«Шаг в будущее», 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сравните периоды колебаний двух маятников: они зависят только от длины нити. За время \(\tau\) подсчитайте, сколько раз каждый шарик проходит положение равновесия, и учтите, что шарики сталкиваются именно там.

Ответ

5 столкновений.

Решение

1) Период колебаний первого маятника \(T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L_1}{g}}\).

2) Период колебаний второго маятника \(T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L_2}{g}}\).

Поскольку \(L_1 = 4L_2\), то \(T_1 = 2T_2\). За время, равное \(4\) с, произойдёт пять столкновений шариков.

Ответ: произошло \(5\) столкновений.

Подсказка

В системе сосуда свободная поверхность воды наклоняется так, что \(\mathrm{tg}\alpha = a/g\). Найдите уровень воды у перегородки с каждой стороны и сравните силы давления на неё, учитывая, что давление у поверхности равно атмосферному с обеих сторон.

Ответ

\(\Delta F = 9560\) Н.

Решение

Ускорение \(a\) сосуда задаёт наклон свободной поверхности: \(\dfrac{a}{g} = \dfrac{x}{L_1/2}\), откуда \(x = \dfrac{a\cdot L_1/2}{g} = \dfrac{0{,}4\cdot 1{,}0}{10} = 0{,}04\) м.

Слева от перегородки уровень воды равен \(h_1 + x = 1{,}04\) м, поэтому сила давления на перегородку слева \[F_1 = \rho g\,\frac{h_1 + x}{2}\, S_1, \qquad S_1 = 1{,}0\cdot 1{,}04 = 1{,}04~\text{м}^2,\] \[F_1 = 10^3\cdot 10\cdot\frac{1{,}04}{2}\cdot 1{,}04 = 10^4\cdot 0{,}54 = 5400~\text{Н}.\]

Справа от перегородки уровень воды равен \(h_2 - x/2 = 1{,}73\) м. Сила давления справа \[F_2 = \rho g\,\frac{1{,}73}{2}\, S_2, \qquad S_2 = 1{,}0\cdot 1{,}73~\text{м}^2,\] \[F_2 = 10^3\cdot 10\cdot\frac{1{,}73}{2}\cdot 1{,}73 = 10^4\cdot 1{,}496 = 14960~\text{Н}.\]

Результирующая сила давления воды на перегородку \[\Delta F = F_2 - F_1 = 14960 - 5400 = 9560~\text{Н}.\]

Подсказка

Колебания системы происходят около положения равновесия, где пружина не деформирована. Учтите кинетическую энергию вращения колеса при качении. Наибольшее натяжение нити соответствует нижней точке колебаний груза \(m_2\), где его ускорение направлено вверх.

Ответ

\(T = 5mg\).

Решение

1) Квадрат круговой частоты колебаний (с учётом вращения колеса, момент инерции обода \(I = mR^2\), и обоих грузов): \[\omega^2 = \frac{k}{m_1 + m_2 + 2m} = \frac{k}{m + 3m + 2m} = \frac{k}{6m}.\]

2) Амплитуда колебаний грузов \[A = \frac{(m_1 + m_2)\,g}{k} = \frac{4mg}{k}.\]

3) Максимальное ускорение \[a = A\omega^2 = \frac{4mg}{k}\cdot\frac{k}{6m} = \frac{2}{3}\,g.\]

4) Второй закон Ньютона для груза \(m_2\) в нижнем положении, где сила натяжения нити максимальна: \(m_2 a = T - m_2 g\), откуда \[T = m_2(g + a) = 3m\left(g + \frac{2}{3}g\right) = 5mg.\]

Подсказка

Найдите сопротивление цепи между точками 1 и 2 с помощью эквивалентных преобразований, пользуясь симметрией схемы. Далее мощность во внешней цепи выражается через ток в цепи и внешнее сопротивление.

Ответ

\(N = \dfrac{10E^2}{49r} \approx 0{,}73\) Вт.

Решение

Общее внешнее сопротивление цепи \[\frac{1}{R} = \frac{1}{r} + 3\cdot\frac{1}{2r} = \frac{1}{r}\cdot\frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2r}, \qquad R = \frac{2r}{5}.\]

Мощность во внешней цепи \(N = I^2 R\), ток в цепи \(I = \dfrac{E}{r + R} = \dfrac{5E}{7r}\). Искомая мощность \[N = \left(\frac{5E}{7r}\right)^2\cdot\frac{2r}{5} = \frac{10E^2}{49r}.\]

Подставляя \(E = 6\) В и \(r = 10\) Ом, получим \(N \approx 0{,}73\) Вт.

