«Шаг в будущее», 2018/19, заключительный этап, 9 класс

Запишите условие плавания бруска в воде и в неизвестной жидкости. Учтите, что глубина погружения в жидкости меньше на \(h\).

\(\rho_ж = \dfrac{\rho_д\,l}{\dfrac{\rho_д}{\rho_в}\,l - h} \approx 1059\) кг/м\(^3\).

В обоих случаях выполняется условие равновесия \[\rho_д\,g\,S\,l = \rho_в\,g\,S\,x = \rho_ж\,g\,S\,(x - h),\] здесь \(x\) — длина погружённой в жидкость части бруска. Решая эти уравнения, получим \[\rho_ж = \frac{\rho_д\,l}{\dfrac{\rho_д}{\rho_в}\,l - h} \approx 1059~\text{кг/м}^3.\]

Запишите количество теплоты, отданное шариком, и количества теплоты, полученные водой и калориметром. Тепловые потери входят в баланс отдельным слагаемым.

\(t \approx 1300\,\)°C (по официальному решению).

Уравнение теплового баланса имеет вид \[(c_в m + c_{Al} M)(t_2 - t_1) + Q = c_{ст}\,m_ш\,(t - t_2).\] Температура нагревателя: \[t = \frac{(c_в m + c_{Al} M)(t_2 - t_1) + Q + c_{ст}\,m_ш\,t_2}{c_{ст}\,m_ш} \approx 1300\,\text{°C}.\]

Тепловая мощность при постоянном напряжении обратно пропорциональна сопротивлению цепи. Как сопротивления полуколец и перемычки соединены между собой?

\(\dfrac{\Delta P}{P} = \dfrac{\pi}{4+\pi} \approx 44\,\%\).

Мощность в цепи обратно пропорциональна сопротивлению цепи. Сопротивление участка цепи прямо пропорционально длине участка. Относительное изменение тепловой мощности может быть рассчитано как \[\frac{\Delta P}{P} = \frac{\dfrac{U^2}{R} - \dfrac{U^2}{R'}}{\dfrac{U^2}{R}} = \frac{R' - R}{R'} = 1 - \frac{R}{R'},\] где \(R\) — значение сопротивления цепи до перерезания перемычки, \(R'\) — значение сопротивления цепи после перерезания перемычки.

Обозначим через \(D\) диаметр кольца, через \(\rho\) — удельное сопротивление проволоки, через \(S\) — площадь поперечного сечения проволоки кольца. Тогда \[\frac{\Delta P}{P} = 1 - \frac{4\,S\pi D\rho}{S\pi D\rho\,(4+\pi)} = 1 - \frac{4}{4+\pi} = \frac{\pi}{4+\pi} \approx 44\,\%.\]

Тележка начинает двигаться только тогда, когда внешняя сила сравняется с силой трения. Найдите этот момент времени и учтите, что ускорение растёт линейно.

\(V \approx 80\) м/с.

Запишем закон изменения внешней силы с течением времени: \[F = F_0 + \frac{F_1 - F_0}{\tau}\,t.\] Тележка начала движение в тот момент времени \(t'\), когда приложенная сила стала равна силе трения скольжения: \[F_0 + \frac{F_1 - F_0}{\tau}\,t' = \mu m g, \qquad t' = \frac{\tau(\mu m g - F_0)}{F_1 - F_0}.\] К концу второй минуты ускорение тележки стало равным \[a = \frac{F_1 - \mu m g}{m}.\] Учитывая линейность нарастания ускорения во времени, получим для скорости к концу второй минуты \[V = \frac{a(\tau - t')}{2} = \frac{F_1 - \mu m g}{2m}\left[\tau - \frac{\tau(\mu m g - F_0)}{F_1 - F_0}\right] = \frac{(F_1 - \mu m g)^2\,\tau}{2m\,(F_1 - F_0)} \approx 80~\text{м/с}.\]

При постоянной скорости сумма сил, действующих на шарик, равна нулю. Какие силы действуют на шарик, кроме силы тяжести и силы Архимеда?

\(\dfrac{\rho_ш}{\rho_ж} \approx 6{,}5\).

Запишем уравнение динамики движения шарика в жидкости (здесь \(V_ш\) — объём шарика, \(v\) — его скорость): \[V_ш\,\rho_ш\,g = V_ш\,\rho_ж\,g + k\,v.\] Разделим обе части уравнения на \(V_ш\rho_ш g\): \[\frac{\rho_ж}{\rho_ш} = 1 - \frac{k\,v}{V_ш\,g\,\rho_ш} = 1 - \frac{0{,}003\cdot 5{,}5}{0{,}25\cdot 10^{-6}\cdot 10\cdot 7800} \approx 0{,}154.\] Обратное отношение равно \(\dfrac{\rho_ш}{\rho_ж} \approx 6{,}5\).

Перейдите в систему отсчёта, связанную с Удавом: в ней Мартышка проходит путь до хвоста и обратно с разными относительными скоростями.

\(V_м \approx 7\) м/мин \(\approx 12\) см/с (по официальному решению).

Скорость Удава относительно земли в системе единиц «Джунгли» равна 20 попугаев в минуту. Свяжем подвижную систему отсчёта с Удавом, поместив начало отсчёта в голову Удава при положительном направлении в сторону движения Удава. Тогда для движения Мартышки в системе отсчёта, связанной с землёй, имеем: \[-V_м\tau_1 = -L_у + V\tau_1, \qquad V_м\tau_2 = L_у + V\tau_2, \qquad \tau_1 + \tau_2 = \tau.\] Решая полученную систему уравнений, получим \[V_м = \frac{2L_у + V\tau + \sqrt{(2L_у + V\tau)^2 + 8(V\tau)^2}}{2\tau} \approx 35~\frac{\text{попугаев}}{\text{минута}} = 7~\frac{\text{м}}{\text{минута}} \approx 12~\frac{\text{см}}{\text{с}}.\]