зад 1 Средняя скорость автомобиля
Автомобиль первую треть пути по шоссе прошел со скоростью \(v_1 = 60\) км/ч, а последнюю треть пути — со скоростью \(v_2 = 40\) км/ч. Средний участок пути он двигался со скоростью равной средней скорости его движения только на первом и последнем участках. Чему равна средняя скорость автомобиля на всем пути. Ответ дайте в километрах в час (км/ч), округлив его до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Средняя скорость на двух равных участках пути равна их общей длине, делённой на суммарное время. Рассмотрите среднее гармоническое.
▶ОтветСкрыть
\(48\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Средняя скорость на всём пути равна средней скорости на двух равных участках — первом и последнем: \(v_{ср} = \dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2} = 48\) км/ч.
зад 2 Груз на пружине после разрыва нити
На легкой пружине подвешены два груза, связанные невесомой нитью (см. рис.). Масса нижнего груза (груз 2) в 4 раза меньше массы верхнего (груз 1). Система находится в равновесии. Неожиданно нить рвется. Чему равно ускорение груза 1 сразу после разрыва нити? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате (м/с\(^2\)), округлив его до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Сразу после разрыва нити пружина ещё не успела изменить длину, поэтому её сила не меняется. Сравните эту силу с весом груза 1.
▶ОтветСкрыть
\(2{,}5\) м/с\(^2\).
▶РешениеСкрыть
До разрыва нити сила упругости пружины \(F_{упр} = (m_1+m_2)g = 5mg\), где \(m_2 = m\), \(m_1 = 4m\). Эта же сила действует на груз 1 сразу после разрыва. Тогда \(m_1 a = F_{упр} - m_1 g\), откуда \(a = \dfrac{5mg-4mg}{4m} = \dfrac{g}{4} = 2{,}5\) м/с\(^2\). Груз 1 начнёт двигаться вверх.
зад 3 Удар шарика о наклонную плоскость
Маленький шарик массой \(m = 20\) г, падает вертикально без начальной скорости и через \(t = 2\) с ударяется о наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha = 60^\circ\) с горизонтом. Считая удар абсолютно упругим, найдите среднюю силу давления шарика на наклонную плоскость во время удара. Длительность удара \(\tau = 0{,}02\) с. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Действием силы тяжести за время удара пренебречь. Ответ дайте в ньютонах (Н), округлив его целых.
▶ПодсказкаСкрыть
При упругом ударе модуль скорости не меняется, меняется только её составляющая, перпендикулярная плоскости. Изменение импульса за удар делите на длительность удара.
▶ОтветСкрыть
\(20\) Н.
▶РешениеСкрыть
Скорость шарика через \(t = 2\) с: \(v = gt = 20\) м/с. После упругого удара модуль скорости сохраняется. В проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости: \(\Delta p = 2mv\cos\alpha\), \(F = \dfrac{\Delta p}{\tau} = \dfrac{2mv\cos\alpha}{\tau} = \dfrac{2\cdot 0{,}02\cdot 20\cdot 0{,}5}{0{,}02} = 20\) Н.
зад 4 НЛО с переменным ускорением
Неопознанный летающий объект (НЛО) возник внезапно и начал двигаться прямолинейно без начальной скорости, а спустя время \(t = 15\) c — исчез. Ускорение \(a_x\) этого объекта вдоль траектории движения изменяется в зависимости от времени \(t\), как показано на рисунке. На какое максимальное расстояние сместился НЛО за все время наблюдения? Ответ дайте в метрах, округлив его до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Постройте график скорости: это площадь под графиком ускорения. Максимальное смещение равно площади под графиком скорости, если объект не менял направления движения.
▶ОтветСкрыть
\(50\) м.
▶РешениеСкрыть
Построим график зависимости скорости объекта от времени \(v_x(t)\). Площадь фигуры под графиком \(v_x(t)\) равна искомому расстоянию: \(S = 50\) м.
зад 5 Груз на пружине и опускающаяся подставка
На подставке лежит груз, связанный с прикреплённой к потолку вертикальной пружиной. В начальный момент времени пружина не растянута, а подставку начинают опускать с ускорением \(a_1 = 5\) м/с\(^2\). Через \(t_1 = 1\) с груз отрывается от подставки. Через какое время оторвется от подставки груз, если подставку опускать с ускорение \(a_2 = 2\) м/с\(^2\)? Во втором случае, в начальный момент пружина также не растянута. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ дайте в секундах, округлив его до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Груз отрывается, когда сила реакции подставки обращается в ноль, а груз движется вниз с ускорением подставки. Удлинение пружины за это время равно \(at^2/2\).
▶ОтветСкрыть
\(2{,}0\) с.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(k\) — жёсткость пружины, \(m\) — масса груза. В момент отрыва сила реакции подставки \(N = 0\): \(mg - kx = ma\), где \(x = \dfrac{at^2}{2}\). Отсюда \(\dfrac{k}{m} = \dfrac{2(g-a_1)}{a_1t_1^2} = 2\) с\(^{-2}\). Для второго случая \(\dfrac{a_2t_2^2}{2} = \dfrac{m}{k}(g-a_2)\), откуда \(t_2 = \sqrt{\dfrac{2(g-a_2)}{a_2}\cdot\dfrac{m}{k}} = 2{,}0\) с.
