зад 1 Тележка на конвейере
Тележка массой \(M = 1\) кг движется по неподвижному горизонтальному конвейеру. В момент \(t = 0\), когда тележка въезжает на конвейер и её скорость равна \(V_0 = 1{,}1\) м/с, на неё сверху опускается заготовка массой \(m = 100\) г. Через одну секунду в тележке под заготовкой открывается люк, и заготовка падает на конвейер, а люк закрывается. Какой путь пройдёт тележка за 2 секунды после начала движения? Силой трения между тележкой и конвейером пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Как меняется импульс системы тележка–заготовка, когда заготовка опускается на тележку? Что меняется, когда заготовка падает на конвейер через люк?
▶ОтветСкрыть
\(s = \dfrac{MV_0t}{M+m} = 2\) м.
▶РешениеСкрыть
Рассмотрим последовательно различные моменты движения тележки.
1) \(t \in [0, \tau]\), где \(\tau = 1\) с. Из закона сохранения импульса получим скорость тележки с заготовкой \(u_0\) в начальный момент, когда заготовка опустилась на тележку: \[MV_0 = (M + m)u_0, \quad u_0 = \frac{MV_0}{M + m} = 1~\text{м/с}, \quad s_1 = u_0\tau = 1~\text{м}.\]
2) \(t \in [\tau, 2\tau]\). После открывания люка скорость тележки не изменится: \[(M + m)u_0 = Mu + mu_0, \quad u = u_0.\] Путь тележки за \(t = 2\) с: \(s = 2s_1 = ut = 2\) м.
Ответ: \(s = \dfrac{MV_0t}{M + m} = 2\) м.
зад 2 Высота атмосферы Марса
В простейшей модели атмосферы Марса предполагается, что планету окружает тонкая атмосфера постоянной плотности. Какой в этой модели оказалась высота атмосферы Марса, если считать, что она состоит в основном из углекислого газа (молярная масса CO\(_2\) \(\mu = 44\cdot 10^{-3}\) кг/моль), температура атмосферы на поверхности Марса равна \(T = 300\) К? Известно также, что масса Марса составляет \(10{,}3\%\) от массы Земли, а его диаметр — \(53\%\) земного диаметра.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите давление у поверхности двумя способами: через уравнение состояния газа и через гидростатику. Ускорение свободного падения на Марсе найдите через его массу и радиус.
▶ОтветСкрыть
Допустимы ответы от 15 до 16 км.
▶РешениеСкрыть
Запишем формулы для давления атмосферы вблизи поверхности планеты: \[p = \frac{\rho}{\mu}RT \quad\text{и}\quad p = \rho g_M h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{RT}{\mu g_M}.\] Ускорение свободного падения вблизи поверхности планеты вычисляется по формуле \(g = \dfrac{GM}{R^2}\), поэтому \[g_M = g_З\,\frac{M_M}{M_З}\left(\frac{R_З}{R_M}\right)^2 = 9{,}8\cdot\frac{0{,}103}{(0{,}53)^2} \approx 3{,}6~\text{м/с}^2.\] \[h = \frac{8{,}31\cdot 300}{44\cdot 10^{-3}\cdot 3{,}6} \approx 15{,}7~\text{км}.\] Ответ: допустимы ответы от 15 до 16 км.
зад 3 Груз на двух стропах
При испытании парашютной системы груз подвесили на двух стропах так, что стропы составили с вертикалью одинаковые углы (см. рисунок). При этом сила натяжения каждой стропы равна \(T_1 = 1000\) Н. Затем одну из строп перерезали. В этот момент сила натяжения другой стропы возросла до величины \(T_2 = 1280\) Н. Пренебрегая размерами груза, определите его массу \(m\). Стропы считайте невесомыми и нерастяжимыми.
▶ПодсказкаСкрыть
Какова скорость груза в момент, когда перерезают одну из строп? Чему равна проекция силы тяжести на направление оставшейся стропы?
▶ОтветСкрыть
\(m = \dfrac{\sqrt{2T_1T_2}}{g} = 160\) кг (при \(g = 10\) м/с\(^2\)).
▶РешениеСкрыть
Условие равновесия груза, подвешенного на двух стропах: \(mg = 2T_1\cos\alpha\).
В момент, когда одну из строп перерезают, скорость груза равна нулю, и ускорение груза в проекции на направление второй оси (нормальное ускорение) равно нулю. Тогда в проекции на это направление \[T_2 = mg\cos\alpha.\] Отсюда \[m = \frac{\sqrt{2T_1T_2}}{g} = 160~\text{кг}.\]
зад 4 Время движения автомобиля
Автомобиль движется вдоль прямой из точки \(A\) в точку \(B\). График изменения его скорости \(v\) в зависимости от координаты \(x\) изображён на рисунке. Точка \(A\) находится в начале координат \(x = 0\), а координата точки \(B\) равна \(3x_0\). Значения \(v_0\) и \(x_0\) считайте известными. Движение автомобиля на интервале пути \([x_0, 2x_0]\) описывается обратно пропорциональной зависимостью: \(v \sim \dfrac{1}{x}\). Определите время прохождения автомобилем отрезка \(AB\).
▶ПодсказкаСкрыть
Чему равно время прохождения малого участка \(\Delta x\) при скорости \(v\)? Как построить график, площадь под которым даёт полное время?
