зад 1 Средняя скорость на трёх отрезках
Автомобиль проходит три неравных отрезка пути, которые относятся как \(5{:}3{:}2\). При этом интервалы времени, затраченные на прохождение каждого из отрезков, относятся соответственно как \(1{:}2{:}3\). Чему равна средняя скорость автомобиля на первом отрезке пути, если средняя скорость прохождения всего пути равна \(v = 36\) км/ч? Ответ дайте в метрах в секунду (м/с). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость на всём пути равна полному пути, делённому на полное время. Выразите путь и время через единицы \(s_0\) и \(t_0\).
▶ОтветСкрыть
\(30\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(s_0\), \(t_0\) — единицы пути и времени. Средняя скорость на всём пути \(v = \dfrac{10s_0}{6t_0} = \dfrac{5}{3}\dfrac{s_0}{t_0} = 10\) м/с, откуда \(\dfrac{s_0}{t_0} = 6\) м/с. Средняя скорость на первом отрезке \(v_1 = \dfrac{5s_0}{t_0} = 30\) м/с.
зад 2 Брусок на наклонной плоскости
Брусок массой \(m = 2\) кг положили на наклонную плоскость, синус угла наклона которой равен \(0{,}3\). Коэффициент трения между бруском и плоскостью \(\mu = 0{,}4\). Чему равна сила трения, действующая на брусок? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ дайте в ньютонах (Н). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните проекцию силы тяжести на плоскость с максимальной силой трения покоя. Что будет, если брусок не скользит?
▶ОтветСкрыть
\(6\).
▶РешениеСкрыть
Сравним проекцию силы тяжести \(mg\sin\alpha = 6\) Н и силу трения скольжения \(\mu mg\cos\alpha \approx 0{,}4\cdot2\cdot10\cdot0{,}954 \approx 7{,}63\) Н. Так как \(mg\sin\alpha < F_{тр.ск}\), тело покоится, и сила трения равна \(F_{тр} = mg\sin\alpha = 6\) Н.
зад 3 Рольставни
Окно закрыто рольставнями. Их ширина \(1500\) мм, удельная масса \(1\) м\(^2\) материала рольставней составляет \(4{,}2\) кг. Чтобы полностью поднять рольставни, свернув их в рулон, нужно совершить работу \(A = 126\) Дж. Чему равна высота рольставней? Силой трения пренебречь. Диаметр образовавшегося рулона считать малым, по сравнению с высотой рольставней. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ дайте в метрах (м). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа равна изменению потенциальной энергии полотна. Центр масс полотна поднимается на половину высоты, а масса пропорциональна площади.
▶ОтветСкрыть
\(2\).
▶РешениеСкрыть
Работа \(A = \dfrac{1}{2}mgh\), где масса полотна \(m = \sigma a h\), \(\sigma = 4{,}2\) кг/м\(^2\), \(a = 1{,}5\) м. Тогда \(A = \dfrac{1}{2}\sigma a g h^2\), откуда \(h = \sqrt{\dfrac{2A}{\sigma a g}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot126}{4{,}2\cdot1{,}5\cdot10}} = 2\) м.
зад 4 Два камушка
Два камушка находятся на одинаковой высоте от поверхности земли. Камушкам одновременно сообщили одинаковые по модулю начальные скорости, направленные вертикально вниз и вертикально вверх соответственно. Спустя время \(\tau\) после начала движения второй камушек достигает крайнего верхнего положения. Чему равно отношение пути, пройденного первым камушком, к пути, пройденному вторым камушком, за одно и то же время \(t = 4\tau\), отсчитанное от начала движения? Считать, что за указанное время камушки не долетают до поверхности земли, а ускорение свободного падения остаётся неизменным в процессе их движения. Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Начальная скорость второго камушка известна из времени подъёма до верхней точки. Сравните пути за \(4\tau\) для каждого камушка, учитывая, что второй сначала поднимается, а потом падает.
▶ОтветСкрыть
\(2{,}4\).
