«Шаг в будущее», 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Выразите кинетическую энергию через импульс и массу. Сколько импульса получит тело за второй промежуток времени по сравнению с первым?

Ответ

\(30\).

Решение

Кинетическая энергия тела \(W_0 = \dfrac{P^2}{2m} = \dfrac{(F\,\Delta t)^2}{2m}\). Из этого выражения масса \(m = \dfrac{(F\,\Delta t)^2}{2W_0}\).

К концу второго интервала \(2\Delta t = 0{,}2\) с кинетическая энергия тела станет равна \[W_1 = \frac{(F\cdot 2\Delta t)^2}{2m} = \frac{(F\cdot 2\Delta t)^2}{2(F\Delta t)^2}\,2W_0 = 4W_0 .\] Приращение кинетической энергии за следующий интервал \(\Delta t = 0{,}1\) с: \[\Delta W = W_1 - W_0 = 4W_0 - W_0 = 3W_0 = 3\cdot 10 = 30~\text{Дж}.\]

Подсказка

Какая энергия выделяется при неупругом столкновении стержней? Сравните её с тем, что нужно для нагрева стержней на \(\Delta T\) при их массе \(m\) каждого.

Ответ

\(\Delta T = 0{,}05\) К.

Решение

Количество теплоты \(Q\), выделяющееся при абсолютно неупругом столкновении стержней, равно уменьшению потенциальной энергии системы, считая при этом, что вся теплота идёт на нагревание стержней: \[Q = \Delta U = 2mg\,\frac{L}{2} = mgL,\] где \(L = 1{,}3\) м — длина стержня.

Из уравнения теплового баланса находим, на сколько градусов повысится температура стержней: \[\Delta T = \frac{Q}{2mc} = \frac{mgL}{2mc} = \frac{gL}{2c} = \frac{10\cdot 1{,}3}{2\cdot 130} = 0{,}05~\text{К},\] где \(c = 130\) Дж/(кг\(\cdot\)град) — теплоёмкость свинца.

Подсказка

Сравните внутреннюю энергию газа из двухатомных молекул и из одноатомных атомов при одинаковом числе частиц. Энергия, выделившаяся при распаде, идёт именно на внутреннюю энергию.

Ответ

\(T_2 \approx 2569\) К.

Решение

Внутренняя энергия газа \(U\) увеличивается за счёт энергии, которая выделяется при распаде молекул азота. Пусть \(N\) — число молекул азота при температуре \(T_1\). Тогда \[U_1 = \frac{5}{2}\,N k T_1 \qquad (1).\] После распада молекул \[U_2 = U_1 + qN = \frac{3}{2}\,2N k T_2 \qquad (2).\] Из этих соотношений находим \[\frac{3}{2}\,2N k T_2 = \frac{5}{2}\,N k T_1 + qN,\] откуда \[T_2 = \frac{5}{6}T_1 + \frac{q}{3k} = \frac{5}{6}\cdot 300 + \frac{0{,}6\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}}{3\cdot 1{,}38\cdot 10^{-23}} \approx 2569~\text{К}.\]

Подсказка

Работа в процессе 2–3 равна площади под графиком. Что можно сказать о внутренней энергии в состояниях 1 и 3? Как связаны \(\Delta U_{12}\) и \(\Delta U_{23}\)?

Ответ

\(Q_{12} = -\dfrac{3}{4}Q_{23} + A_{12} = 50\) Дж.

Решение

Работа в процессе 2–3 равна площади под графиком. Найдём её как разность площадей двух треугольников: \[A_{23} = \frac{1}{2}P_3V_3 - \frac{1}{2}P_2V_2 = \frac{1}{2}\nu R(T_3 - T_2) = \frac{1}{2}\nu R\,\Delta T.\] Тогда \[Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T + \frac{1}{2}\nu R\,\Delta T = 2\nu R\,\Delta T .\] Следовательно, \[A_{23} = \frac{1}{4}Q_{23} = 50~\text{Дж}; \qquad \Delta U_{23} = \frac{3}{4}Q_{23} = 150~\text{Дж}.\] Так как температуры в состояниях 1 и 3 одинаковы, \(\Delta U_{12} = -\Delta U_{23}\), поэтому \[Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = -\Delta U_{23} + A_{12} = -\frac{3}{4}Q_{23} + A_{12} = 50~\text{Дж}.\]

Подсказка

Какие пластины имеют одинаковый потенциал? Из скольких простых конденсаторов можно составить батарею и как они соединены?

Ответ

\(\Delta q = \dfrac{\varepsilon_0 S\mathcal{E}}{6d}\).

Решение

Образовавшийся сложный конденсатор (рис. 1) можно рассматривать как батарею из трёх конденсаторов одинаковой ёмкости \(C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) (рис. 2): конденсатор I (пластины 2 и 3), конденсатор II (пластины 1 и 2) и конденсатор III (пластины 3 и 4). Конденсаторы I и II соединены параллельно: пластины 1 и 3 имеют равные потенциалы (т. к. они соединены проводником), а пластина 2 у них общая; конденсатор III присоединён к этой паре последовательно.

Ёмкость конденсатора \(C_1 = \dfrac{2}{3}C_0 = \dfrac{2}{3}\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\).

После заполнения конденсатора I диэлектриком ёмкость батареи станет равна \(C_2 = \dfrac{1+\varepsilon}{2+\varepsilon}C_0\).

Заряд батареи до заполнения конденсатора диэлектриком \(q_1 = C_1\mathcal{E} = \dfrac{2}{3}C_0\mathcal{E}\).

Заряд батареи после заполнения конденсатора диэлектриком \(q_2 = C_2\mathcal{E} = \dfrac{1+\varepsilon}{2+\varepsilon}C_0\mathcal{E}\).

Разность зарядов батареи \[\Delta q = q_2 - q_1 = \frac{1+\varepsilon}{2+\varepsilon}C_0\mathcal{E} - \frac{2}{3}C_0\mathcal{E} = C_0\mathcal{E}\,\frac{\varepsilon-1}{(2+\varepsilon)\cdot 3}.\] Этот заряд пройдёт через источник тока. При \(\varepsilon = 4\) \[\Delta q = \varepsilon_0\,\frac{S\mathcal{E}}{6d}.\]

Подсказка

Какие моменты сил действуют на кольцо относительно точки касания с поверхностью? Что должно произойти, чтобы кольцо начало поворачиваться и подниматься?

Ответ

\(B = \dfrac{mg}{I\pi R}\).

Решение

На кольцо с током в магнитном поле действует момент сил Ампера, равный \(I\pi R^2 B\), и момент силы тяжести, равный \(mgR\). Из условия равновесия кольца, при нарушении которого начнётся подъём кольца, \[I\pi R^2 B = mgR,\] находим \[B = \frac{mg}{I\pi R}.\]