«Шаг в будущее», 2017/18, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Невесомость — это свободный полёт после выключения двигателей. Разбейте подъём на два участка: разгон с ускорением \(a\) и полёт с ускорением \(g\) до верхней точки.

Ответ

\(\tau = \sqrt{\dfrac{2aH}{g(g+a)}} = 40\) с.

Решение

Пусть \(t_1\) — время работы двигателей, \(\tau\) — время свободного полёта (невесомости) до верхней точки. На участке разгона \(h_1 = \dfrac{at_1^2}{2}\), скорость \(v_1 = at_1\). В верхней точке скорость обращается в ноль: \[v_2 = v_1 - g\tau = at_1 - g\tau = 0 \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{g\tau}{a}.\] Высота подъёма \[H = h_1 + v_1\tau - \frac{g\tau^2}{2} = \frac{g^2\tau^2}{2a} + g\tau^2 - \frac{g\tau^2}{2} = \frac{g(g+a)}{2a}\,\tau^2,\] откуда \[\tau = \sqrt{\frac{2aH}{g(g+a)}} = \sqrt{\frac{2\cdot 40\cdot 10^4}{10\cdot 50}} = 40~\text{с}.\]

Подсказка

Импульс системы меняется только под действием силы тяжести, поэтому его горизонтальная составляющая постоянна. Центр масс движется как брошенное тело с начальной вертикальной скоростью, которую найдите из начальных импульсов.

Ответ

\(p = \dfrac{9\sqrt{2}}{2}\,mv\).

Решение

В произвольный момент импульс системы \(\vec p = (m_1+m_2)\vec v_{0\text{цм}} + (m_1+m_2)\vec g\,t\). По горизонтальной оси импульс сохраняется: \(p_x = m_2 v_2 = 6mv\). Вертикальная начальная скорость центра масс \(v_{0\text{цм}} = \dfrac{m_1 v_1}{m_1+m_2} = \dfrac{3}{5}v\). Максимальная высота центра масс \(H_{\text{м}} = \dfrac{v_{0\text{цм}}^2}{2g}\), половина этой высоты достигается в моменты \(t_{1,2} = \dfrac{v_{0\text{цм}}}{g}\left(1 \mp \dfrac{\sqrt2}{2}\right)\) (до и после верхней точки).

В момент \(t_1\) вертикальный импульс системы \[p_{y1} = m_1 v_1 - (m_1+m_2)\,v_{0\text{цм}}\left(1 - \frac{\sqrt2}{2}\right) = m_1 v_1\,\frac{\sqrt2}{2}.\] Модуль импульса \[p = \sqrt{p_x^2 + p_{y1}^2} = \sqrt{(m_2v_2)^2 + \tfrac12 (m_1v_1)^2} = \sqrt{(6mv)^2 + \tfrac12 (3mv)^2} = \frac{9\sqrt2}{2}\,mv.\] При повторном прохождении высоты \(h_1\) скорость центра масс имеет ту же величину, поэтому модуль импульса тот же.

Подсказка

Выделите мысленно сектор окружности с малым углом \(2\alpha\) и запишите условие равновесия для его граничного участка: с одной стороны — натяжение резины, с другой — сила плёнки, действующая по дуге.

Ответ

\(R = \dfrac{L_0 E S}{2\pi E S - 2\sigma L_0}\).

Решение

Вырежем сектор, опирающийся на угол \(2\alpha\), и приложим силы, действующие на участок кольца: натяжения \(\vec T_1\) и \(\vec T_2\) резины и силу \(\vec F_{\text{н}}\) со стороны плёнки. Условие равновесия \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec F_{\text{н}} = 0\). По оси \(x\): \(T_1 = T_2 = T_{12}\). По оси \(y\): \(F_{\text{н}} = 2T_{12}\sin\alpha \approx 2T_{12}\alpha\) (угол мал).

