«Шаг в будущее», 2018/19, заключительный этап, 8 класс

Запишите, сколько теплоты нужно на плавление льда, на нагрев всей воды до кипения и на испарение всей воды. Приравняйте сумму к \(Q(\tau)\).

\(\tau = 1862\) с \(\approx 31\) мин.

Выразим количество теплоты, которое получит смесь воды и льда к моменту времени \(\tau\), когда вся смесь испарится, через затраты на плавление льда, нагрев и испарение всей воды: \[Q = 1{,}25\,\tau^2 = m_л\lambda_л + (m_в + m_л)c_в\Delta T + (m_в + m_л)r_в,\] откуда \[\tau = \sqrt{\frac{m_л\lambda_л + (m_в + m_л)c_в\Delta T + (m_в + m_л)r_в}{1{,}25}} = 1862~\text{с} \approx 31~\text{мин}.\]

Как изменится объём ртути при нагреве на \(\Delta T\)? На какую высоту поднимется этот объём в капилляре заданного диаметра?

\(T + \Delta T \approx 40{,}5\,\)°C (\(\Delta T \approx 10{,}5\,\)°C).

Увеличение объёма ртути при нагреве на \(\Delta T\) с учётом коэффициента температурного расширения \(k\) составит \[\Delta V = V\cdot k\,\Delta T = \frac{m}{\rho}\cdot k\,\Delta T,\] причём весь этот объём пойдёт на заполнение объёма капилляра: \[\Delta V = l\cdot\frac{\pi d^2}{4},\] откуда \[\Delta T = \frac{\pi d^2 l\rho}{4mk} \approx 10{,}5\,\text{°C}.\] Тогда максимальная температура, до которой можно проградуировать такой термометр, составляет \[T + \Delta T = 40{,}5\,\text{°C}.\]

Сколько теплоты выделится при сгорании бензина за 5 минут? Вся эта теплота идёт на нагрев двигателя от \(-10\,\)°C до \(40\,\)°C.

\(c_{\text{дв}} \approx 417\) Дж/(кг\(\cdot\)°C).

Выразим количество теплоты, выделяемое в ходе сгорания топлива за 5 минут (\(\frac{1}{12}\) ч) при \(V = 1\) л \(= 10^{-3}\) м\(^3\): \[Q = \frac{1}{12}\,q_{\text{бенз}}V_{\text{бенз}}\rho_{\text{бенз}}.\] Всё это количество теплоты пойдёт на нагрев двигателя: \[Q = c_{\text{дв}}\,m_{\text{дв}}\,\Delta T, \qquad \Delta T = 40 - (-10) = 50\,\text{°C},\] откуда среднюю удельную теплоёмкость двигателя \[c_{\text{дв}} = \frac{q_{\text{бенз}}V_{\text{бенз}}\rho_{\text{бенз}}}{12\,m_{\text{дв}}\Delta T} \approx 417~\frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°C}}.\]

Сколько граней излучает тепло и сколько поглощает? При установившейся температуре поглощаемая мощность равна излучаемой.

\(T \approx 249\) К \(\approx -24\,\)°C.

Чугунный кубик будет поглощать тепловую энергию только одной своей гранью, при этом излучать он будет всеми гранями. При нагреве до искомой температуры вся поглощаемая мощность \(N_{\text{погл}}\) (1300 Вт с 1 м\(^2\) освещённой грани) будет излучаться: \[6\cdot\sigma T^4 = N_{\text{погл}}.\] Откуда выразим температуру и переведём в градусы Цельсия: \[T = \sqrt[4]{\frac{N_{\text{погл}}}{6\sigma}} \approx 249~\text{К} = -24\,\text{°C}.\]

Пересчитайте расход электрокара на 100 км. Сколько угля сжигается на электростанции, чтобы получить эту энергию? Сравните с теплотой сгорания бензина на 100 км.

\(\dfrac{Q_2}{Q_1} \approx 0{,}79\).

Выразим количество тепловой энергии, необходимое для перемещения электрокара на \(S = 100\) км, если на 425 км он расходует \(Q = 62\) кВт\(\cdot\)ч, а \(m_{\text{уг}} = 0{,}5\) кг угля на 1 кВт\(\cdot\)ч, \(S_{425} = 425\) км: \[Q_1 = Q\,\frac{S}{S_{425}}\,q_{\text{уг}}m_{\text{уг}}.\] Выразим количество тепловой энергии, необходимое для перемещения автомобиля на 100 км: \[Q_2 = q_{\text{бенз}}V_{\text{бенз}}\rho_{\text{бенз}}.\] Составим отношение: \[\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{q_{\text{бенз}}V_{\text{бенз}}\rho_{\text{бенз}}}{Q\,\dfrac{S}{S_{425}}\,q_{\text{уг}}m_{\text{уг}}} \approx 0{,}79.\]