Подсказка

Длина перемычки между сторонами угла растёт пропорционально \(y\), поэтому и мощность в ней меняется линейно по времени. Для теплоты нужна средняя мощность за время движения от \(O\) до \(C\).

Ответ

\(Q = \dfrac{B^2 v L^2}{\rho\sqrt{3}}\).

Решение

1) Длина перемычки \(\ell = 2y\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}\), где \(\alpha = 60^\circ\). При \(y = L\): \(\ell_{\max} = 2L\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

2) Сопротивление перемычки \(R = \rho\ell = 2\rho y\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}\), \(R_{\max} = 2\rho L\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

3) ЭДС индукции \(\mathcal{E} = B v \ell\); \(\mathcal{E}_{\max} = 2BvL\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

4) Тепловая мощность в перемычке \(P = \dfrac{\mathcal{E}^2}{R} = \dfrac{B^2 v^2 \ell}{\rho}\), её максимум \(P_{\max} = \dfrac{\mathcal{E}_{\max}^2}{R_{\max}} = \dfrac{2B^2v^2L\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2}}{\rho}\).

5) Средняя мощность \(P_{\text{ср}} = \dfrac{1}{2}P_{\max}\) за время \(t_0 = \dfrac{L}{v}\).

6) Полное количество теплоты \[Q = P_{\text{ср}}\, t_0 = \frac{B^2 v L^2}{\rho}\,\mathrm{tg}\frac{\alpha}{2}.\] При \(\alpha = 60^\circ\): \(\mathrm{tg}\,30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\), и \[Q = \frac{B^2 v L^2}{\rho\sqrt{3}}.\]

Подсказка

Газ, входящий в сосуд, совершает над собой работу \(PV\) против внешнего давления. Сопоставьте эту работу с изменением внутренней энергии газа в сосуде. Состав смеси найдите по плотности, учитывая молярные массы аргона \(40\) г/моль и неона \(20\) г/моль.

Ответ

1) \(T = 500\) К;  2) в смеси один моль аргона и три моля неона, на долю атомов аргона приходится \(0{,}25\) всей внутренней энергии газа в сосуде.

Решение

1) Пусть газ, который в конце процесса оказывается в сосуде, первоначально занимает объём \(V\) при давлении \(P\). Тогда при вытеснении его в сосуд окружающий газ совершает работу \(A = PV = \dfrac{m}{\mu}RT_0\). Эта работа идёт на повышение внутренней энергии газа: \(\dfrac{m}{\mu}RT_0 = \dfrac{m}{\mu}c_V(T - T_0)\). Для одноатомного газа \(c_V = \dfrac{3}{2}R\), следовательно, \[T_0 = \frac{3}{2}(T - T_0), \qquad T = \frac{5}{3}T_0 = \frac{5}{3}\cdot 300 = 500~\text{К}.\]

2) Пусть в смеси \(\nu\) молей аргона и \(x\nu\) молей неона. Число молей газа в смеси равно \(\nu + x\nu = \nu(1 + x)\), масса смеси \(m = \mu_{\text{Ar}}\nu + \mu_{\text{Ne}}x\nu\).

3) Уравнение Менделеева–Клапейрона \(PV = \nu(1 + x)RT\). Объём смеси \(V = \dfrac{\nu(1 + x)RT}{P}\), плотность \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{(\mu_{\text{Ar}} + \mu_{\text{Ne}}x)\,P}{(1 + x)RT}.\]

4) Отсюда \(\dfrac{\mu_{\text{Ar}} + \mu_{\text{Ne}}x}{1 + x} = \dfrac{\rho RT}{P}\). Подставляя числа, \[\frac{(40 + 20x)\cdot 10^{-3}}{1 + x} = \frac{1{,}0\cdot 8{,}31\cdot 300}{10^5} = 24{,}93\cdot 10^{-3}.\] Тогда \(\dfrac{2 + x}{1 + x} = 1{,}25\), откуда \(x = 3\).

Итак, в смеси один моль аргона и три моля неона. Внутренняя энергия одного моля аргона \(\dfrac{3}{2}RT\), трёх молей неона \(\dfrac{9}{2}RT\), поэтому на долю атомов аргона приходится \(0{,}25\) всей внутренней энергии газа в сосуде.