«Шаг в будущее», 2017/18, заключительный этап, 9 класс

Из связи скорости и координаты второго пешехода выясните, движется ли он с постоянным ускорением. Затем приравняйте координаты пешеходов.

\(t = \pm\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{A}{C}}\), \(x = A \pm 2\sqrt{\dfrac{A}{C}}\).

Приравнивая \(x_2\) к нулю, видим, что начальная скорость второго пешехода равна \(2B\). Преобразовав уравнение, описывающее движение второго пешехода, получим \[x_2 = \frac{v_{2x}^2 - 4B^2}{4CB^2}.\] Это формула перемещения в равноускоренном движении. Стало быть, второй пешеход движется с ускорением \(a_{2x} = 2CB^2\). Тогда его закон движения имеет вид \(x_2 = 2Bt + CB^2t^2\).

Приравнивая координаты пешеходов, имеем \(A + 2Bt = 2Bt + CB^2t^2\). Отсюда искомые времена встреч \[t = \pm\frac{1}{B}\sqrt{\frac{A}{C}}.\] Подставляя найденное время в любое из уравнений движения, найдём координаты встреч: \[x = A \pm 2\sqrt{\frac{A}{C}}.\]

Скорость течения постоянна, поэтому в системе отсчёта воды лодка движется с постоянной по модулю скоростью и постоянным по модулю ускорением. Какая траектория у такого движения?

\(l_{макс} = 2R = 400\) м;  \(t = \dfrac{\pi v}{a} \approx 31\) с.

Поскольку скорость течения постоянна, ускорение лодки относительно воды такое же, как и относительно берега. То есть относительно воды лодка движется по поверхности с постоянной по модулю скоростью и постоянным по модулю ускорением. Единственным движением, удовлетворяющим этому условию, является равномерное движение по окружности. Радиус окружности, очевидно, равен \[R = \frac{v^2}{a} = \frac{400~\text{м}^2/\text{с}^2}{2~\text{м}/\text{с}^2} = 200~\text{м}.\] Стало быть, в системе отсчёта воды лодка отдалится от баллона на максимальное расстояние, равное диаметру окружности: \(l_{макс} = 2R = 400\) м.

Поскольку расстояние между телами не зависит от системы отсчёта, то таким же будет максимальное расстояние между лодкой и баллоном и в системе отсчёта берега.

Время удаления на максимальное расстояние \[T = \frac{\pi R}{v} = \frac{\pi v}{a} \approx 31~\text{с}.\]

Тепло при ударе о стенку равно начальной кинетической энергии шарика. Для соударения шариков используйте законы сохранения импульса и энергии.

\(Q = \dfrac{16\,Q_1 Q_2}{Q_1 + Q_2}\).

При ударе первого шарика о стенку выделится тепло \(Q_1 = \dfrac{m_1 v^2}{2}\), где \(m_1\) и \(v\) — соответственно масса и скорость шарика. Аналогично, при ударе второго шарика выделится тепло \(Q_2 = \dfrac{m_2 v^2}{2}\).

Для соударения шариков запишем закон сохранения импульса с учётом направлений движения: \((m_1 - m_2)V = (m_1 + m_2)u\), где \(V = 2v\), а \(u\) — скорость слипшихся шариков после неупругого соударения. Тогда \[u = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}V.\] Закон сохранения энергии: \[\frac{m_1 + m_2}{2}V^2 = \frac{m_1 + m_2}{2}u^2 + Q,\] где \(Q\) — тепло, выделившееся при соударении. Подставив значение скорости \(u\), после преобразований находим тепло: \[Q = \frac{2m_1m_2V^2}{m_1 + m_2} = \frac{8m_1m_2v^2}{m_1 + m_2}.\] Подставляя \(m_1\) и \(m_2\) из двух первых уравнений, после преобразований находим \[Q = \frac{16\,Q_1Q_2}{Q_1 + Q_2}.\]

Подводимая мощность равна \(UI\); тепловые потери равны \(I^2 r\). КПД — отношение полезной мощности к подводимой.

\(\eta = 1 - \dfrac{Pr}{U^2} = 75\%\).

