«Шаг в будущее», 2019/20, отборочный этап, 10 класс

Средняя скорость равна пути, делённому на время. Найдите полное время движения и путь, пройденный за его первую половину.

\(8\) км/ч.

Все время движения \(T = 2\) ч. Тогда за первый час она прошла расстояние \(S = 5 + 9 \cdot \frac{1}{3} = 8\) км. \(v_{ср} = \frac{2S}{T} = 8\) км/ч.

Сила притяжения пропорциональна массе тела и обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты. Расстояния от \(C\) до спутников связаны с углами треугольника \(ABC\) через теорему синусов.

\(3\).

Обозначим: \(m_1\) — массу большего спутника, находящегося в точке \(A\), а \(m_2\) — массу меньшего спутника, находящегося в точке \(B\), \(M\) — массу планеты, находящейся в точке \(C\); \(r_1 = AC\), \(r_2 = BC\); \(\angle ACB = \gamma = 75^\circ\), \(\angle CAB = \beta = 60^\circ\). Тогда \(\angle CBA = \alpha = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 45^\circ\). Отношение сил притяжения равно \[\frac{F_1}{F_2} = \frac{G\frac{m_1 M}{r_1^2}}{G\frac{m_2 M}{r_2^2}} = \frac{m_1}{m_2}\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2}\left(\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}\right)^2 = 2\left(\frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}\right)^2 = 3.\]

За большой промежуток времени импульс корабля в поперечном направлении меняется за счёт всех снарядов, вылетевших с обоих бортов. Учтите, что борта стреляют в противоположные стороны.

\(3\) кН.

Запишем закон изменения импульса корабля в направлении, перпендикулярном направлению движения, за большое время \(\Delta t\): \[F_x \Delta t = m_1 v_1 N_1 n_1 \Delta t - m_2 v_2 N_2 n_2 \Delta t, \quad \Rightarrow \quad F = \left| m_1 v_1 N_1 n_1 - m_2 v_2 N_2 n_2 \right| = 3~\text{кН}.\] Замечание. В формулу следует подставлять \(n_1 = \frac{4}{60}\) с\(^{-1}\) и \(n_2 = \frac{2}{60}\) с\(^{-1}\).

Путь складывается из участка равноускоренного движения и участка равномерного движения. Выразите полный путь через \(v\) и \(\tau\), затем найдите момент, когда объект проходит половину пути.

\(60\) м/с.

Пусть \(a\) — ускорение НЛО, тогда достигнутая скорость \(v = a\tau\). Весь путь, пройденный НЛО за время \(2\tau\), равен \(S = \frac{v(2\tau + \tau)}{2} = \frac{3v\tau}{2}\). Найдём время \(t_0\), за которое НЛО пройдёт первую половину пути: \[\frac{S}{2} = \frac{v\left(t_0 + (t_0 - \tau)\right)}{2}, \quad \Rightarrow \quad t_0 = \frac{5\tau}{4}.\] Тогда \(v_{ср} = \frac{S/2}{t_0} = \frac{3}{5}v = 60\) м/с.

Запишите второй закон Ньютона для шарика в проекциях на вертикаль и на горизонтальное направление к оси; центростремительное ускорение направлено к оси вращения.

\(5\) рад/с.

Обозначим: \(m\) — массу шарика, \(T_1\) и \(T_2 = 2T_1\) — силы натяжения нитей 1 и 2. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси координат: \[\begin{cases} T_1 \sin\alpha + 2T_1 \sin\beta = m\omega^2 r, \\ T_1 \cos\alpha + 2T_1 \cos\beta = mg. \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{\frac{g}{r} \cdot \frac{\sin\alpha + 2\sin\beta}{\cos\alpha + 2\cos\beta}} = 5~\text{рад/с}.\]

Пока вторая тележка прижата к стене, стена действует на систему внешней силой. Сначала найдите скорость первой тележки в момент, когда пружина станет недеформированной, затем используйте закон сохранения импульса.

\(0{,}2\) м/с.

