«Шаг в будущее», 2021/22, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Сравните силу давления аквариума на поверхность до и после того, как камешек оказался в нём.

Ответ

\(1{,}2\) Н.

Решение

Сила давления аквариума на горизонтальную поверхность до того, как положили камешек: \(F_1 = Mg\), где \(M\) — масса аквариума с водой. Сила давления после того, как положили камешек: \(F_2 = (M + m)g\). Тогда разность сил давлений равна \[\Delta F = mg.\] Подставляя численные значения, получаем \(\Delta F = 1{,}2\) Н.

Подсказка

Брусок начнёт скользить, когда сила упругости пружины сравняется с максимальной силой трения покоя.

Ответ

\(70\) см.

Решение

Для того, чтобы брусок находился в состоянии покоя, необходимо выполнение условия \(F_{\text{упр}} \le F_{\text{тр.скольж.}}\), где \(F_{\text{тр.скольж.}} = \mu m g\). В случае максимального растяжения пружины \[F_{\text{упр}\,\max} = F_{\text{тр.скольж.}}.\] По закону Гука \(F_{\text{упр}\,\max} = k(x_{\max} - x_0)\). Решая полученное уравнение, \[x_{\max} = \frac{\mu m g}{k} + x_0.\] Подставляя численные значения, получаем \(x_{\max} = 70\) см.

Подсказка

Считайте, что при обогреве комнаты выделяется одна и та же теплота, и приравняйте количества теплоты от сгорания бензина и спирта.

Ответ

\(15\) л.

Решение

Количество теплоты, выделенное на обогрев комнаты за счет сгорания бензина: \(Q = q_{\text{б}} \rho_{\text{б}} V\). Количество теплоты, выделенное на обогрев комнаты за счет сгорания спирта: \(Q = q_{\text{сп}} \rho_{\text{сп}} V_{\text{сп}}\). Решая полученную систему уравнений, \[V_{\text{сп}} = \frac{q_{\text{б}} \rho_{\text{б}}}{q_{\text{сп}} \rho_{\text{сп}}} V.\] Подставляя численные значения, получаем \(V_{\text{сп}} = 15\) л.

Подсказка

Какую работу за минуту совершает двигатель и какая её часть идёт на подъём воды на высоту струи?

Ответ

\(2400\) Вт.

Решение

КПД двигателя равен \(\eta = \dfrac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{затр}}}\), где полезная и затраченная работы равны соответственно \(A_{\text{пол}} = \rho_{\text{в}} V g h\), \(A_{\text{затр}} = N t\). Здесь \(V\) — объем воды, поданной за минуту; \(h\) — высота, до которой поднимается вода; \(N\) — мощность двигателя. Решая полученную систему уравнений, \[N = \frac{\rho_{\text{в}} V g h}{\eta t}.\] Подставляя численные значения, получаем \(N = 2400\) Вт.

Подсказка

Плотность крема равна полной массе, делённой на полный объём воды и масла.

Ответ

\(480\) г.

Решение

Плотность крема равна \[\rho = \frac{m_{\text{в}} + m_{\text{м}}}{V_{\text{в}} + V_{\text{м}}}, \qquad m_{\text{в}} = \rho_{\text{в}} V_{\text{в}}, \quad m_{\text{м}} = \rho_{\text{м}} V_{\text{м}}.\] Учитывая условие задачи, \(V_{\text{в}} = 3 V_{\text{м}}\). Тогда масса крема равна \[m = \rho V = \frac{3\rho_{\text{в}} + \rho_{\text{м}}}{4} V.\] Подставляя численные значения, получаем \(m = 480\) г.

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса: тепло, отданное стаканом, кофе и молоком, идёт на нагрев льда, его плавление и нагрев полученной воды.

Ответ

\(54\) г.

