«Шаг в будущее», 2017/18, заключительный этап, 8 класс

Какая сила натяжения нити действует на блок, на котором висят грузы? Затем запишите условие равновесия рычага относительно точки опоры.

\(F = \dfrac{2}{3}\,mg\).

\(3mg = 2T\), откуда \(T = 1{,}5\,mg\). Далее условие равновесия рычага: \[-1{,}5\,mg \cdot 4l_0 + 4mg \cdot 2l_0 - F \cdot 3l_0 = 0,\] откуда \(F = \dfrac{2}{3}\,mg\).

Условие плавания до полного погружения даёт глубину погружённой части. После погружения внешняя сила равна разности силы Архимеда и веса; работа находится как интеграл силы по перемещению.

\(A = \dfrac{\rho_в\,\rho_л\,ab\,h_{надв}^2}{2(\rho_в - \rho_л)} = 936\) Дж.

До полного погружения: \(mg = \rho_в g h_{подв}\,ab\). После погружения \(F_{max} + mg - F_{арх\,max} = 0\), где \(F_{арх\,max} = \rho_в g (h_{подв} + h_{надв})\,ab\).

Работа по погружению льдины \(A = \dfrac{F_{max}\,h_{подв}}{2}\).

Решая полученную систему уравнений, получаем \[A = \frac{\rho_в\,\rho_л\,ab\,h_{надв}^2}{2(\rho_в - \rho_л)} = 936~\text{Дж}.\]

Рассмотрите равновесие поршней вместе со стержнем: сила натяжения нити и сила, с которой стержень тянет поршни, уравновешивают давление жидкости на поршни.

\(p = \dfrac{mg}{S_2 - S_1}\).

Стержень притягивает поршни друг к другу с силой \(T\), и этим создаёт в жидкости давление \(p\). Условие равновесия поршней: \(pS_2 - T = 0\), \(pS_1 + mg - T = 0\). Вычитая уравнения, получаем \(mg + pS_1 = pS_2\), откуда \[p = \frac{mg}{S_2 - S_1}.\]

Запишите общее сопротивление для каждой из трёх схем как параллельное соединение двух резисторов плюс третий резистор последовательно и решите систему из трёх уравнений.

\(R_1 = 1000\) Ом, \(R_2 = 4\) Ом, \(R_3 = 6\) Ом.

Для исходной схемы \(\dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + R_3 = 10\) Ом; если поменять местами резисторы 1 и 3, \(\dfrac{R_3R_2}{R_3 + R_2} + R_1 = 1000\) Ом; если поменять местами резисторы 2 и 3, \(\dfrac{R_1R_3}{R_1 + R_3} + R_2 = 10{,}02\) Ом. Решая совместно три уравнения, находим \(R_1 = 1000\) Ом, \(R_2 = 4\) Ом, \(R_3 = 6\) Ом.

Теплоотдача бассейна пропорциональна \(T - T_0\), а приток тепла из крана пропорционален разности температур втекающей и вытекающей воды. Температуру окружающей среды можно найти из двух первых случаев.

\(T_0 = 10\) °C; при открытых обоих кранах \(T = 46\) °C.

Мощность теплоотдачи из бассейна \(P = \alpha\,\Delta t\), приток тепла из одного крана \(P = c\mu(t_{in} - t_{out})\), где \(\mu\) — масса воды, поступающей в единицу времени из одного крана. Для двух первых случаев \[\alpha(T_1' - T_0) = c\mu(T_1 - T_1'), \qquad \alpha(T_2' - T_0) = c\mu(T_2 - T_2').\] Поделив их, находим \(T_0 = \dfrac{T_1T_2' - T_2T_1'}{(T_1 - T_1') - (T_2 - T_2')} = 10\) °C.

Пусть \(T\) — температура при открытых обоих кранах. Тогда \(\alpha(T - T_0) = c\mu(T_1 - T) + c\mu(T_2 - T)\). Разделив на первое уравнение, получим \[\frac{T - T_0}{T_1' - T_0} = \frac{T_1 + T_2 - 2T}{T_1 - T_1'},\] откуда \[T = \frac{T_1T_1' - T_2T_2'}{(T_1 + T_1') - (T_2 + T_2')} = 46~\text{°C}.\]

Сила натяжения нити, на которой висит блок с грузами, связана с весом \(mg\) груза на конце нити через блок.

\(F = 2mg\).

\(mg = 2T\), откуда \(T = 0{,}5\,mg\). Далее условие равновесия рычага: \[-0{,}5\,mg \cdot 4l_0 + 4mg \cdot 2l_0 - F \cdot 3l_0 = 0,\] откуда \(F = 2mg\).