▶РешениеСкрыть
Начальная скорость \(v_0 = g\tau\). Второй камушек за время \(\tau\) поднимается на высоту \(\dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{g\tau^2}{2}\), затем за оставшиеся \(3\tau\) падает на \(\dfrac{g(3\tau)^2}{2} = \dfrac{9g\tau^2}{2}\); значит, \(s_2 = 5g\tau^2\). Первый камушек за \(4\tau\) проходит \(s_1 = v_0\cdot4\tau + \dfrac{g(4\tau)^2}{2} = 12g\tau^2\). Отношение \(s_1/s_2 = 2{,}4\).
зад 5 Шарики на вращающейся платформе
На гладкой горизонтальной платформе лежат три одинаковых шарика, массой \(m = 300\) г каждый, соединённые друг с другом тремя невесомыми стержнями так, что центры шариков и стержни находятся в одной плоскости и образуют равносторонний треугольник со стороной \(l = 50\) см. Платформа вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр этого треугольника. Определите угловую скорость вращения платформы, если при вращении шарики не смещаются относительно платформы, а в стержнях возникают упругие силы \(F = 0{,}2\) Н. Ответ дайте в радианах в секунду (рад/с). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Радиус окружности, по которой движутся шарики, равен \(l/\sqrt3\). Какие две силы от стержней дают равнодействующую, направленную к центру?
▶ОтветСкрыть
\(2\).
▶РешениеСкрыть
Радиус окружности, по которой движутся шарики, \(R = \dfrac{l}{\sqrt3}\). Центростремительную силу для каждого шарика создают два стержня, поэтому \(2F\cos30^\circ = m\omega^2R\), откуда \(\omega^2 = \dfrac{3F}{ml}\) и \(\omega = \sqrt{\dfrac{3\cdot0{,}2}{0{,}3\cdot0{,}5}} = 2\) рад/с.
зад 6 Два груза и пружина
На гладкой горизонтальной поверхности находятся два груза массами \(m\) и \(3m\), связанные невесомой недеформированной пружиной жёсткости \(k = 50\) Н/м. Груз массой \(m\) удерживают, а грузу массой \(3m\) сообщают скорость \(v_0 = 0{,}2\) м/с по направлению к лёгкому грузу. В тот момент, когда тяжёлый груз останавливается, лёгкий груз отпускают. Найдите максимальную скорость груза массой \(m\) в процессе движения. Ответ дайте в метрах в секунду (м/с). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала энергия переходит в энергию пружины. После отпускания лёгкого груза полный импульс системы остаётся нулевым, а энергия сохраняется.
▶ОтветСкрыть
\(0{,}3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(x\) — максимальная деформация пружины: \(\dfrac{3mv_0^2}{2} = \dfrac{kx^2}{2}\). После отпускания лёгкого груза импульс системы равен нулю; пусть скорости грузов \(u\) (масса \(m\)) и \(v\) (масса \(3m\)) в момент, когда пружина недеформирована, тогда \(mu = 3mv\) и \(\dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{3mv^2}{2} = \dfrac{kx^2}{2} = \dfrac{3mv_0^2}{2}\). Отсюда \(v = \dfrac{v_0}{2}\), \(u = 3v = 0{,}3\) м/с.
зад 7 Тонкая плоская деталь
Тонкая плоская деталь оторвалась от спутника и движется в космическом пространстве. Деталь имеет форму четырёхугольника \(ABCD\). В некоторый момент времени оказалось, что векторы скоростей точек \(A\) и \(B\) одинаковы по модулю и направлению – \(\vec v_A = \vec v_B = \vec v\) – и лежат в плоскости детали, а скорости точек \(C\) и \(D\) равны соответственно \(v_C = v\sqrt2\) и \(v_D = v\sqrt5\). Определите длину высоты \(h_2\), проведённой из вершины \(D\) к стороне \(AB\) четырёхугольника, если длина высоты, проведённой из вершины \(C\) к стороне \(AB\), равна \(h_1 = 20\) см. Ответ дайте в сантиметрах (см). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Точки \(A\) и \(B\) лежат на мгновенной оси вращения. Скорость каждой точки — сумма поступательной скорости и скорости вращения вокруг этой оси, перпендикулярной расстоянию до оси.