Мощность, подводимая к батарейке, определяется соотношением \(P_{подв} = UI\). Отсюда ток через батарейку \(I = \dfrac{P}{U}\).

Мощность тепловых потерь на внутреннем сопротивлении \(P_Q = I^2 r\). Тогда мощность, расходуемая на подзарядку, \(P_{полезн}(I) = UI - I^2 r\).

Стало быть, КПД процесса \[\eta = \frac{P_{подв} - P_Q}{P_{подв}} = 1 - \frac{Ir}{U} = 1 - \frac{Pr}{U^2} = 75\%.\]

Запишите закон сохранения механической энергии, чтобы найти скорость шарика при отклонении нити на угол \(\alpha\). Затем сравните касательное и центростремительное ускорения.

\(F_{равн} = mg\sqrt{2} \approx 1{,}4\) Н.

Пусть \(m\) и \(v\) — соответственно масса шарика и скорость, приобретаемая им в искомый момент. Если пренебречь трением, то поскольку сила натяжения нити не выполняет работы, для шарика выполняется закон сохранения механической энергии, выбрав нуль потенциальной энергии в нижней точке: \[mgR = \frac{mv^2}{2} + mgR(1 - \cos\alpha).\] Отсюда \(v^2 = 2gR\cos\alpha\).

Как также видно из рисунка, ускорение шарика \(ma = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha\). В свою очередь, центростремительная составляющая ускорения \(ma_ц = m\dfrac{v^2}{R} = ma\sin\alpha\). Таким образом, \(v^2 = gR\,\mathrm{tg}\,\alpha\sin\alpha = gR\,\mathrm{tg}^2\alpha\cos\alpha\).

Приравнивая правые части последнего и второго уравнений, получим \(\mathrm{tg}\,\alpha = \sqrt{2}\). Тогда равнодействующая сил, приложенных к шарику, \[F_{равн} = ma = mg\sqrt{2} \approx 1{,}4~\text{Н}.\]

Выясните, с каким ускорением движется вторая частица, и приравняйте её координату к координате первой. Размерность \(B\) найдите из связи скорости и координаты.

\(t_{II} = \dfrac{A}{B^2}\), \(x_{II} = \dfrac{A^2}{B^2}\), \([B] = \dfrac{\sqrt{\text{м}}}{\text{с}}\).

Приравнивая \(x_2\) к нулю, видим, что начальная скорость второй частицы равна \(0\). Преобразовав уравнение, описывающее связь её координаты и скорости, получим \[x_2 = \frac{v_{2x}^2}{B^2}.\] Это формула перемещения в равноускоренном движении. Стало быть, вторая частица движется с ускорением \(a_{2x} = \dfrac{B^2}{2}\). Тогда её закон движения имеет вид \(x_2 = B^2t^2\).

Приравнивая координаты частиц, имеем \(At = B^2t^2\). Отсюда времена встреч: \(t_I = 0\), \(t_{II} = \dfrac{A}{B^2}\). Нас интересует \(t_{II}\). Подставляя найденное время в любое из уравнений движения, найдём координату второй встречи: \[x_{II} = \frac{A^2}{B^2}.\] Из уравнения, описывающего связь скорости и координаты второй частицы, находим \[[B] = \frac{\sqrt{\text{м}}}{\text{с}}.\]

Удобно решать в системе отсчёта течения: баллон неподвижен, катер движется с собственной скоростью. Максимальное расстояние достигается в момент разворота.

\(L_{макс} = v\tau = 600\) м;  \(s = \dfrac{3}{2}u\tau = 135\) м.

Задачу удобнее решать в системе отсчёта течения. В ней катер движется с собственной скоростью, баллон стоит на месте. Очевидно, удаление от баллона будет максимальным в момент разворота, оно равно \[L_{макс} = v\tau = 600~\text{м}.\] Это же расстояние катер преодолеет, двигаясь к баллону с собственной скоростью \(2v\), в течение времени \(T\). Тогда имеем \(2vT = v\tau\), откуда \[T = \frac{\tau}{2} = 30~\text{с}.\] Тогда в системе отсчёта воды баллон плыл по течению в течение времени \[t = \frac{3}{2}\tau.\] Стало быть, течение отнесло его на расстояние \[s = \frac{3}{2}u\tau = 135~\text{м}.\]

Тепло при ударе о плиту равно начальной кинетической энергии бруска. Для соударения брусков используйте законы сохранения импульса и энергии, как в предыдущей задаче.