Сила, которую нужно приложить, равна разности силы Архимеда и нуля (куб невесом), и она растёт пропорционально глубине погружения.

\(A = 550{,}8\) Дж.

Максимальная сила при полном погружении \(F_{max} = F_{арх}\), \(F_{max} = \rho g a^3\). Работа \[A = \frac{\rho g a^3\cdot a}{2} = 550{,}8~\text{Дж}.\]

Показания вольтметра в первой схеме практически совпадают с напряжением на резисторе, так как амперметр можно считать идеальным. Во второй схеме ток через миллиамперметр делится между резистором и вольтметром.

1) \(R = 770\) Ом;  2) \(R_V = 575\) Ом;  3) \(U = 2{,}31\) В.

1) Показания вольтметра в первом и во втором случае отличаются незначительно, значит, амперметр можно считать идеальным. Тогда в первой цепи показания вольтметра соответствуют напряжению на резисторе: \[R = \frac{U_1}{I_1} = \frac{2{,}31}{0{,}003} = 770~\text{Ом}.\]

2) Во второй цепи ток через миллиамперметр равен сумме токов через вольтметр и резистор. Ток через резистор \(I_R = \dfrac{U_2}{R} = \dfrac{2{,}3}{770} \approx 3\) мА, ток через вольтметр \(I_V = I_2 - I_R = 4\) мА. Сопротивление вольтметра \[R_V = \frac{U_2}{I_V} = 575~\text{Ом}.\]

3) Так как источник питания идеальный, напряжение на нём равно показанию вольтметра в первой цепи: \(U = U_1 = 2{,}31\) В.

Сначала проверьте, растаял ли весь лёд: для этого сравните уровень \(h\) с уровнем \(h_0\), на который понизилась бы вода, если бы весь лёд растаял. Дальше уравнение теплового баланса и связь масс со сменой уровня.

\(t_B \approx 37{,}7\) °C.

Если бы весь лёд растаял, уровень воды понизился бы на \(h_0 = H\dfrac{\rho - \rho_л}{\rho + \rho_л} \approx 0{,}87\) см. Так как \(h < h_0\), не весь лёд растаял, и в сосуде установилась конечная температура \(0\) °C.

Пусть растаяло \(m\) кг льда. Тогда \(cM(t_B - t_K) = \lambda m\), откуда \(t_B = \dfrac{\lambda m}{cM} + t_K\), где \(t_K = 0\) °C.

Объём: \(\dfrac{m}{\rho_л} - \dfrac{m}{\rho} = hS\), \(\dfrac{M}{\rho_л} + \dfrac{M}{\rho} = HS\), где \(S\) — площадь дна. Тогда \[\frac{m}{M} = \frac{h}{H}\cdot\frac{\rho_л - \rho}{\rho_л + \rho} \quad\text{или}\quad \frac{\lambda}{c}\cdot\frac{h}{H}\cdot\frac{\rho - \rho_л}{\rho_л + \rho} \approx 37{,}7~\text{°C}.\]

Искомая сила складывается из веса полушара, силы атмосферного давления на его верхнюю поверхность и силы гидростатического давления воды. Для последней удобно рассмотреть воду под полушаром как условно заполненную водой.

\(F = mg + p_{атм}\pi R^2 + \pi\rho_0 g R^2\left(h - \dfrac{2R}{3}\right)\).

Искомая сила определяется тремя слагаемыми: весом полушара \(P = mg\), силой атмосферного давления, передающейся через воду на поверхность полушара, и силой гидростатического давления воды. Итак, \[F = mg + F_{ат} + F_в,\] где \(F_{ат} = p_{атм} S\), \(S = \pi R^2\). Для \(F_в\) предположим, что вода под полушар проникла. Тогда на полушар действует архимедова сила выталкивания \(F_A = F_2 - F_1\), где \(F_2 = p_2 S = \rho_0 g h \pi R^2\) — сила гидростатического давления воды снизу на плоскую поверхность полушара, а \(F_1\) — искомая сила \(F_в\). Она равна \[F_в = F_1 = F_2 - F_A = \rho_0 g h\pi R^2 - \frac{2\pi\rho_0 g R^3}{3} = \pi\rho_0 g R^2\left(h - \frac{2R}{3}\right).\] Следовательно, \(F = mg + p_{атм}\pi R^2 + \pi\rho_0 g R^2\left(h - \dfrac{2R}{3}\right)\).