«Шаг в будущее», 2019/20, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Запишите тепловой баланс: часть льда тает, а вся вода в калориметре нагревается от \(0\) до \(20\,^\circ\)С. Объём калориметра связывает массы льда и воды.

Ответ

\(m_л \approx 206\) г.

Решение

Уравнение теплового баланса: \[Q = m_л\lambda + m_л c\,\Delta t + m_в c\,\Delta t, \qquad \Delta t = 20\,^\circ\text{С}.\] Объёмы: \(V_л = \dfrac{m_л}{\rho_л}\), \(V_в = \dfrac{m_в}{\rho_в}\), \(V_в + V_л = V\), откуда \(m_в = \left(V - \dfrac{m_л}{\rho_л}\right)\rho_в\).

Подставляя в уравнение баланса: \[Q = m_л\lambda + m_л c\,\Delta t + \left(V - \frac{m_л}{\rho_л}\right)\rho_в c\,\Delta t,\] \[m_л = \frac{Q - V\rho_в c\,\Delta t}{\lambda + c\,\Delta t - \dfrac{\rho_в}{\rho_л}c\,\Delta t} \approx 206~\text{г}.\]

Подсказка

Посчитайте сопротивление каждого участка схемы (параллельного и последовательного) через \(R\). Затем подумайте, что останется от схемы при выгорании любых двух резисторов.

Ответ

Да, сможет: при любом выборе двух сгоревших резисторов из оставшихся можно собрать последовательно \(\dfrac{3R}{2}\) и \(\dfrac{R}{2}\), и сопротивление будет \(2R\), как у исходной цепи.

Решение

Общее сопротивление параллельного участка: \(R_{\text{пар}} = \dfrac{R}{2}\). Общее сопротивление последовательного участка: \(R_{\text{посл}} = \dfrac{3R}{2}\). Общее сопротивление цепи: \(R_о = 2R\).

Какие бы два резистора ни сгорели, у ученика останется один резистор сопротивлением \(\dfrac{3R}{2}\) и один резистор \(\dfrac{R}{2}\). Если соединить их последовательно, получится сопротивление \(2R\). Значит, в любом случае ученик сможет получить итоговое сопротивление.

Подсказка

Рассмотрите положение рычага, при котором он горизонтален. Запишите условия равновесия рычага: равенство сил и правило моментов относительно точки касания цилиндра.

Ответ

\(M > 600\) г.

Решение

Рассматривается положение, когда рычаг находится в горизонтальном положении.

Первое условие равновесия рычага (сумма сил упругости двух пружин уравновешивает вес рычага с грузом и цилиндром): \[2F_{\text{упр}} = (M + m)g.\] По правилу моментов относительно точки соприкосновения цилиндра с рычагом: \[F_{\text{упр}}\cdot 3x = Mg\cdot 4x.\] Решая систему, получаем \(M = \dfrac{3m}{5} = 600\) г.

Так как когда рычаг горизонтален, цилиндр не начнёт скатываться, масса груза должна быть больше \(600\) г.

Ответ: \(M > 600\) г.

Подсказка

Сублимация без плавления и кипения возможна только в особой точке диаграммы (тройной точке). Найдите давление в этой точке по диаграмме и сравните его с давлением у поверхности Земли, считая плотность воздуха постоянной, как в условии.

Ответ

\(h \approx 10\) км.

Решение

Так как тело перестало превращаться в жидкость и сразу становится газом, достигнута тройная точка диаграммы состояний.

Давление у поверхности Земли: \[P_{\text{атм}} = \rho_в g H = 10^5~\text{Па}.\] Высота стратостата \(h = H - h_1\), где \(h_1\) — высота, на которой давление равно давлению в тройной точке. По диаграмме это \(P_{\text{тр}} = 7\cdot 10^{-3}\) атм. Давление на высоте стратостата \[P_{\text{стр}} = \rho_в g h_1 = \rho_в g (H - h).\] Решая систему уравнений для \(h\): \[h = \frac{P_{\text{атм}} - P_{\text{тр}}}{\rho_в g} \approx 10~\text{км}.\]

Подсказка

Запишите закон сохранения энергии между точками \(B\) и \(D\): часть механической энергии уходит на сопротивление воздуха, остальная — в тепло при трении о снег. Высота точки \(C\) в решение не входит.

Ответ

\(m_{\text{снега}} \approx 380\) г.

Решение

Закон сохранения энергии относительно точек \(B\) и \(D\): \[E_B = E_D + |A_{\text{сопр}}| + |A_{\text{тр}}|, \qquad E_B - E_D = 0{,}4\,(E_B - E_D) + Q.\] Так как на нагревание идёт \(60\%\) всей энергии, то \[0{,}6\left(\frac{m v_B^2}{2} + m g h_1 - m g h_3\right) = Q = \lambda m_{\text{снега}}.\] Отсюда \[m_{\text{снега}} = \frac{0{,}6\left(\dfrac{m v_B^2}{2} + m g (h_1 - h_3)\right)}{\lambda}.\] Итог по решению организаторов: \(m_{\text{снега}} = 380\) г.