Решение

По уравнению теплового баланса \(Q_{\text{пол}} = Q_{\text{отд}}\), где \[Q_{\text{пол}} = c_{\text{л}} m_{\text{л}} N (0 - t_{\text{л}}) + \lambda m_{\text{л}} N + c_{\text{в}} m_{\text{л}} N (t - 0),\] \[Q_{\text{отд}} = c_{\text{ст}} m_{\text{ст}} (t_{\text{ст}} - t) + c_{\text{к}} m_{\text{к}} (t_{\text{к}} - t) + c_{\text{м}} m_{\text{м}} (t_{\text{м}} - t).\] Здесь \(c_{\text{л}}\), \(c_{\text{ст}}\), \(c_{\text{в}}\), \(c_{\text{м}}\) — удельные теплоемкости льда, стекла, воды и молока соответственно; \(m_{\text{л}}\), \(m_{\text{ст}}\), \(m_{\text{к}}\), \(m_{\text{м}}\) — массы кусочка льда, стакана, кофе и молока соответственно; \(t_{\text{л}}\), \(t_{\text{ст}}\), \(t_{\text{к}}\), \(t_{\text{м}}\) — температуры льда, стакана, кофе и молока соответственно; \(t\) — конечная температура; \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда; \(N\) — число кусочков льда. Решая полученную систему уравнений, \[m_{\text{м}} = \frac{-c_{\text{л}} m_{\text{л}} N t_{\text{л}} + \lambda m_{\text{л}} N + c_{\text{в}} m_{\text{л}} N t - c_{\text{ст}} m_{\text{ст}} (t_{\text{к}} - t)}{c_{\text{м}} (t_{\text{м}} - t)}.\] Подставляя численные значения, получаем \(m_{\text{м}} = 54\) г.

Подсказка

Механическая работа по растяжению пружины идёт на изменение её потенциальной энергии.

Ответ

\(5{,}25\).

Решение

Механическая работа по растяжению пружины направлена на изменение потенциальной энергии пружины.

В первом опыте: \[A_1 = \frac{k l^2}{2} - 0\] Во втором опыте: \[A_2 = \frac{k (2{,}5\,l)^2}{2} - \frac{k l^2}{2}.\] Объединяя оба уравнения, \[\frac{A_2}{A_1} = 5{,}25.\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта второго поезда: найдите полный путь первого поезда относительно него и полное время движения.

Ответ

\(57{,}6\) км/ч.

Решение

В системе отсчета (СО), связанной со вторым поездом, скорость первого поезда до остановки \(V_1 = V - v\), после остановки — по модулю \(V_2 = V - v\). Пусть \(l\) — длина поезда. Тогда время прохождения первого поезда за все время движения \[t = \frac{2l}{V_1} + \frac{2l}{V_2}.\] Средняя скорость первого поезда в СО, связанной со вторым поездом, за все время движения \[V_{\text{ср}} = \frac{2l + 2l}{t}.\] Решая полученную систему уравнений, \[V_{\text{ср}} = \frac{V^2 - v^2}{V}.\] Подставляя численные значения, получаем \(V_{\text{ср}} = 57{,}6\) км/ч.

Подсказка

Запишите условия равновесия груза и плавающего тела и правило моментов для рычага; изменение показаний весов равно изменению силы натяжения нити груза.

Ответ

\(0{,}25\).

Решение

Условие равновесия для груза, лежащего на весах до изменения погружения тела в воду: \(T_1 + N_1 = mg\), где \(T_1\) — сила натяжения нити, действующая на груз; \(N_1\) — сила нормальной реакции опоры со стороны весов на груз; \(m\) — масса груза.

Условие равновесия для тела, погруженного в воду: \(T_2 + \rho g V_{\text{погр}} = Mg\), где \(T_2\) — сила натяжения нити, действующая на тело; \(V_{\text{погр}}\) — объем погруженной части тела в сосуд с водой; \(M\) — масса тела.

Правило моментов для рычага относительно точки опоры: \(T_1 \cdot \dfrac{L}{3} = T_2 \cdot \dfrac{L}{2}\). Решая полученную систему уравнений, \[N_1 = mg - \frac{3}{2}\left(Mg - \rho g V_{\text{погр}}\right).\] Аналогично после изменения погружения тела в воду \[N_2 = mg - \frac{3}{2}\left(Mg - \rho g V'_{\text{погр}}\right),\] где \(N_2\) — сила нормальной реакции опоры со стороны весов на груз после погружения тела в воду; \(V'_{\text{погр}}\) — объем погруженной части тела в сосуд с водой после изменения погружения тела в воду.

Легко показать, что \(\Delta P = N_1 - N_2\). Объединяя полученные уравнения, \[\frac{V'_{\text{погр}}}{V} = \frac{3}{4} - \frac{2\,\Delta P}{3\rho g V}.\] Подставляя численные значения, получаем \(\dfrac{V'_{\text{погр}}}{V} = 0{,}25\).