«Шаг в будущее», 2018/19, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Скорость катера относительно берега складывается из его скорости относительно воды и скорости течения. Её направление задано точками \(C\) и \(B\). Минимальная скорость относительно воды перпендикулярна результирующей скорости.

Ответ

\(3\) км/ч.

Решение

Скорость катера относительно берега \(\vec v_K = \vec u + \vec v_0\) направлена от точки \(C\) к точке \(B\), где \(\vec u\) — скорость катера относительно воды, \(\vec v_0\) — скорость течения. Модуль \(u\) минимален при \(\vec u \perp \vec v_K\), тогда \(u_{\min} = v_0\cos\alpha\), где \(\alpha\) — угол между \(CA\) и \(CB\). Из треугольника \(ACB\), с учётом \(AB = 5 \cdot 80 = 400\) м: \[\cos\alpha = \frac{AC}{\sqrt{AC^2 + AB^2}} = \frac{300}{\sqrt{400^2 + 300^2}} = \frac{3}{5}.\] Тогда \(u_{\min} = 5 \cdot \frac{3}{5} = 3\) км/ч.

Подсказка

Кинетическая энергия тела, которое движется из покоя под действием постоянной силы, пропорциональна квадрату времени. Найдите массу тела и энергию в конце второго интервала.

Ответ

\(\Delta W = 30\) Дж.

Решение

Кинетическая энергия тела через время \(t\) при постоянной силе \(F\): \(W = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{(F t)^2}{2m}\), откуда \(m = \dfrac{(F\Delta t)^2}{2W_0}\). К концу второго интервала \(2\Delta t\) кинетическая энергия станет \[W_1 = \frac{(2F\Delta t)^2}{2m} = 4W_0.\] Приращение энергии за следующий интервал \(\Delta t\): \[\Delta W = W_1 - W_0 = 3W_0 = 30~\text{Дж}.\]

Подсказка

Перемещение за время \(t\) равно среднему вектору скорости, умноженному на \(t\). Используйте то, что начальная и конечная скорости взаимно перпендикулярны, и треугольник скоростей.

Ответ

\(5\) м.

Решение

Скорость шарика после отскока со скоростью \(\vec v_0\): \(\vec v_t = \vec v_0 + \vec g t\). Вектор перемещения \[\vec S(t) = \vec v_0 t + \frac{\vec g t^2}{2} = \frac{\vec v_0 + \vec v_t}{2}\, t.\] Для момента \(\tau\), когда направление скорости повернулось на \(90^\circ\), векторы \(\vec v_0\) и \(\vec v_K\) перпендикулярны. Из треугольника скоростей \(|\vec v_0 + \vec v_K| = |\vec v_K - \vec v_0| = g\tau\). Тогда \[|\vec S| = \frac{g\tau^2}{2} = \frac{10 \cdot 1^2}{2} = 5~\text{м}.\]

Подсказка

Относительно кривошипа шестерня катится по неподвижному колесу 4. Найдите угол поворота каждой шестерни относительно неподвижной системы через радиусы и число зубьев.

Ответ

\(n_1 / n_2 = 2\).

Решение

Угол поворота шестерни 1 за время \(t\): \(\varphi_1 = \left(\dfrac{R}{r_1} - 1\right)\omega t\), где \(\omega\) — угловая скорость кривошипа 3, \(R\) — радиус колеса 4, \(r_1\) — радиус шестерни 1. Отношение \(\dfrac{R}{r_1} = \dfrac{z_4}{z_1}\). Так как \(\omega t = k\cdot 2\pi\), где \(k\) — число оборотов кривошипа, по условию \(k = 2\), число оборотов шестерни 1: \[n_1 = \frac{\varphi_1}{2\pi} = \left(\frac{z_4}{z_1} - 1\right)k = 8.\] Аналогично для шестерни 2: \(\dfrac{R}{r_2} = \dfrac{z_4}{z_2}\), и \[n_2 = \left(\frac{z_4}{z_2} - 1\right)k = 4.\] Отношение: \(\dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{8}{4} = 2\).

Подсказка

Нить после касания гвоздя описывает окружность меньшего радиуса. Найдите точку, в которой натяжение нити обращается в ноль, и дальше рассмотрите движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Ответ

\(H = 5\) м.

Решение

Шарик сначала движется по окружности радиуса \(2R = L\), затем, зацепившись за гвоздь, по окружности радиуса \(R = L/2 = 2{,}7\) м. В некоторой точке \(B\) сила натяжения обращается в ноль, и шарик далее летит свободно под действием силы тяжести.

