение на другое, получаем \(t - \Delta t = T - 3\Delta t = -25^\circ\)C.

Если бы дрова подкладывали с прежней частотой, то мощность нагрева была бы \(\tfrac{2}{3}\cdot 1{,}5P\), и \[\tfrac{2}{3}\bigl(T - (t - \Delta t)\bigr) = T_0 - (t - \Delta t),\] откуда \(T_0 = 5^\circ\)C.

По графику движения найдите, с какой скоростью и сколько времени едет автобус на каждом участке, затем путь на каждом участке. По первому графику найдите расход на 1 км при этой скорости.

Да, получится: автобус израсходует \(\tfrac{70}{3}\) л, что меньше 25 л.

На первом участке скорость автобуса \(80\) км/ч, на втором — \(20\) км/ч. По первому графику расход топлива при скоростях \(20\) км/ч и \(80\) км/ч: \(\tfrac{11}{60}\) л/км и \(\tfrac{13}{60}\) л/км.

Со скоростью 80 км/ч автобус проехал 80 км и истратил \(V_1 = \tfrac{11}{60}\cdot 80 = \tfrac{44}{3}\) л. Со скоростью 20 км/ч он проехал 40 км и истратил \(V_2 = \tfrac{13}{60}\cdot 40 = \tfrac{26}{3}\) л. Всего израсходовано \(\tfrac{70}{3}\) л, что меньше 25 л. Топлива хватит на проезд до пункта назначения без дозаправки.