зад 1 Банка в воде
Трёхлитровая стеклянная банка плавает в воде, оставаясь вертикальной. Считая, что масса банки \(m=1\) кг, а площадь её нижнего основания \(S=0{,}02\) м\(^2\), определите разницу давлений на нижнее основание банки со стороны воды и со стороны атмосферы.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия банки: сила давления воды снизу уравновешивает силу атмосферного давления сверху и вес банки.
▶ОтветСкрыть
\(\Delta p=\dfrac{mg}{S}=500\) Па.
▶РешениеСкрыть
Запишем условие равновесия банки: \(pS=p_0S+mg\), где \(p\) — давление жидкости на нижнее основание банки, \(p_0\) — атмосферное давление. Тогда разность давлений \[p-p_0=\frac{mg}{S}=\frac{10}{0{,}02}=500~\text{Па}.\]
зад 2 Теплоёмкость процесса с работой над гелием
Два моля гелия участвуют в некотором термодинамическом процессе, в котором над газом совершается работа \(500\) Дж. По окончании процесса температура гелия увеличилась на \(10^\circ\)C. Чему равна молярная теплоёмкость этого процесса, если известно, что она не зависит от параметров состояния гелия? Универсальная газовая постоянная \(R=8{,}3\) Дж/К.
▶ПодсказкаСкрыть
Молярная теплоёмкость — это \(c=\dfrac{Q}{\nu\,\Delta T}\). Для одноатомного газа \(\Delta U=\dfrac32\nu R\,\Delta T\), а работу, совершённую над газом, нужно учесть в первом начале термодинамики со знаком минус.
▶ОтветСкрыть
\(c_\mu=\dfrac32R-\dfrac{|A'|}{\nu\,\Delta T}\approx-12{,}55\) Дж/(моль\(\cdot\)К).
▶РешениеСкрыть
Молярная теплоёмкость одноатомного газа находится по формуле \(c_\mu=\dfrac{Q}{\nu\,\Delta T}\), где \(Q=\Delta U+A\), \(\Delta U=\dfrac32\nu R\,\Delta T\), работа газа \(A=-|A'|<0\). Отсюда \[c_\mu=\frac32R-\frac{|A'|}{\nu\,\Delta T}.\] Численный расчёт: \[c_\mu=1{,}5\cdot8{,}3-\frac{500}{2\cdot10}=-12{,}55~\text{Дж/(моль$\cdot$К)}.\]
зад 3 Два автомобиля и мотоцикл
Два автомобиля A и B движутся по одной прямой дороге в одну сторону со скоростями \(V\) и \(2V\). По другой прямой дороге едет мотоцикл C со скоростью \(3V\). При этом в течение всего времени движения мотоцикл находится в вершине равнобедренного треугольника ABC (\(AC=BC\)). Определите угол между дорогами.
▶ПодсказкаСкрыть
Для того чтобы треугольник оставался равнобедренным, проекция скорости мотоцикла на первую дорогу должна совпадать с полусуммой проекций скоростей автомобилей.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha=60^\circ\).
▶РешениеСкрыть
Разложим скорость мотоцикла C по осям \(x\) и \(y\) (см. рис.). Чтобы треугольник ABC оставался равнобедренным, проекция скорости мотоцикла должна быть равна \(V_{3x}=\dfrac{V_1+V_2}{2}=\dfrac{3V}{2}\). Тогда \[\cos\alpha=\frac{V_{3x}}{V_3}=\frac{V_1+V_2}{2V_3}=\frac12,\quad \alpha=60^\circ.\]
зад 4 Политропа через три состояния газа
Порция идеального газа в состоянии 1 занимает объём \(V_1\) при давлении \(p_1\) и абсолютной температуре \(T_1\). Газ сжимают при постоянном давлении до состояния 2, в котором его абсолютная температура уменьшилась в 4 раза. Затем происходит охлаждение газа при постоянном объёме до состояния 3, в котором его давление равно \(p_1/2\). Из состояния 3 газ возвращается в состояние 1 по политропе, уравнение которой \(pV^n=\text{const}\). Определите показатель политропы \(n\). Постройте с учётом масштаба графики процесса 1-2-3-1 в координатах \(pV\) (давление \(p\) — по оси ординат, а объём \(V\) — по оси абсцисс) и \(pU\) (давление \(p\) — по оси ординат, а внутренняя энергия \(U\) — по оси абсцисс). Считайте внутреннюю энергию данной порции газа в состоянии 1 известной и равной \(U_1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите параметры состояний 2 и 3 через \(p_1\), \(V_1\), \(T_1\), затем подставьте состояние 3 и состояние 1 в уравнение политропы. Учтите, что \(U\) пропорциональна температуре.
