«Шаг в будущее», 2018/19, отборочный этап, 8 класс

Часть затраченной энергии идёт в тепло. Это тепло уходит на испарение воды: количество теплоты равно удельной теплоте парообразования, умноженной на массу воды.

\(6{,}67\) г.

Доля энергии, перешедшей в тепловую, \(\eta = \dfrac{r_в m_в}{Q}\), где \(Q\) — затраченная энергия в джоулях, \(r_в\) — удельная теплота парообразования воды, \(m_в\) — масса испарившейся воды. Тогда \[m_в = \frac{\eta Q}{r_в} = 6{,}67~\text{г}.\]

Испарение спирта забирает тепло у воды в смеси. Запишите уравнение теплового баланса: тепло, отданное водой, равно теплоте парообразования спирта.

\(21{,}4\) °C.

При испарении спирта без внешних нагревателей у смеси отбирается тепловая энергия \(m_в c_в \Delta t = r_{сп} m_{сп}\), где \(\Delta t = t_{нач} - t_{кон}\). Тогда \[t_{кон} = \frac{m_в c_в t_{нач} - r_{сп} m_{сп}}{m_в c_в} = t_{нач} - \frac{r_{сп} m_{сп}}{m_в c_в} = 21{,}4~\text{°C}.\]

Минимальная температура достигается, когда куб отдаёт тепло только на плавление льда ровно под собой. Запишите баланс тепла через массы куба и вырезанного столба льда.

\(76\) °C.

Температура стального куба будет минимальной, когда при полном растапливании льда, находящегося строго под ним, наступит тепловое равновесие при \(0\) °C. Уравнение теплового баланса: \[c_{ст} m_к \Delta t = \lambda_л m_л.\] С учётом габаритов куба и плотностей материалов \(c_{ст}\rho_{ст} a^3 \Delta t = \lambda_л \rho_л a^3\), откуда \[\Delta t = \frac{\lambda_л \rho_л}{c_{ст}\rho_{ст}} = 76~\text{°C} = t_{нач}, \quad \text{т.\,к. } t_{кон} = 0~\text{°C}.\]

Найдите время, за которое порция воздуха проходит через радиатор. За это время процессор отдаёт воздуху всё тепло, которое нужно нагреть на \(10\) °C.

\(200\) Вт.

Время взаимодействия \(V = 1\) л воздуха с радиатором \(\tau = \dfrac{d}{v}\), где \(d\) — ширина радиатора, \(v\) — скорость потока воздуха. Тепло, выделенное процессором за \(\tau\), полностью отводится воздухом: \(cm\Delta t = P\tau\). С учётом перевода удельной теплоёмкости \(c = 1000\) Дж/(кг·°C): \[P = \frac{cm\Delta t}{\tau} = \frac{c\rho V v \Delta t}{d} = 200~\text{Вт}.\]

Время прохождения воды по микроканалам равно длине канала, делённой на скорость потока. За это время вода должна унести всё тепло вычислителя.

\(210\) Вт.

Время, в течение которого объём воды \(V = 1\) мл взаимодействует с радиатором в микроканалах, \(\tau = \dfrac{l}{v}\), где \(l\) — длина микроканалов, \(v\) — скорость потока воды. При максимальной мощности вычислителя всё выделенное за \(\tau\) тепло отводится водой: \(cm\Delta t = P\tau\), откуда \[P = \frac{cm\Delta t}{\tau} = \frac{c\rho V v \Delta t}{l} = 210~\text{Вт}.\]

За одну секунду двигатель выделяет тепло, равное \(60\%\) мощности. Это тепло нагревает секундный объём воздуха.

\(10\) °C.

За одну секунду двигатель пылесоса выделяет тепловую энергию \(P\tau(1 - \eta) = 600\) Дж (при \(\tau = 1\) с), которая отводится теплообменом с воздухом объёмом \(60\) л: \[P\tau(1 - \eta) = cm\Delta t = c\rho V \Delta t, \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{P\tau(1 - \eta)}{c\rho V} = 10~\text{°C}.\]

КПД идеального двигателя равен \((T_н - T_х)/T_н\). Работа за цикл пропорциональна КПД при одном и том же количестве затраченной теплоты.

\(250\) Дж.

КПД идеального двигателя \(\eta_{ид} = \dfrac{T_н - T_х}{T_н} = \dfrac{A_{ид}}{Q_з}\), где \(A_{ид}\) — работа идеального двигателя за один цикл, \(Q_з\) — затраченная энергия (одинаковая для обоих двигателей). Работа, необходимая для подъёма груза на высоту \(3\) м: \(mgh = 4A_{ид}\). Тогда работа неидеального двигателя \[A_{неид} = \eta_{неид} Q_з = \eta_{неид}\frac{A_{ид}}{\eta_{ид}} = \frac{\eta_{неид} mgh}{4\eta_{ид}} = 250~\text{Дж}.\]

Выразите КПД через отданное холодильнику тепло и подставьте новое значение. Грузоподъёмность пропорциональна полезной работе при одинаковом затраченном тепле.

\(1{,}167\).

Выразим \(Q_х\) из КПД: \(\eta_1 = \dfrac{Q_н - Q_х}{Q_н}\), откуда \(Q_х = Q_н(1 - \eta_1)\). После уменьшения \(Q_х\) в два раза КПД \[\eta_2 = \frac{Q_н - \frac{1}{2}Q_х}{Q_н} = 0{,}5 + 0{,}5\eta_1 = 0{,}875.\] Полезная работа, отнесённая к одинаковой затраченной энергии, даёт отношение сил: \(\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{\eta_2}{\eta_1} = \dfrac{0{,}5 + 0{,}5\eta_1}{\eta_1} = 1{,}167\).

Работа двигателей идёт на преодоление силы сопротивления на пути. Сравните пути через КПД двигателей, которые пропорциональны затраченной энергии.

\(2\).

Работа двигателей обоих тепловозов равна работе сил сопротивления, которые пропорциональны весу тепловоза: \(A_1 = \eta_1 Q_з = \mu m g S_1\), \(A_{ид} = \eta_{ид} Q_з = \mu m g S_{ид}\), где \(S\) — пройденный путь, \(Q_з\) — количество теплоты при сгорании угля, \(\eta_{ид} = \dfrac{T_н - T_х}{T_н} = 0{,}8\). Тогда \[\frac{S_{ид}}{S_1} = \frac{\eta_{ид}}{\eta_1} = \frac{0{,}8}{0{,}4} = 2.\]