«Шаг в будущее», 2017/18, заключительный этап, 11 класс

Скорость вытекания воды через пробоину в баржу определяется уравнением Бернулли, а баржа затонет, когда вода поднимется до бортов над уровнем воды.

\(\Delta t = \dfrac{4abh}{\pi d^2\sqrt{2g(c - h)}} \approx 7{,}6\cdot10^4\) с.

Скорость воды в момент её затекания в баржу \(\upsilon = \sqrt{2g(c - h)} \approx 5\) м/с.

Баржа затонет тогда, когда её борта сравняются с поверхностью воды, то есть уровень воды над дном баржи достигнет величины \(h\). В этот момент внутри баржи будет объём воды \(V = abh = S\upsilon\,\Delta t\), где \(S = \dfrac{\pi d^2}{4}\) — площадь отверстия, \(\Delta t\) — искомое время, за которое объём воды в барже станет равен \(V\). Отсюда находим \[\Delta t = \frac{4abh}{\pi d^2\sqrt{2g(c - h)}} \approx 7{,}6\cdot10^4~\text{с}.\]

Сила, действующая на катер со стороны воды, равна потоку импульса в струе; при постоянной скорости она уравновешивает сопротивление \(k\upsilon^2\).

\(\upsilon \approx 13{,}4\) м/с.

Результирующая сила, действующая на катер со стороны воды, \(F = \rho S u(u - \upsilon)\). Она равна силе сопротивления, так как катер по условию движется с постоянной скоростью: \[\rho S u(u - \upsilon) = k\upsilon^2.\] Решая это квадратное уравнение, находим \(\upsilon \approx 13{,}4\) м/с.

Давление внутри мыльного пузыря больше внешнего на величину, создаваемую плёнкой с двумя поверхностями; при изотермическом сжатии воздуха учтите, что его давление меняется обратно пропорционально объёму.

\(P = 8P_0 + \dfrac{24\sigma}{r}\).

За один цикл холодильнику передаётся \(q\tau\), а работа цикла Карно выражается через КПД. Мощность — работа за цикл, делённая на время двух изотерм; найдите максимум по \(T\).

\(T = \sqrt{T_1T_2} = 400\) К;  \(N_{max} = \dfrac{\alpha}{2}\left(T_1 - 2\sqrt{T_1T_2} + T_2\right) = 100\) кВт.

За время \(\tau\) холодильник получает количество теплоты \(Q_x = \alpha(T - T_2)\tau\). Коэффициент полезного действия цикла Карно \[\frac{Q_H - Q_x}{Q_H} = \frac{T_1 - T}{T_1}.\] Полезная работа тепловой машины равна \[A = Q_H - Q_x = Q_H\left(1 - \frac{T}{T_1}\right) = Q_x\frac{T_1}{T}\left(1 - \frac{T}{T_1}\right) = \alpha(T - T_2)\tau\cdot\left(\frac{T_1}{T} - 1\right).\] Мощность тепловой машины \[N = \frac{A}{2\tau} = \frac{\alpha}{2}\left(T_1 - \frac{T_2T_1}{T} - T + T_2\right).\] Эта величина достигает максимума при \(T = \sqrt{T_1T_2} = 400\) К. Выполнив вычисления, в этом случае \[N_{max} = \frac{\alpha}{2}\left(T_1 - 2\sqrt{T_1T_2} + T_2\right) = \frac{1}{2}\left(800 - 2\sqrt{800\cdot200} + 200\right) = 100~\text{кВт}.\]

В сверхпроводящем контуре полный магнитный поток сохраняется. Внесение стержня уменьшает площадь, через которую проходит поток, и меняет индуктивность.

\(A = \dfrac{LI^2}{6}\).

Искомая работа, равная разности энергий магнитного поля катушки после и до внесения в неё стержня, может быть найдена по формуле \[A = \frac{\Phi^2}{2}\left(\frac{1}{L_1} - \frac{1}{L}\right),\] где \(L_1 = L\left(1 - \dfrac{1}{2^2}\right)\) — индуктивность катушки со стержнем (поток \(\Phi = LI\) сохраняется). Тогда работа, которую нужно совершить, чтобы внести в катушку сверхпроводящий стержень, равна \[A = \frac{L I^2}{2(2^2 - 1)} = \frac{LI^2}{6}.\]

Сначала найдите скорость шарика \(3m\) после упругого удара. Дальше колебания шариков на пружине дают максимальное ускорение шарика массы \(2m\); оно должно не превышать \(\mu g\).

\(\mu_{min} = \dfrac{a_{3}^{max}}{g} = \dfrac{3\upsilon_0}{2g}\sqrt{\dfrac{k}{30m}}\).

Удар центральный, абсолютно упругий. Используя законы сохранения энергии и импульса для абсолютно упругого удара, найдём скорость шарика 2 после удара \[\upsilon_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\upsilon_0 = \frac{2m}{m + 3m}\upsilon_0 = \frac{\upsilon_0}{2}.\] Амплитудное значение ускорения шарика 3 \[a_3^{max} = \frac{3\upsilon_0}{2}\sqrt{\frac{k}{30m}}.\] Условие начала проскальзывания верхней части шарика относительно нижней: \(a_3^{max} = \mu g\), откуда минимальное значение коэффициента трения между частями разрезанного шарика \[\mu = \frac{a_3^{max}}{g} = \frac{3\upsilon_0}{2g}\sqrt{\frac{k}{30m}}.\]