▶ОтветСкрыть
\(40\).
▶РешениеСкрыть
Так как скорости точек \(A\) и \(B\) одинаковы по модулю и направлению, они лежат на мгновенной оси, а \(\vec v\) — поступательная скорость. Скорости точек \(C\) и \(D\) — векторная сумма поступательной и вращательной (вокруг оси \(AB\)) скоростей: \(v_C^2 = v^2 + \omega^2h_1^2 = 2v^2\) и \(v_D^2 = v^2 + \omega^2h_2^2 = 5v^2\). Отсюда \(\omega h_1 = v\), \(\omega h_2 = 2v\), и \(h_2 = 2h_1 = 40\) см.
зад 8 Заготовки на наклонных плоскостях
Две заготовки, имеющие форму цилиндра (заготовка 1) и треугольной призмы (заготовка 2), положили, соприкасаясь друг с другом, на две гладкие закреплённые наклонные плоскости (см. рисунок), и отпустили. Наклонные плоскости и треугольная призма образуют одинаковые углы \(\alpha\) с горизонтом. Заготовка 1 в такой системе движется вниз по наклонной плоскости с ускорением \(a = 0{,}8\) м/с\(^2\). Если убрать заготовку 1, то оставшаяся заготовка 2 будет двигаться с ускорением \(a_0 = 1\) м/с\(^2\). Чему равно отношение массы заготовки 1 к массе заготовки 2? Трением между заготовками пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Оба тела движутся с одинаковым ускорением. Запишите второй закон Ньютона вдоль наклонных плоскостей для каждого тела; сила взаимодействия между заготовками входит в них с противоположными знаками.
▶ОтветСкрыть
\(9\).
▶РешениеСкрыть
Ускорения заготовок одинаковы, и сила взаимодействия между ними в суммарном уравнении движения сокращается. Получаем \(a = g\sin\alpha\,\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\). Без заготовки 1 заготовка 2 движется без трения с ускорением \(a_0 = g\sin\alpha\). Отсюда \(\dfrac{a}{a_0} = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = 0{,}8\), и \(\dfrac{m_1}{m_2} = 9\).
зад 9 Три нелинейных элемента
Нелинейный элемент (НЭ) имеет нелинейную вольтамперную характеристику (зависимость силы тока \(I\), проходящего через НЭ от напряжения \(U\) на этом НЭ), описываемую формулой \(I = k\sqrt{U}\), где \(k\) – постоянная величина. Три одинаковых нелинейных элемента 1, 2 и 3 соединили, как показано на рисунке, и подключили к источнику постоянного напряжения \(U_0\). Сопротивление источника пренебрежимо мало. Найдите отношение мощности, выделяемой на нелинейном элементе 1, к мощности, выделяемой на нелинейном элементе 2. Если ответ получается в виде бесконечной десятичной дроби, округлите его до сотых, если ответ – конечная десятичная дробь или целое число, приведите его без округления.
▶ПодсказкаСкрыть
Элементы 2 и 3 соединены параллельно, значит, на них одинаковое напряжение. Сравните токи через элементы 1 и 2 и примените последовательное соединение.
▶ОтветСкрыть
\(8\).
▶РешениеСкрыть
На элементах 2 и 3 напряжения одинаковы, \(U_2 = U_3\), поэтому \(I_2 = I_3 = I_1/2\). Из \(I_1 = k\sqrt{U_1}\) и \(I_2 = k\sqrt{U_2}\) получаем \(\sqrt{U_1} = 2\sqrt{U_2}\), то есть \(U_1 = 4U_2\). Так как \(U_1 + U_2 = U_0\), имеем \(U_2 = U_0/5\), \(U_1 = 4U_0/5\). Отношение мощностей \(\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{I_1U_1}{I_2U_2} = 2\cdot4 = 8\).
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2018/19, отборочный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.