Плёнка двусторонняя, длина дуги сектора \(\Delta l = 2\alpha R\), поэтому \[F_{\text{н}} = 2\sigma\,\Delta l = 4\sigma\alpha R.\] По закону Гука для резины, растянутой с длины \(L_0\) до \(2\pi R\): \[T_{12} = ES\,\frac{2\pi R - L_0}{L_0}.\] Приравниваем: \[4\sigma\alpha R = 2\alpha\,\frac{ES(2\pi R - L_0)}{L_0} \quad\Rightarrow\quad 2\sigma R L_0 = 2\pi R E S - L_0 E S,\] откуда \[R = \frac{L_0 E S}{2\pi E S - 2\sigma L_0}.\]

Подсказка

Пока вентиль открыт, давление в баллоне равно атмосферному. Сравните состояние газа в баллоне сразу после нагрева и после остывания до начальной температуры, учитывая, что часть газа ушла наружу.

Ответ

\(\Delta T = \left(\dfrac{P_0}{P} - 1\right)T_0 \approx 121\) К.

Решение

Запишем уравнение Клапейрона–Менделеева в начале процесса: \(P_0 V = \nu_0 R T_0\). После нагрева при открытом вентиле до температуры \(T_1 = T_0 + \Delta T\) газ в баллоне находится при давлении \(P_0\): \(P_0 V = \nu_1 R T_1\). В конце, после остывания до \(T_0\), давление \(P\): \(P V = \nu_1 R T_0\).

Разделив последнее уравнение на предыдущее, получаем \[\frac{P}{P_0} = \frac{T_0}{T_0 + \Delta T} \quad\Rightarrow\quad \Delta T = \left(\frac{P_0}{P} - 1\right)T_0.\] Подставляя \(T_0 = 283\) К, \(P_0 = 10^5\) Па, \(P = 0{,}7\cdot 10^5\) Па: \[\Delta T = \left(\frac{10^5}{0{,}7\cdot 10^5} - 1\right)283~\text{К} \approx 121~\text{К}.\]

Подсказка

Найдите, как давление газа связано с объёмом, когда поршень движется (силу пружины запишите через смещение поршня). Затем примените первый закон термодинамики к процессу, в котором сначала газ нагревается при постоянном объёме, а потом поршень поднимается.

Ответ

\(H = \sqrt{\dfrac{2Q + 3p_0Sh + kh^2}{4k}}\).

Решение

Условие равновесия поршня: \(pS = kx\), где \(x\) — высота поршня. Домножим на \(S\): \(pS^2 = kxS = kV\), т.е. \(p = \dfrac{k}{S^2}V\) — линейная зависимость давления от объёма (прямая на диаграмме \(p\)–\(V\), см. рисунок).

Состояния: 1 — начальное, \(p_1 = p_0\), \(V_1 = Sh\); 2 — поршень начинает подниматься, \(p_2 = \dfrac{kh}{S}\), \(V_2 = Sh\); 3 — конечное, \(p_3 = \dfrac{kH}{S}\), \(V_3 = SH\).

Процесс 1–2 изохорный, процесс 2–3 идёт по прямой \(p(V)\). Первое начало термодинамики для процесса 1–2–3, с учётом \(\Delta U = \dfrac{i}{2}\nu R(T_3 - T_1)\) и работы \(A = \dfrac12(p_2 + p_3)(V_3 - V_2)\) (для одноатомного газа \(i = 3\)): \[Q = \frac{i}{2}\,(p_3V_3 - p_1V_1) + \frac12\,(p_3V_3 - p_2V_2).\] Здесь \(p_3V_3 = kH^2\), \(p_1V_1 = p_0Sh\), \(p_2V_2 = kh^2\). Получаем \[Q = \frac{i}{2}\left(kH^2 - p_0Sh\right) + \frac12\left(kH^2 - kh^2\right),\] откуда \[H = \sqrt{\frac{2Q + i\,p_0Sh + kh^2}{k(i+1)}}.\] При \(i = 3\) (одноатомный газ): \[H = \sqrt{\frac{2Q + 3p_0Sh + kh^2}{4k}}.\]