зад 6 Колобки, слипающиеся при столкновениях
Сделала бабушка одиннадцать колобков, все одинакового размера, но разной массы. Ближайшие по массе колобки отличаются на 0,1 кг, колобок наименьшей массы весит 1 кг, а наибольшей — 2 кг. Шаловливый внучок расставил колобки в ряд один возле другого в порядке убывания массы, и толкнул первый из них, который массой 2 кг, сообщив ему скорость \(v = 3{,}3\) м/с. В результате колобки стали сталкиваться друг с другом и слипаться, пока не остался один большой кусок теста. Сколько тепловой энергии выделилось после всех столкновений? Ответ дайте в джоулях (Дж), округлив его до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть
Слипание без потерь импульса: общая скорость в конце находится из закона сохранения импульса. Потерянная кинетическая энергия и есть выделившееся тепло.
▶ОтветСкрыть
\(9{,}57\) Дж.
▶РешениеСкрыть
Обозначим \(m_1 = 2\) кг, \(m_2 = 1{,}9\) кг, …, \(m_{11} = 1\) кг — массы всех колобков в порядке убывания, \(u\) — конечная скорость всех одиннадцати колобков, слипшихся в один кусок. По закону сохранения импульса \(m_1 v = \left(\sum_{i=1}^{11} m_i\right) u\), \(\sum m_i = 16{,}5\) кг, откуда \(u = 0{,}4\) м/с. Тепло равно потере кинетической энергии: \(Q = \dfrac{m_1v^2}{2} - \dfrac{\left(\sum m_i\right)u^2}{2} = 10{,}89 - 1{,}32 = 9{,}57\) Дж.
зад 7 Заготовка в открытом космосе
Космонавт, работая в открытом космосе, случайно обронил металлическую заготовку, имеющую форму равностороннего треугольника \(ABC\). Заготовка полетела от космической станции. В некоторый момент времени вектор скорости точки \(A\) заготовки оказался направленным вдоль стороны \(AB\), а модули скоростей точек \(A\) и \(C\) равными \(V = 300\) м/с. Чему равна скорость точки \(B\) в этот же момент времени? Ответ дайте в метрах в секунду (м/с), округлив его до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Тело твёрдое: проекции скоростей двух его точек на прямую, соединяющую эти точки, одинаковы. Запишите это условие для сторон \(AB\), \(AC\), \(BC\).
▶ОтветСкрыть
\(600\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Воспользуемся условием жёсткости сторон треугольника \(ABC\): проекции скоростей концов каждой стороны на неё равны. Пользуясь тем, что \(v_A = v_C = V\), получим, что \(v_B = 2V = 600\) м/с.
зад 8 Бесконечная цепь сопротивлений
Чему равно полное сопротивление бесконечной цепи, изображенной на рисунке? Считать, что \(R = 100\) Ом. (В каждом следуем звене цепи сопротивления в два раза больше, чем в предыдущем.) Ответ дайте в омах, округлив его до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Цепь самоподобна: если отбросить первое звено, оставшаяся бесконечная часть имеет то же сопротивление, умноженное на коэффициент. Подставьте это в эквивалентную схему.
▶ОтветСкрыть
\(70{,}7\) Ом.
▶РешениеСкрыть
Обозначим сопротивление заданной бесконечной цепи \(X(R)\). Очевидно, что \(X(R)\) можно представить в виде \(X(R) = \alpha R\), где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент. Из эквивалентной схемы получается уравнение на \(\alpha\), решение \(\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Таким образом, \(X(R) = \dfrac{R}{\sqrt{2}} \approx 70{,}7\) Ом.
зад 9 Два груза на полусфере
Неподвижная вертикальная горка имеет закругленную вершину в виде полусферы радиуса \(R = 10\) м. На горке удерживают систему из двух небольших грузов одинаковой массы, связанных невесомой нерастяжимой нитью, при этом верхний груз находится в самой верхней точке полусферы (см. рис.). Грузы отпускают, и они начинают скользить по горке. Движение грузов происходит в вертикальной плоскости, проходящей через центр полусферы, нить в процессе движения остается натянутой. Какое расстояние пройдет нижний груз до того момента, как верхний груз перестанет давить на горку. Трением между горкой и грузами пренебречь. Ответ дайте в метрах (м), округлив его до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон сохранения энергии связывает высоты обоих грузов. Верхний груз отрывается от поверхности там, где радиальная составляющая силы тяжести сообщает ему центростремительное ускорение.
▶ОтветСкрыть
\(6{,}2\) м.
▶РешениеСкрыть
Обозначим массы грузов \(m\), скорости грузов в конечном положении, когда верхний груз не давит на горку, \(v\). Запишем закон сохранения энергии для начального и конечного положений грузов. В конечный момент, когда груз не давит на горку, \(\dfrac{mv^2}{R} = mg\cos\alpha\). Из этих соотношений получается уравнение для угла \(\alpha\), которое решается подбором: \(\alpha \approx 0{,}623\) рад. Путь нижнего груза \(s = R\alpha \approx 6{,}2\) м.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2021/22, отборочный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.