\(Q' = 3Q\).

При ударе первого бруска о плиту выделится тепло \(Q = \dfrac{m_1 v^2}{2}\), где \(m_1\) и \(v\) — соответственно масса и скорость бруска. Аналогично, при ударе второго бруска выделится тепло \(3Q = \dfrac{m_2 v^2}{2}\).

Для соударения брусков запишем закон сохранения импульса с учётом направлений движения: \((m_1 - m_2)v = (m_1 + m_2)u\), где \(u\) — скорость слипшихся брусков после неупругого соударения. Тогда \[u = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v.\] Закон сохранения энергии: \[\frac{m_1 + m_2}{2}v^2 = \frac{m_1 + m_2}{2}u^2 + Q'.\] Подставив в последнее уравнение значение скорости \(u\), после преобразований находим тепло: \[Q' = \frac{2m_1m_2v^2}{m_1 + m_2}.\] Подставляя \(m_1\) и \(m_2\) из двух первых уравнений, после преобразований находим \[Q' = 3Q.\]

Мощность потерь в линии равна \(I^2R\). При постоянной передаваемой мощности ток обратно пропорционален напряжению.

В 2 раза.

Мощность в линии теряется на нагрев проводов. Тогда, по закону Джоуля—Ленца, \[\eta = \frac{I_1^2R - I_2^2R}{I_1^2R} = 1 - \frac{I_2^2}{I_1^2},\] где \(I_1\), \(I_2\) — ток в линии, соответственно, до и после снижения потерь, \(R\) — сопротивление линии. Отсюда \[\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{\sqrt{1 - \eta}} = 2.\] Приравниваем выдаваемые в линию мощности: \(U_1I_1 = U_2I_2\), где \(U_1\), \(U_2\) — напряжение, подаваемое в линию, соответственно, до и после снижения потерь. Отсюда \[\frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1}{I_2} = 2.\] Ответ: в 2 раза.

Брусок начнёт скользить, когда сила трения покоя достигнет максимума \(\mu N\). Запишите второй закон Ньютона для бруска во вращающейся системе отсчёта и проверьте знак найденной силы натяжения жгута.

\(\Delta L = \dfrac{m(\mu g - \omega^2 r)}{k(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}\).

Жгут может прийти в движение относительно стола только если по столу заскользит брусок. Поэтому нам нужно определить условие соскальзывания именно бруска. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси, изображённые на рисунке. При этом учтём, что, поскольку речь идёт о максимальном растяжении жгута, то и сила трения определяется по формуле максимальной силы трения покоя: \[X\colon\ \mu N + T\sin\alpha = m\omega^2r, \qquad Y\colon\ N + T\cos\alpha - mg = 0.\] Выражая \(N\) из второго уравнения и подставляя в первое, после несложных преобразований получаем \[T = \frac{m(\mu g - \omega^2r)}{\mu\cos\alpha - \sin\alpha}.\] Полученное соотношение, однако, нельзя считать окончательной формулой, определяющей силу натяжения жгута. Дело в том, что в нём мы определили именно модуль силы, в то же время, если посмотреть на правую часть, видно, что в принципе она может быть отрицательной. Тут-то и пригождается условие, наложенное на коэффициент трения, а также информация о раскручивании с провисающей нитью. Действительно, из условия \(\mu > \mathrm{tg}\,\alpha\) следует, что \(\mu\cos\alpha > \sin\alpha\). Далее, из того, что при провисающей нити брусок не заскользит, следует, что \(\mu g > \omega^2r\). Только теперь мы можем быть уверены в том, что \(T > 0\).

Наконец, согласно закону Гука, \(T = k\,\Delta L\). Стало быть, \[\Delta L = \frac{m(\mu g - \omega^2r)}{k(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}.\]