«Шаг в будущее», 2017/18, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Теплоёмкость сосуда с водой неизвестна, но она одинакова в обоих опытах. Запишите баланс тепла для первого опыта, затем для второго, и исключите теплоёмкость сосуда.

Ответ

\(t_{г2} = 120\) °С.

Решение

Обозначим теплоёмкость сосуда с водой как \(C\), теплоёмкость одного тела как \(C_{тела}\), его начальную температуру как \(t_г\), начальную температуру воды как \(t_х\), температуру воды после первого опыта как \(\theta_1\), после второго как \(\theta_2\), \(\theta_1 = 30\) °С, \(\theta_2 = 39\) °С.

Уравнение теплового баланса для первого процесса: \[C_{тела}\,(t_г - \theta_1) = C\,(\theta_1 - t_х).\]

Уравнение теплового баланса для второго процесса (тело с температурой \(t_{г2}\) добавлено к первому телу): \[C_{тела}\,(t_г - \theta_2) + C_{тела}\,(t_{г2} - \theta_2) = C\,(\theta_2 - t_х).\]

Решая систему относительно \(t_{г2}\), получаем \[t_{г2} = \frac{(t_г - \theta_1)(\theta_2 - t_х) - (\theta_1 - t_х)(t_г - 2\theta_2)}{\theta_1 - t_х} = 120~\text{°С}.\]

Подсказка

Нить, перекинутая через неподвижный блок и подвижный блок, тянет рычаг с силой, которую нужно выразить через \(m\). Запишите правило моментов относительно опоры.

Ответ

\(m = \dfrac{F}{2g}\).

Решение

Пусть длина участка между двумя соседними делениями равна \(L\). Нить, переброшенная через систему блоков слева от опоры рычага, действует на рычаг с силой \(mg/2\). Сила, действующая на рычаг со стороны нити, за которую тянут с силой \(F\), также равна \(F\).

Условие равновесия рычага (моменты сил относительно опоры): \[3LF + 4L\,\frac{mg}{2} - 2L\cdot 4mg = 0,\] откуда \[m = \frac{F}{2g}.\]

Подсказка

Масса вытекшего масла равна массе масла, вытесненного камешком. Сравните это с приращением массы сосуда.

Ответ

\(m_к = 50\) г.

Решение

Объём вытекшего масла равен объёму камешка \(V_к\). Масса вытекшего масла \(\Delta m_м = \rho_м V_к\). Масса сосуда с камешком увеличилась на \[\Delta M = \rho_к V_к - \rho_м V_к,\] откуда \(V_к = \dfrac{\Delta M}{\rho_к - \rho_м}\). Масса камешка \[m_к = \rho_к V_к = \frac{\Delta M\,\rho_к}{\rho_к - \rho_м} = \frac{32\cdot 2{,}5}{2{,}5 - 0{,}9}~\text{г} = 50~\text{г}.\]

Подсказка

Сопротивление каждой лампы найдите из её номинальной мощности и напряжения, при котором она горит. Новую лампу и остальные пять учтите в одном последовательном сопротивлении.

Ответ

Мощность уменьшится примерно на \(27{,}2\) Вт.

Решение

Сопротивление каждой лампы в первом случае: \(R_1 = \dfrac{(U/6)^2}{P_1} = \dfrac{U^2}{36P_1}\). Сопротивление лампы, идущей на замену: \(R_2 = \dfrac{U_л^2}{P_2}\).

Новая мощность цепи: \[P = \frac{U^2}{5R_1 + R_2} = \frac{36P_1P_2}{5P_2 + P_1\left(\dfrac{6U_л}{U}\right)^2}.\]

Изменение потребляемой мощности относительно \(6P_1\): \[\Delta P = \frac{36P_1P_2}{5P_2 + P_1\left(\dfrac{6U_л}{U}\right)^2} - 6P_1 \approx -27{,}2~\text{Вт}.\] Потребляемая мощность уменьшится.

Подсказка

Выразите расстояния до изображения через расстояния до предмета по заданному увеличению. Затем запишите формулу тонкой линзы для двух положений предмета.

Ответ

\(F = 6\) см.

Решение

Линза собирающая. Из условия следует, что расстояние от линзы до изображения в два раза больше расстояния от линзы до предмета в первом случае (\(f_1 = 2d_1\)) и в три раза — во втором (\(f_2 = 3d_2\)). Формула тонкой линзы для обоих случаев: \[\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}, \qquad \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}.\] По условию \(d_1 - d_2 = \Delta = 1\) см. Решая систему, получаем \(F = 6\Delta = 6\) см.