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{9x_0}{2v_0}\).
▶РешениеСкрыть
Разобьём время движения автомобиля от точки \(A\) до точки \(B\) на малые промежутки \(\Delta t_i\), такие, что скорость движения за этот промежуток можно считать постоянной. Тогда \(\Delta t_i = v_i^{-1}\,\Delta l_i\), а полное время движения \(t = \sum_i \Delta t_i = \sum_i v_i^{-1}\,\Delta l_i\). Построим график функции \(v^{-1}(l)\) (см. рис.): время движения автомобиля равно площади под графиком. Получаем \[t_1 = \frac{x_0}{v_0}, \quad t_2 = \frac{3x_0}{2v_0}, \quad t_3 = \frac{2x_0}{v_0}.\] \[t = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{9x_0}{2v_0}.\]
зад 5 Гантель в углу
Гантель, представляющая собой два шарика массами \(2m\) и \(m\), соединённых невесомым стержнем длины \(L\), стоит в углу, образованном гладкими плоскостями, в положении неустойчивого равновесия (см. рис.). Гантель начинает падать из вертикального положения без начальной скорости. Определите силы давления нижнего шарика гантели на горизонтальную и вертикальную плоскости в момент, когда верхний шарик опустится по вертикали на \(h = 0{,}2L\). Радиусы шариков одинаковы и много меньше длины стержня гантели. Гантель падает в плоскости, перпендикулярной плоскостям угла, в котором она стояла.
▶ПодсказкаСкрыть
Нижний шарик прижат к углу стержнем, поэтому его можно считать неподвижным. Верхний шарик движется по окружности радиуса \(L\) вокруг нижнего: запишите закон сохранения энергии и второй закон Ньютона в проекции на стержень.
▶ОтветСкрыть
\(N_1 = 0{,}24\,mg = \dfrac{6}{25}mg\) (давление на вертикальную плоскость), \(N_2 = 2{,}32\,mg = \dfrac{59}{25}mg\) (давление на горизонтальную плоскость).
▶РешениеСкрыть
Предположим, что нижний шарик неподвижен. Тогда для него (см. рис.): \[x_1:\ N_1 - T\cos\alpha = 0, \qquad y_1:\ N_2 - T\sin\alpha - 2mg = 0.\] Верхний шарик движется по окружности радиуса \(L\): \[x_2:\ mg\sin\alpha - T = \frac{mv^2}{L}.\] Из закона сохранения энергии \[mgL = \frac{mv^2}{2} + mgL\sin\alpha.\] Из условия следует, что \(\sin\alpha = \dfrac{L - h}{L} = 0{,}8\), \(\cos\alpha = 0{,}6\). Тогда \(T = mg(3\sin\alpha - 2) = 0{,}4\,mg\), \[N_1 = T\cos\alpha = 0{,}24\,mg = \frac{6}{25}mg, \qquad N_2 = T\sin\alpha + 2mg = 2{,}32\,mg = \frac{59}{25}mg.\]
зад 6 Два газа под поршнем
Герметичный цилиндрический сосуд расположен горизонтально и разделён на два отсека легким теплонепроницаемым поршнем (см. рис.). Поршень может свободно перемещаться без трения. В левом отсеке находятся 2 моля гелия, а в правом — некоторое количество аргона (оба — идеальные одноатомные газы). Боковая поверхность сосуда теплоизолирована. К левому основанию сосуда подключён нагревательный элемент, а через правое основание аргон свободно обменивается теплом с окружающим воздухом. Начальные температуры газов одинаковы и равны температуре воздуха \(T_0\). Неподвижный в начальном состоянии поршень делит сосуд так, что объём гелия относится к объёму аргона как \(1{:}2\). После включения нагревательного элемента объём гелия увеличивается в два раза. Какое количество теплоты \(Q_1\) было подведено к гелию, если аргон через правое основание сосуда передал воздуху количество теплоты \(Q_2\), при этом температура окружающего воздуха оставалась постоянной и равной \(T_0\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Аргон обменивается теплом с воздухом при постоянной температуре \(T_0\): что можно сказать о его внутренней энергии? Работа, совершённая гелием, идёт на что?
▶ОтветСкрыть
\(Q_1 = 9RT_0 + |Q_2|\).
▶РешениеСкрыть
Запишем уравнения состояния газов.
Начальное состояние: He: \(p_0V_0 = 2RT_0\); Ar: \(p_0\cdot 2V_0 = \nu_\text{Ar}RT_0\), откуда \(\nu_\text{Ar} = 4\) моль.
Конечное состояние: He: \(p\cdot 2V_0 = 2RT\); Ar: \(pV_0 = \nu_\text{Ar}RT_0\), откуда \(T = 4T_0\).
Работа \(A\), совершаемая гелием, равна работе, совершаемой над аргоном. Процесс, совершаемый аргоном, — изотермический. Поэтому \(A = |Q_2|\). Тогда \[Q_1 = \Delta U + A = \frac{3}{2}\nu_\text{He}R(T - T_0) + A = \frac{9}{2}\nu_\text{He}RT_0 + |Q_2| = 9RT_0 + |Q_2|.\] Ответ: \(Q_1 = 9RT_0 + |Q_2|\).
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2019/20, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.