Второй закон Ньютона в проекции на радиус в точке \(B\) (где \(T = 0\)): \(g\cos\alpha = \dfrac{\upsilon^2}{R}\) (1), где \(\alpha\) — угол отклонения радиуса \(AB\) от вертикали. Закон сохранения энергии (нулевой уровень — нижняя точка): \[mg \cdot 2R = mgR(1 + \cos\alpha) + \frac{m\upsilon^2}{2}.\] Решая систему, получаем \(\cos\alpha = \dfrac{2}{3}\). Высота точки отрыва \(h_1 = R + R\cos\alpha = \dfrac{5}{3}R = \dfrac{5}{6}L = 4{,}5\) м.

Из (1) скорость в точке \(B\): \(\upsilon^2 = gR\cos\alpha = \dfrac{2}{3}gR\). Дальше шарик движется как тело, брошенное под углом \(\alpha\) к горизонту. Максимальная высота подъёма над точкой \(B\): \[h_2 = \frac{\upsilon^2\sin^2\alpha}{2g} = \frac{2}{3}\cdot\frac{gR\left(1 - \frac{4}{9}\right)}{2g} = \frac{5}{27}R.\] Итого \(H = h_1 + h_2 = \dfrac{5}{3}R + \dfrac{5}{27}R = \dfrac{50}{27}R\); при \(R = 2{,}7\) м получаем \(H = 5\) м.

Подсказка

Заряд малого конуса пропорционален его объёму, а объёмы подобных конусов пропорциональны кубу высот. Потенциал в вершине каждого конуса пропорционален заряду и обратно пропорционален высоте.

Ответ

\(\varphi'' = \left(1 - \dfrac{h^2}{H^2}\right)\varphi_0 = 8\) В.

Решение

Пусть \(V, Q\) — объём и заряд отрезанного конуса \(SR'\), \(V', Q'\) — объём и заряд оставшегося конуса \(SR\) (т.е. исходного минус отрезанный). Конусы подобны, заряды пропорциональны объёмам, поэтому \(\dfrac{V}{V'} = \dfrac{Q}{Q'} = \dfrac{H^3}{h^3}\). Потенциал в точке \(S\) складывается из потенциала \(\varphi'\) отрезанной части и потенциала \(\varphi''\) оставшейся части: \(\varphi_0 = \varphi' + \varphi''\).

Потенциал, создаваемый в точке \(S\) каждым конусом, прямо пропорционален его заряду и обратно пропорционален высоте, поэтому \[\frac{\varphi_0}{\varphi'} = \frac{Q/H}{Q'/h} = \frac{H^2}{h^2}.\] Отсюда \(\varphi'' = \varphi_0 - \varphi' = \left(1 - \dfrac{h^2}{H^2}\right)\varphi_0\). При \(h = H/3\): \(\varphi'' = \dfrac{8}{9}\varphi_0 = 8\) В.

Подсказка

Внутренняя энергия газа растёт за счёт выделившейся энергии. Учтите, что число степеней свободы и число частиц изменились: молекулы распались на атомы.

Ответ

\(T_2 \approx 2569\) К.

Решение

Внутренняя энергия газа увеличивается за счёт энергии, выделившейся при распаде молекул азота. Пусть \(N\) — число молекул азота при температуре \(T_1\). Двухатомный газ имеет внутреннюю энергию \(U_1 = \dfrac{5}{2}NkT_1\). После распада образуется \(2N\) атомов, и их внутренняя энергия \(U_2 = U_1 + qN = \dfrac{3}{2}\cdot 2N\cdot kT_2\). Отсюда \[T_2 = \frac{5}{6}T_1 + \frac{q}{3k} \approx 2569~\text{К}.\]

Подсказка

Запишите условия равновесия платформы, неподвижного и подвижного блоков и человека. Сила натяжения верёвки одна и та же на всём её протяжении.

Ответ

\(F = 250\) Н.

Решение

Условие равновесия платформы: \(F_{H1} + F_{H2} - F_Д - m_2 g = 0\), где \(F_Д\) — сила давления человека на платформу. Для блока 1 (подвижного) \(F_{H1} = 2F_{H2}\). Для человека \(N = F_Д\) (третий закон Ньютона), и \(F_Д = m_1 g - F_{H2}\). Подставив, получаем \[4F_{H2} = (m_1 + m_2)g \quad\Rightarrow\quad F_{H2} = \frac{g(m_1 + m_2)}{4} = 250~\text{Н}.\] Так как \(F''_{H2} = F_{H2}\), ответ: \(F = 250\) Н.

Подсказка

Рассмотрите моменты сил относительно ребра кольца, которым оно опирается на поверхность: момент силы тяжести и момент сил Ампера.

Ответ

\(B = \dfrac{mg}{I\pi R}\).

Решение

На кольцо с током в магнитном поле действует момент сил Ампера, равный \(I\pi R^2 B\), и момент силы тяжести, равный \(mgR\). Кольцо начнёт подниматься при равенстве моментов: \[I\pi R^2 B = mgR \quad\Rightarrow\quad B = \frac{mg}{I\pi R}.\]