«Шаг в будущее», 2021/22, отборочный этап, 11 класс

Полное ускорение камня равно \(g\) и направлено вниз. Тангенциальная составляющая — его проекция на направление скорости.

\(5{,}55\) м/с\(^2\).

Полное ускорение камня равно \(g\) и направлено вертикально вниз. Тангенциальная составляющая равна проекции \(g\) на направление скорости: \(a_\tau = g\dfrac{v_y}{v} = g\dfrac{gt}{\sqrt{v_0^2+(gt)^2}} = 10\cdot\dfrac{10}{\sqrt{325}} \approx 5{,}55\) м/с\(^2\).

Число насчитанных ступенек равно числу ступенек, которые человек проходит относительно эскалатора. Время спуска зависит от суммы скоростей.

\(75\).

Пусть \(N\) — число ступенек эскалатора, \(w\) — скорость эскалатора относительно пола, \(v\) — скорость человека относительно эскалатора (по условию). Время спуска по движущемуся эскалатору \(T = \dfrac{L}{v+w}\), число насчитанных ступенек \(n = \dfrac{vT}{s} = N\dfrac{v}{v+w}\). По условию \(50 = N\dfrac{v}{v+w}\), откуда \(w = v\). При скорости \(3v\) относительно эскалатора \(n_2 = N\dfrac{3v}{3v+w} = 100\cdot\dfrac{3}{4} = 75\).

Относительно кривошипа колесо 4 неподвижно и вращается в обратную сторону. Число оборотов шестерни связывает число оборотов кривошипа с отношением зубьев.

\(6\) оборотов.

Угол поворота шестерни 1 за время \(t\) связан с углом поворота кривошипа \(k\) оборотов соотношением \(n_1 = k\left(\dfrac{Z_4}{Z_1}-1\right)\), где \(n_1 = 12\) оборотов. Отсюда \(k = \dfrac{12}{75/15-1} = 3\) оборота. Аналогично для шестерни 2: \(n_2 = k\left(\dfrac{Z_4}{Z_2}-1\right) = 3\left(\dfrac{75}{25}-1\right) = 6\) оборотов.

Удобно считать моменты всех сил относительно точки \(A\): момент силы тяжести равен весу, умноженному на горизонтальное плечо.

\(660\) Н\(\cdot\)м.

Условие равновесия: сумма моментов всех сил относительно \(A\) равна нулю. Горизонтальные плечи: центр первого звена \(\dfrac{L_1}{2}\), центр второго звена \(L_1+\dfrac{L_2}{2}\cos 60^\circ\), точка \(C\) — \(L_1+L_2\cos 60^\circ\). Тогда \(M_A = g\left(\dfrac{L_1}{2}m_1+\left(L_1+\dfrac{L_2}{2}\cos60^\circ\right)m_2+\left(L_1+L_2\cos60^\circ\right)m_c\right) = 10\,(20+22+24) = 660\) Н\(\cdot\)м.

Точки 1 и 4 лежат на одной изотерме, точки 2 и 3 — на другой; изобары связывают точки 1, 2 и 3, 4. Запишите уравнение состояния для каждой точки.

\(V_3/V_1 = 4\).

Для изобары \(1\)–\(2\) и изобары \(3\)–\(4\) температуры пропорциональны объёмам. Изотермы: \(T_1 = T_4\), \(T_2 = T_3\). Из уравнения состояния с учётом равенства объёмов \(V_2 = V_4\) получается \(\dfrac{V_3}{V_1} = \left(\dfrac{p_1}{p_3}\right)^2\) и \(\dfrac{T_3}{T_1} = \dfrac{p_1}{p_3} = 2\), поэтому \(\dfrac{V_3}{V_1} = 4\).

Из \(U = \tfrac32 pV\) и \(U = \alpha p^2\) найдите, как \(p\) зависит от \(V\) в этом процессе. Работа равна площади под графиком.

\(800\) Дж.

Внутренняя энергия одноатомного газа \(U = \tfrac32 pV\). С учётом \(U = \alpha p^2\) получаем \(pV = \tfrac{2\alpha}{3}p^2\), т.е. \(p\) линейно зависит от \(V\) (прямая, проходящая через начало координат). Работа равна площади под прямой на \(PV\)-диаграмме, изменение внутренней энергии \(\Delta U = \tfrac32(p_2V_2-p_1V_1) = 3A\). Тогда \(Q = \Delta U + A = 4A = 800\) Дж.

Заряд равен изменению магнитного потока, делённому на сопротивление. У двух петель восьмёрки потоки имеют противоположные знаки.

\(3{,}14\) Кл.

Заряд \(q = \dfrac{|\Delta\Phi|}{R}\), где \(\Delta\Phi\) — изменение потока через поверхности большого и малого кругов: \(|\Delta\Phi| = 2B(S_2-S_1)\), \(S_1 = \pi r^2\), \(S_2 = \pi(2r)^2\). Тогда \(q = \dfrac{2B\cdot 3\pi r^2}{R} = \dfrac{6\pi}{6} \approx 3{,}14\) Кл.

Серебрёная выпуклая поверхность работает как вогнутое зеркало. Свет проходит через линзу дважды, а затем отражается от зеркала.

\(6\) дптр.

Оптическая сила системы "линза + зеркало" равна \(D = 2D_1 + D_2\), где \(D_1 = 1\) дптр — оптическая сила линзы, а \(D_2 = \dfrac{2}{R} = 4\) дптр — оптическая сила вогнутого зеркала, образованного посеребрённой поверхностью. Тогда \(D = 2 + 4 = 6\) дптр.

Потенциал внутренней сферы складывается из потенциалов всех зарядов по принципу суперпозиции и равен потенциалу, заданному источником ЭДС.

\(-2\) нКл.

По принципу суперпозиции потенциал внутренней сферы \(\varphi = k\left(\dfrac{q}{R}+\dfrac{Q}{3R}+\dfrac{q_0}{2R}\right)\), где \(q\) — заряд внутренней сферы, \(Q = 12\) нКл, \(q_0 = -6\) нКл. Условие на источник ЭДС \(\varphi = -E\) даёт \(q = -2\) нКл.