▶ОтветСкрыть
\(n=-\dfrac12\) (политропа \(p\sim\sqrt V\), или \(p\sim\sqrt[3]{T}\sim\sqrt[3]{U}\)); графики — см. решение.
▶РешениеСкрыть
1) Параметры состояний: в состоянии 2 \(p_2=p_1\), \(V_2=\dfrac{V_1}{4}\), \(T_2=\dfrac{T_1}{4}\); в состоянии 3 \(p_3=\dfrac{p_1}{2}\), \(V_3=\dfrac{V_1}{4}\), \(T_3=\dfrac{T_1}{8}\).
2) Найдём \(n\): \(p_3V_3^n=p_1V_1^n\), откуда \(\dfrac{p_1}{2}\left(\dfrac{V_1}{4}\right)^n=p_1V_1^n\) и \(n=-\dfrac12\). Тогда уравнение процесса 3-1: \(p\sim\sqrt V\) или \(p\sim\sqrt[3]{T}\sim\sqrt[3]{U}\).
3) Графики процесса 1-2-3-1 в координатах \(pV\) (слева) и \(pU\) (справа):
зад 5 Три груза и два блока
Механическая система, изображённая на рисунке, состоит из трёх грузов массами \(3m\), \(2m\) и \(m\) и двух очень лёгких блоков, прикреплённых к грузам \(3m\) и \(2m\) соответственно. Система находится на гладкой горизонтальной поверхности. Определите силу натяжения нити, пропущенной через блоки, когда к грузу массой \(m\) приложена горизонтальная сила \(F=12\) Н. Считать, что нить невесома и нерастяжима, а не лежащие на блоках участки нити остаются горизонтальными в процессе поступательного движения грузов.
▶ПодсказкаСкрыть
Расставьте силы на каждом грузе и на каждом блоке: сила натяжения на блоке равна сумме натяжений выходящих из него участков нити. Учтите, что ускорения грузов связаны между собой.
▶ОтветСкрыть
\(T=\dfrac{F}{6}=2\) Н.
▶РешениеСкрыть
Расставим силы (см. рис.) и получим уравнения динамики для каждого груза, а также уравнение связи ускорений грузов: \[\begin{cases} 3T=3m\,a_1,\\ 2T=2m\,a_2,\\ F-T=m\,a_3,\\ a_3-3a_1-2a_2=0. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad T=\frac{F}{6}=2~\text{Н}.\]
зад 6 Клин и шарик
Клин массы \(m\) движется со скоростью \(v=4\) м/с по гладкой горизонтальной поверхности, как показано на рисунке. Клин упруго сталкивается с неподвижно лежащим на поверхности шариком массы \(4m\). Угол наклона клина \(\alpha=30^\circ\). На какую максимальную высоту \(H\) относительно горизонтальной поверхности подскочит шарик? Считать, что импульс клину передаётся только в горизонтальном направлении. Трение между шариком и клином отсутствует. Радиус шарика \(R\ll H\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сила со стороны клина на шарик направлена перпендикулярно наклонной поверхности. Запишите законы сохранения энергии и горизонтального импульса для упругого удара.
▶ОтветСкрыть
\(H=\dfrac{3v^2}{32g}\approx0{,}15\) м.
▶РешениеСкрыть
Так как трение между шариком и клином отсутствует, то во время столкновения на шарик со стороны клина действует сила \(N\), перпендикулярная поверхности клина, поэтому шарик приобретает скорость \(V\) под углом \(\alpha\) к вертикали (см. рис.). Скорость клина после столкновения обозначим \(u\). Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось \(x\): \[\begin{cases} \dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{4mV^2}{2}+\dfrac{mu^2}{2},\\[2mm] mv=4mV\sin\alpha+mu. \end{cases} \quad\Rightarrow\quad V=\frac{2v\sin\alpha}{1+4\sin^2\alpha}=\frac{v}{2}.\] Максимальная высота, на которую подпрыгнет шарик, равна \[H=\frac{V_y^2}{2g}=\frac{V^2\cos^2\alpha}{2g}=\frac{3v^2}{32g}=\frac{3\cdot16}{32\cdot10}\approx0{,}15~\text{м}.\]
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2018/19, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.