«Шаг в будущее», 2019/20, заключительный этап, 9 класс

Постройте графики координаты от времени для туристов и автобуса. Момент встречи, отсчитанный от прихода автобуса на станцию, найдите из того, что обратный путь автобуса с туристами сокращает время доставки на \(\Delta t\).

\(t_{\text{тур}} = 110\) мин.

Пусть автобус встречает туристов в момент \(t_в\), отсчитанный от момента, когда автобус по расписанию приходит на станцию. Если бы автобус забрал туристов на станции, он приехал бы в лагерь в момент \(t_{\text{авт}}\) (время пути от станции до лагеря). В момент встречи \(t_в\) автобус находится на расстоянии от лагеря, которое он проходит за время \(t_в + t_{\text{авт}}\); поэтому в лагерь он приезжает в момент \(2t_в + t_{\text{авт}}\).

Выигрыш во времени \(\Delta t\) даёт \[2t_в + t_{\text{авт}} = t_{\text{авт}} - \Delta t \quad\Rightarrow\quad t_в = -\frac{\Delta t}{2}.\] Туристы пришли на станцию за \(\tau\) до прихода автобуса, поэтому пешком шли \[t_{\text{тур}} = \tau + t_в = \tau - \frac{\Delta t}{2} = 120~\text{мин} - 10~\text{мин} = 110~\text{мин}.\]

Сравните, какое количество теплоты выделит пар при конденсации, охлаждении и кристаллизации, и какое количество теплоты нужно, чтобы нагреть лёд до температуры плавления.

Жидкой воды в калориметре не будет.

Количество теплоты, выделившееся при конденсации пара, охлаждении образовавшейся воды до температуры плавления и её кристаллизации: \[Q_1 = m\left[r + c_в(t_2 - 0) + \lambda\right] = 0{,}005\cdot(2{,}26\cdot 10^6 + 4183\cdot 100 + 330\,000) \approx 15~\text{кДж}.\] Количество теплоты, необходимое для нагрева льда до температуры плавления: \[Q_2 = c_л M (0 - t_1) = 2060\cdot 1\cdot 10 = 20{,}6~\text{кДж}.\] Так как \(Q_1 < Q_2\), лёд не нагревается до температуры плавления, и после установления равновесия в калориметре будет только лёд.

Ответ: в калориметре не будет воды в жидком состоянии.

Со стороны бруска на жидкость действует сила, равная по модулю силе Архимеда. Как она передаётся на дно сосуда и на весы?

\(m = 8{,}9\) кг.

При погружении бруска на него со стороны жидкости действует сила Архимеда. Со стороны бруска на жидкость по третьему закону Ньютона действует сила, равная по модулю силе Архимеда. По закону Паскаля сила давления на дно сосуда увеличивается на значение силы Архимеда, и показания весов возрастают на \[\Delta F = \rho_в g V = \rho_в g\,\frac{m}{\rho_м}.\] Масса бруска \[m = \frac{\Delta F\,\rho_м}{\rho_в g} = 8{,}9~\text{кг}.\]

При постоянной скорости сумма сил, действующих на шарик, равна нулю: сила тяжести уравновешена силой Архимеда и силой вязкого трения.

В \(4{,}24\) раза.

Уравнение движения шарика с постоянной скоростью \(v\): \[\rho_{\text{ш}} V g = \rho_{\text{ж}} V g + k v.\] Отсюда \[\frac{\rho_{\text{ж}}}{\rho_{\text{ш}}} = 1 - \frac{k v}{\rho_{\text{ш}} V g} = 1 - \frac{0{,}004\cdot 6{,}5}{11340\cdot 0{,}3\cdot 10^{-6}\cdot 10} \approx 0{,}236.\] Обратное отношение \(\dfrac{\rho_{\text{ш}}}{\rho_{\text{ж}}} \approx 4{,}24\).

Ответ: \(4{,}24\).

Выберите нулевой потенциал у одной клеммы источника и выразите потенциалы двух средних узлов через ток \(I\) через амперметр \(A_1\). Затем составьте уравнения для напряжений на приборах.

\(U_1 = \dfrac{10\,U_0}{13}\).

Пусть ток через амперметр \(A_1\) равен \(I\). Тогда потенциалы узлов относительно нулевого потенциала: \(\varphi_1 = 3IR_A\) и \(\varphi_2 = \varphi_1 + IR_A = 4IR_A\) (здесь \(R_A\) — сопротивление амперметра).

Напряжение на первом вольтметре \(U_1 = U_0 - \varphi_1 = U_0 - 3IR_A\), на втором \(U_2 = U_0 - \varphi_2 = U_0 - 4IR_A = I_{V2} R_V\). Суммарное напряжение на цепочке резисторов даёт \[U_0 = I_{V2}R_V + I_{V3}R_V, \qquad U_1 = IR_A + I_{V2}R_V.\] Анализ этих уравнений даёт соотношение \(R_V = 5R_A\).

Показание первого вольтметра \(U_1 = I_{V1}R_V = 10\,IR_A\), откуда \[U_1 = \frac{10\,U_0}{13}.\]