Найдём скорость тележки 1 \(v_1\) в момент, когда пружина окажется недеформированной: \[\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{k x_0^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v_1 = x_0\sqrt{\frac{k}{m_1}}.\] Тогда скорость центра масс системы равна \[v_{цм} = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{x_0\sqrt{k m_1}}{m_1 + m_2} = 0{,}2~\text{м/с}.\]

Дрон движется по той же траектории, что и камень. Его ускорение при постоянной скорости направлено к центру кривизны траектории, поэтому нужен радиус кривизны параболы в этой точке. Нормальную составляющую ускорения камня выразите через его скорость и угол.

\(5\) м/с\(^2\).

Посчитаем радиус кривизны параболы, по которой движется камень, в искомой точке. Для этого запишем выражение для нормального ускорения камня: \[a_n = \frac{v^2}{R} = g\cos\varphi = g\frac{v_x}{v} = g\frac{v_0}{v},\] где \(\varphi\) — угол, который образует вектор скорости камня \(\vec{v}\) с горизонтальной осью \(x\), \(v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}\) — скорость камня в искомой точке. \(\Rightarrow\) \(R = \dfrac{v^3}{g v_0}\). Тогда ускорение дрона равно \[a = \frac{u^2}{R} = \frac{u^2 g v_0}{\left(v_0^2 + 2gh\right)^{3/2}} = 5~\text{м/с}^2.\]

Ускорение системы найдите по второму закону Ньютона для всей системы. Пружину разбейте на малые части: каждая часть испытывает свою силу упругости, зависящую от того, сколько витков приложено к её концу.

\(3{,}5\) см.

Обозначим массу груза и массу пружины \(m\). Тогда ускорение системы \(a = \dfrac{F_1 - F_2}{2m}\). Разобьём пружину на большое количество \(N\) одинаковых маленьких кусочков (например, один кусочек пружины — один виток), жёсткость каждого такого кусочка равна \(kN\). Пронумеруем кусочки \(i = 1, 2, \ldots, N\), начиная с конца пружины, к которому приложена сила \(F_1\). Пусть \(T_i\) — сила упругости, действующая на \(i\) кусочков. Тогда \[F_1 - T_i = \frac{mi}{N} a = \frac{(F_1 - F_2)}{2N} i, \quad \Rightarrow \quad T_i = F_1 - \frac{(F_1 - F_2)}{2N} i.\] Растяжение пружины \(x = \sum_{i=1}^{N} x_i = \sum_{i=1}^{N} \dfrac{T_i}{kN}\), откуда \[x = \sum_{i=1}^{N} \frac{F_1}{kN} - \sum_{i=1}^{N} \frac{(F_1 - F_2)}{2kN^2} i.\] Воспользуемся тем, что \(\sum_{i=1}^{N} i = \dfrac{N(N+1)}{2} \approx \dfrac{N^2}{2}\) при \(N \gg 1\). Тогда \[x = \frac{3F_1 + F_2}{4k} = 0{,}035~\text{м} = 3{,}5~\text{см}.\]

Обозначьте токи во всех ветвях и составьте уравнения по правилам Кирхгофа. Учтите, что диод пропускает ток только в одном направлении, и проверьте, открыт ли он в этой схеме.

\(1{,}2\) мА.

Обозначим токи в цепи, как на рисунке официального решения: \(I_д\) — ток через диод, \(I_1\) — через средний вертикальный резистор, \(I_2\) — через верхний правый резистор, \(I_3\) и \(I_4\) — через нижние резисторы. Тогда \[I_3 R = I_1 R \Rightarrow I_3 = I_1; \qquad I_4 = I_3 + I_1 = 2I_1;\] \[I_3 R + I_4 R = U \Rightarrow 3I_1 R = U \Rightarrow I_1 = \frac{U}{3R}; \qquad I_2 R = U \Rightarrow I_2 = \frac{U}{R}.\] \[I_д = I_1 + I_2 = \frac{U}{3R} + \frac{U}{R} = \frac{4U}{3R} = 1{,}2~\text{мА}.\]