«Шаг в будущее», 2019/20, отборочный этап, 9 класс

Сравните тепло, которое выделится при затвердевании свинца и при остывании его до температуры плавления олова, с теплотой, нужной для плавления всего олова.

\(612\) г.

При кристаллизации всей массы свинца выделится количество теплоты \[Q_1 = \lambda_{\text{Pb}} m_{\text{Pb}} = 25~\text{кДж}.\] Для расплавления всей массы олова требуется \[Q_2 = \lambda_{\text{Sn}} m_{\text{Sn}} = 60{,}7~\text{кДж}.\] При остывании кристаллизовавшегося свинца до температуры плавления олова может выделиться \[Q_1' = c_{\text{Pb}} m_{\text{Pb}} (t_{\text{Pb}} - t_{\text{Sn}}) = 12{,}16~\text{кДж}.\] Видно, что \(Q_1 + Q_1' < Q_2\). Это значит, что расплавится \[m_{\text{Sn}}' = \frac{Q_1 + Q_1'}{\lambda_{\text{Sn}}} \approx 612~\text{г}\] олова.

Сначала найдите, до какого уровня поднимется исходная вода после погружения куба. Затем запишите условие начала всплывания куба.

\(12{,}8\) кг.

Уровень воды после опускания ледяного куба: \[d^2 h = (d^2 - a^2) h_1, \qquad h_1 = \frac{d^2 h}{d^2 - a^2}.\] Условие всплывания ледяного куба: \[\rho_{\text{л}} a^3 g = \rho_{\text{в}} a^2 H g,\] где \(H\) — уровень воды, установившийся после доливания. Масса доливаемой воды: \[m = \rho_{\text{в}} (d^2 - a^2)(H - h_1) = \rho_{\text{в}} (d^2 - a^2) \left(\frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}} a - \frac{d^2 h}{d^2 - a^2}\right) \approx 12{,}8~\text{кг}.\]

Стальная трубка и медный стержень соединены параллельно между торцами. Сложите проводимости.

\(3{,}8\) мОм.

Сопротивление провода определяется как \(R = \dfrac{\rho L}{S}\), где \(S\) — площадь поперечного сечения провода. В нашем случае сопротивление комбинированного провода рассчитывается как сопротивление параллельно включенных медного и стального проводников: \[R = \frac{\dfrac{\rho_{\text{с}} 4L}{\pi (D^2 - d^2)} \cdot \dfrac{\rho_{\text{м}} 4L}{\pi d^2}}{\dfrac{\rho_{\text{с}} 4L}{\pi (D^2 - d^2)} + \dfrac{\rho_{\text{м}} 4L}{\pi d^2}} = \frac{4 L \rho_{\text{с}} \rho_{\text{м}}}{\pi [\rho_{\text{с}} d^2 + \rho_{\text{м}} (D^2 - d^2)]} \approx 3{,}8~\text{мОм}.\]

Угол между лучом и зеркалом дополняет угол падения до прямого. Угол падения равен углу отражения.

\(120\)°.

Угол между падающим и отраженным лучом равен удвоенному углу падения. Угол падения, как следует из условия, составляет две трети от прямого угла, т.е. равен \(60^\circ\). Значит, угол между падающим и отраженным лучами равен \(120^\circ\).

Скорость самолёта относительно земли по ветру равна сумме скоростей, а против ветра — их разности. Составьте два уравнения для времени.

\(7\).

Пусть расстояние между пунктами равно \(L\), а скорости самолета и ветра соответственно \(V\) и \(u\). Время движения самолета по ветру \(t_1 = \dfrac{L}{V + u}\), против ветра \(t_2 = \dfrac{L}{V - u}\). Разделив первое выражение на второе, получим \[\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - \dfrac{u}{V}}{1 + \dfrac{u}{V}}.\] Решая это уравнение относительно отношения скоростей, получим \[\frac{V}{u} = \frac{t_2 + t_1}{t_2 - t_1} = 7.\]

Для равноускоренного движения без начальной скорости скорость связана с пройденным путём формулой \(V^2 = 2as\).

\(5{,}2\) м/с.

Ускорение лыжника равно \[a = \frac{(\Delta V)^2}{2 s_1}.\] Скорость лыжника в конце пути \[V = \sqrt{2 a s} = \Delta V \sqrt{\frac{s}{s_1}} \approx 5{,}2~\text{м/с}.\]

Подумайте, в какую сторону сила трения направлена в момент начала движения вверх по плоскости, и разложите горизонтальную силу на составляющие вдоль и перпендикулярно плоскости.

\(2{,}1\) Н.

\[F = mg(\mu \cot\alpha - 1) \approx 2{,}1~\text{Н}.\]

Для двух положений линзы расстояние «предмет–экран» одно и то же. Сравните увеличения в этих положениях через формулу линзы.

\(15\) мм.

Увеличение линзы равно \(2\), т.е. отношение расстояний от линзы до объекта и до изображения тоже равно \(2\). В силу симметрии формулы \[\frac{1}{F} = \frac{1}{f} + \frac{1}{d}\] получим, что при перемещении линзы отношение расстояний от линзы до объекта и до изображения станет обратным, т.е. равным \(0{,}5\). Это значит, что изображение будет в \(2\) раза меньше, чем объект, и равным \(15\) мм.

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. Время на последнем участке выражается через его длину и скорость \(V_3\), а на подъёме — через половину оставшегося времени.

\(9{,}5\) км/ч.

Обозначим весь путь через \(S\). Тогда время движения на первом участке \(t_1 = \dfrac{S}{3V_1}\), время движения на оставшемся участке пути \(t = \dfrac{2S}{3(V_2 + V_3)}\). Для полного времени движения \[\frac{S}{V_{\text{ср}}} = \frac{S}{3V_1} + \frac{4S}{3(V_2 + V_3)}.\] Произведя вычисления, получим \(V_{\text{ср}} \approx 9{,}5\) км/ч.